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1
第03 讲 对数及其运算
课程标准
学习目标
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性
质；
2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对
数的定义和性质解方程；
3．理解对数的运算性质，能用换底公式将
一般对数转化成自然对数或常用对数；
4．会运用运算性质进行一些简单的化简与
证明.
1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，
会求简单的对数值；
2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对
数运算的性质进行对数运算；
3.掌握换底公式及其推论；
4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.
知识点01 对数的概念与性质
1、对数的概念：如果
（
且
），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作
，
其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．
2、常用对数与自然对数
2
名称
定义
记法
常用对
数
以10 为底的对数叫做常用对数
自然对
数
以无理数
为底的对数称为自然对数
3、对数的性质
（1）当
，且
时，
；
（2）负数和0 没有对数，即N >0 ；
（3）特殊值：1 的对数是0，即
0（
，且
）；
底数的对数是1，即
（
，且
）；
（4）对数恒等式：
；
（5）
．
【即学即练1】
1.指数式与对数式互化.
(1)3
a=27 (2)lg0.001=−3 .
【答案】 a= log327 10
−3=0.001
【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得.
【详解】(1)由3
a=27可得：a= log327；由lg0.001=−3可得10
−3=0.001.
故答案为：a= log327；10
−3=0.001
2.已知logx8=2，则x =( )
A．2
B．2√2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据对数运算分析求解.
【详解】因为logx8=2= logx x
2，可得x
2=8，
且x∈(0,1)∪(1,+ ∞)，解得x =2√2.
故选：B.
知识点02 对数的运算性质及应用
1、运算性质：a>0 ,且a≠1，M >0, N >0
（1）loga(MN )=loga M+loga N ；
（2）
loga
M
N =loga M−loga N
；
3
（3）loga M n=nloga M
2、换底公式
（1）换底公式：
logab=
logcb
logc a (a＞0，且a¿ 1；c＞0，且c¿ 1；b＞0)．
（2）可用换底公式证明以下结论：
①
logab=
1
logba ； ②logab⋅logbc⋅logca=1； ③loganb
n=logab ；
④
loganb
m=m
n logab
； ⑤
log 1
a
b=−logab
.
【即学即练2】log2 √2
2 +log√28=( )
A．4
B．9
2
C．5
D．11
2
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则求解即可.
【详解】log2 √2
2 +log√28=log2√2−log22+log√2(√2)
6= 1
2 −1+6= 11
2 .
故选：D.
知识点03 对数运算常用方法技巧
1、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式
化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然
后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
2、对数运算中的几个运算技巧
（1）
的应用技巧：在对数运算中如果出现
和
，则一般利用提公因式、平方差公式、
完全平方公式等使之出现
，再应用公式
进行化简；
（2）
的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置
颠倒，则可用公式
化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式
作为已知条件，求函数
的值的问题，
4
通常设
，则
，
，
，将
值带入函数
求解．
【即学即练3】计算：
=
【答案】1
【详解】由
.
题型01 对数的概念及辨析
【典例1】（23-24 高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10 为底的对数叫做自然对数
D．以e 为底的对数叫做常用对数
【答案】BCD
【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；
对于B：只有符合
，且
，才有
，故B 错误；
对于C：以10 为底的对数叫做常用对数，故C 错误；
对于D：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.
【变式1】（23-24 高一上·贵州贵阳·月考）使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
，
【答案】C
【解析】由式子
有意义，则满足
，解得
且
.故选：C.
【变式2】对数
中的实数
的取值范围与下列哪个不等式的解相同（ ）.
A．
且
B．
C．
D．
且
5
【答案】D
【分析】首先根据对数
中的实数a 和b 的取值要求求出a 和b 取值范围，再解不等式分析下面选项中
的a 和b 取值范围，看是否一致即可.
【详解】对数
中的实数a 的取值要求为：
且
，
，
A：本选项显然不符合题意；
B：
或
，
显然不符合题意；
C：
或
，
显然不符合题意；
D：
且
且
，
所以有
且
，
，显然符合题意，
故选：D.
题型02 对数式与指数式的互换
【典例2】已知
，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．12
【答案】D
【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.
【详解】由
，得
，
故
，
故选：D
【变式1】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由对数的运算求出
，再结合对数和指数的运算化简即可.
【详解】由题得
，
所以
.
故选：A.
6
【变式2】若
（
且
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数的定义将指数化为对数.
【详解】因为
（
且
），所以
.
故选：A.
【变式3】若
，
，则
的值为 ．
【答案】4
3 /1 1
3
【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解.
【详解】因为
，
，则
，
，
所以
．
故答案为：
.
【变式4】已知
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解.
【详解】
，则
，则
．
故答案为：
【变式5】将下列指数式与对数式互化：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
．
7
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化.
【详解】（1）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
（2）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
（3）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
（4）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
（5）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
（6）
，运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为
.
题型03 利用对数运算性质化简
【典例1】（24-25 高三上·广东梅州·开学考试）化简
的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值.
【详解】原式
.
故选：B
【变式1】已知
，则
．
【答案】
【分析】运用对数运算性质化简即可.
【详解】由于
，则
，则
.
8
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一上·江苏常州·期中）
.
【答案】
【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可
【详解】
.
故答案为：3
【变式3】（1）化简求值：
；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）2；（2）4
【分析】（1）由对数的运算性质化简即可；
（2）由对数的运算性质化简后再结合定义域解方程即可；
【详解】（1）原式
；
（2）由已知可得
，
因为
，
所以
，化简可得
，
解得
（舍去），或
，
所以
【变式4】（24-25 高一·上海·课堂例题）化简下列各式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
9
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【变式5】（24-25 高一上·全国·课前预习）计算
．
【答案】
【分析】运用换底公式及对数的运算性质计算即可.
【详解】原式
．
10
题型04 用已知对数表示其他对数
【典例04】（23-24 高一上·天津·阶段练习）
，
，试用a，b 表示
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得.
【详解】由
，
，则
.
故选：B
【变式1】（23-24 高一上·上海·期末）已知
，
，则
可以用a、b 表示为 .
【答案】
【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得.
【详解】由
，得
，而
，
所以
.
故答案为：
【变式2】（23-24 高一上·湖北荆州·阶段练习）已知
，
，则
.（结果用
，
表示）
【答案】
【分析】应用指对互化及对数的运算律及换底公式即可.
【详解】
，则
，
，则
，
则
，
故答案为：
题型05 利用换底公式化简求值
11
【典例05】（23-24 高一上·山东淄博·期末）设a，b，c 都是正数，且
，那么下列关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
，
，
，
，
，则
，
根据
可知，
.故选：C
【变式1】（23-24 高一上·云南保山·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由已知表示出
，再由换底公式化简可求.
【详解】∵
，∴
，
∴
.
故选：C．
【变式2】（23-24 高一上·江苏盐城·期中）（多选）设
都是正数，且
，下列结论不正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】连等式一般可以先设为，分别求值后再逐个验证判断即可.
【详解】令
，则
，
所以
，
对于A：两边同除
等价于
，
由上可知
，
，所以
，A 正确；
对于B：两边同除
等价于
，
12
由上可知
，
，所以
，B 错误；
对于C：两边同除
等价于
，
由上可知
，
，所以
，C 错误；
对于D：两边同除
等价于
，
由上可知
，
，所以
，D 错误，
故选：BCD
【变式3】（23-24 高一上·吉林·期中）若
，
，
，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据题意求出
、
和，再根据对数的运算性质判断选项中的命题是否正确．
【详解】若
，
，
，
则
，
，
，
所以
，选项A 正确；
，选项B 错误；
由
，当且仅当
时取等号，又
，
，
所以等号不成立，即
，选项C 错误；
由
，选项D 正确．
故选：AD
【变式4】已知
，则
．
【答案】1
【分析】利用指数式与对数式的互化和换底公式即可求值．
【详解】
，则
，
，
．
故答案为：．
题型06 实际问题中的对数运算
13
【典题06】 (2024·贵州遵义·一模)近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生
物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经
过7 个月就增长1 倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100 只增长到1 亿只大约需要(lg2≈0.3010)
( )
A．8 年
B．10 年
C．12 年
D．20 年
【答案】C
【分析】设经过x个月动物数量由入侵的100 只增长到1 亿，可得100⋅2
x
7 =10
8，两边同时取对数可求出
答案.
【详解】设经过x个月动物数量由入侵的100 只增长到1 亿，
所以100⋅2
x
7 =10
8，所以2
x
7 =10
6，
两边同时取对数可得：lg2
x
7 =lg10
6=6，
所以x
7 ⋅lg2=6，所以x = 42
lg2 ≈
42
0.3010 ≈139.53，
而139.53
12
≈11.63，
所以该动物数量由入侵的100 只增长到1 亿只大约需要12 年.
故选：C.
【变式1】（23-24 高一上·江苏镇江·阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，
无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把
看作是每天的“进步”率都是
，一年后是
；而把
看作是每天的“退步”率都是
，一年后是
．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的
倍．那么当“进
步值”是“退步值”的5 倍时，大约经过（ ）（参考数据：
）
A．70 天
B．80 天
C．90 天
D．100 天
【答案】B
【分析】先根据
天后的“进步值”是“退步值”的5 倍列方程
，应用指对转化求值.
【详解】设
天后的“进步值”是“退步值”的5 倍，则
，即
，两边同时取对数得
，
化简得
，
14
所以
．
故当“进步值”是“退步值”的5 倍时，大约经过80 天．
故选:B．
【变式2】（23-24 高一上·新疆·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是
，空气的
温度是
，则
后该物体的温度
可由公式
求得.若将温度分别为
和
的
两块物体放入温度是
的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过
，则至少要经过（取：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可.
【详解】
的物块经过
后的温度
，
的物块经过
后的温度
.
要使得两块物体的温度之差不超过
，则
，
即
，解得
.
故选：A.
【变式3】（22-23 高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量
（单位：焦耳）与地
震里氏震级
之间的关系为
.已知2011 年甲地发生里氏9 级地震，2019 年乙地发生里氏7
级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为
，
，则
【答案】1000
【分析】首先根据题意得到
，再作差即可得到答案.
【详解】由题知：
.
故答案为：1000
15
一、单选题
1．（23-24 高一上·福建厦门·期末）已知
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据对数运算分析求解.
【详解】因为
，可得
，
且
，解得
.
故选：B.
2．（23-24 高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
，
【答案】C
【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由式子
有意义，则满足
，解得
且
.
故选：C.
3．（23-24 高一上·山东济南·阶段练习）下列计算结果为2 的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数、对数运算逐一计算即可.
【详解】
，A 错误；
，B 正确；
，C 错误；
，D 错误.
故选：B
4．（23-24 高一上·山东菏泽·阶段练习）里氏震级M 的计算公式：
，其中A 是测震仪记录的
地震曲线的最大振幅，
是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是
1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9 级地震的最大振幅是5 级地震最
大振幅的_______倍．（ ）
16
A．6，1000
B．4，1000
C．6，10000
D．4，10000
【答案】C
【分析】根据题中的震级计算公式及对数运算可得结果．
【详解】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，
此时标准地震的振幅为0.001，则
；
设9 级地震的最大的振幅是x，5 级地震最大振幅是y，
则有
，解得
，
所以
，
故选：C.
5．（23-24 高一上·四川凉山·期末）计算
的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可.
【详解】
.
故选：C.
6．（23-24 高一上·甘肃武威·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
【详解】
，
故选:B.
7．（22-23 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由换底公式将
表示为
，再将
代入
计算即可.
17
【详解】由题知
，
，
.
故选：B.
8．（23-24 高一上·吉林长春·期中）设
，且
，则
（ ）
A．
B．10
C．100
D．1000
【答案】C
【分析】利用指数与对数运算法则可得
，再由换底公式即可得
，计
算可得
.
【详解】根据题意由
可得
，
所以
，
即可得
，即
.
故选：C
二、多选题
9．（23-24 高一上·云南曲靖·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】BCD
【分析】根据对数的运算性质和换底公式判断即可得到答案.
【详解】对于选项A，
，故选项A 错误；
对于选项B，根据对数的运算性质可以判断选项B 正确；
对于选项C，由换底公式可以判断选项C 正确；
对于选项D，
，故选项D 正确.
故选：BCD
18
10．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）已知
，则下列等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据
可推出
，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由
，得
，且
，
即
，而此时
不总是成立，则C 错误；
由于
，即
，结合以上分析可知A 错误；
由于
，即为
，故B 正确；
又
，D 正确，
故选：BD
11．（22-23 高一上·山东临沂·期末）已知正实数a，b 满足
，且
，则
的值可以为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】CD
【分析】指数式化为对数式得到
，利用对数运算法则和换底公式得到
，从而求出
可得
答案.
【详解】由
得到
，则
，即
，
整理得
，解得
或
，
当
时，
，
，则
；
当
时，
，
，则
．
故选：CD．
三、填空题
12．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）若
，则
.
【答案】
【分析】由对数的运算性质求解．
【详解】因为
，
19
则
.
故答案为：
.
13．（23-24 高一上·北京·期中）计算
．
【答案】0
【分析】利用指数运算和对数运算法则求出答案.
【详解】
.
故答案为：0
14．（23-24 高一上·宁夏吴忠·阶段练习）若
，则
的值为
【答案】
/
【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得
，进而得到
的值，从而得解.
【详解】因为
，则
，所以
，则
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（23-24 高一上·江西宜春·期末）计算：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂运算以及对数的定义运算求解；
（2）根据对数的定义和运算求解.
20
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
16．（23-24 高一上·吉林长春·期中）（1）计算：
（2）求下列式中的
的值：
；
【答案】（1）5；（2）
.
【分析】（1）利用指数运算、对数运算计算得解.
（2）利用对数的意义，列式求解即得.
【详解】（1）原式
.
（2）由
，得
，解得
，
所以
.
17．（23-24 高一上·青海海东·阶段练习）（1）求值：
；
（2）设
，
，试用
，
表示
.
【答案】（1）101；（2）
．
【分析】（1）利用对数运算性质和指数幂的运算化简计算即可；
（2）利用换底公式和对数运算性质求解即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．（23-24 高一上·上海·期中）（1）已知
，
，用a、b 表示
.
（2）设
，
为方程
的两个根，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用
，
表示出
；
21
（2）根据韦达定理得出
，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解．
【详解】（1）已知
，
，
则
，故
（2）设
，
为方程
的两个根，则
，易知
，
.
19．（23-24 高一上·广东·期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温
度是
℃，环境温度是
℃，那么t 分钟后茶水的温度
（单位：℃）可由公式
求得．
现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5 分钟以后茶水的温度是50℃．
(1)求k 的值；
(2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳
口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：
，
）
【答案】(1)
(2)2.7 分钟
【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程得
，由指对互换即可求解.
（2）由所给函数模型结合已知条件列方程得
，由指对互换以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）依题意，
，
．
则
化简得，
，
，
22
即：
．（写
也正确）
（2）由（1）得
令
，
即
．得
，
；
得
．
所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7 分钟才能达到最佳饮用口感．
