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第03 讲 导数与函数的单调性
课程标准
学习目标
1．理解导数与函数的单调性的关系．
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
3．会用导数求函数的单调区间．
1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，
提升数学抽象素养．
2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，
提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点01 导数与函数单调性的关系
1．导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都
大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都
小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1) (2)
【解读】1.对导数与函数单调性概念理解；
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x (
∈a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2.确定函数单调区间的求法
（1）确定函数
的定义域；
（2）求
；
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【即学即练1】（24-25 高二上·全国·课后作业）下列函数中，在
内为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 函数图象变化趋势与导数大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系
函数图象
导数
导数为正，且绝对值
越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对值
越来越大
导数为负，且绝对值
越来越小
函数值
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
图象特点
越来越陡峭
越来越平缓
越来越陡峭
越来越平缓
【即学即练2】（24-25 高二上·陕西西安·期中）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函
数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
A B C D
题型01 求不含参函数的单调区间
【典例1】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在
上的单调性是（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．在
上单调递减，在
上单调递增
D．在
上单调递增，在
上单调递减
【变式1】（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．(0,1)
C．
D．(1,+∞)
【变式2】（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·吉林·期中）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 求含参函数的单调区间
【典例2】（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
求f (x)的单调区间;
【变式1】（24-25 高三上·天津西青·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
【变式2】（24-25 高二上·四川眉山·期中）已知函数
（
）.讨论
的单调区间.
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
在区间
上的单调性．
【变式4】（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设函数
．
（1）若
，求
的导数；
（2）讨论函数
的单调性．
题型03 已知函数递增、递减求参数
【典例3】（24-25 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·山东烟台·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
在区间
上单调递
减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
内单调递增，则
的
取值范围是 ．
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
上具有单调性，
则实数a 的取值范围是 .
【变式5】（23-24 高二下·四川德阳·期末）
，
，都有
，则实数m 的
取值范围为 .
题型04 已知单调区间求参数
【典例4】（23-24 高二下·山东菏泽·期末）已知函数
的单调递增区间为
，则
的值为
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·湖北孝感·阶段练习）函数
的单调递减区间为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·山东临沂·期中）函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
【变式3】（24-25 高三·全国·专题练习）若函数
恰好有三个单调区间，则实数a 的取
值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若函数
在区间
内单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
的单调递减区间是
，求实数a 的值.
题型05 已知函数存在单调区间求参数
【典例5】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
内存在单调递增区间，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在区间
上有单调递增区间，则
实数
的取值范围是 ．
【变式2】（23-24 高二下·四川泸州·期中）若函数
在
上存在单调递增区间，则
实数a 的取值范围是
【变式3】（24-25 高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，则m 的取值范围是 ．
题型06 已知函数不单调求参数
【典例6】（22-23 高二下·北京海淀·期中）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·山东菏泽·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）函数
在区间
上不单调，则实数 k 的
取值范围是 .
题型07 原函数与导函数图象关系
【典例7】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数y = f (x)，y = g(x)的导函数图象如图，那么y = f (x)，
y = g(x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数
与其导函数f
′ (x)的图象的一部分如图所示，
则关于函数
的单调性说法错误的有（ ）
A．在(−1,1)单调递减
B．在
单调递减
C．在
单调递减
D．在
单调递减
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在定义域内可导且导函数为f
′ (x)，且f
′ (x)的图象如
图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二下·全国·课前预习）已知
的导函数f
′ (x)的图象如图所示，那么
的图象最
有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·四川成都·期中）函数y = f (x)在定义域
内可导，记y = f (x)的导函数为
y = f
′ (x)，y = f
′ (x)的图象如图所示，则y = f (x)的单调增区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
题型08 利用导数比较大小
【典例8】（23-24 高二下·湖北·期末）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二上·江苏南京·期末）三个数
，
，
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·河北唐山·期中）若函数
，且
，设
，
，
则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不能确定
题型09 利用导数证明不等式
【典例9】（24-25 高二下·全国·课堂例题）当
时，求证：
．
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【变式2】（23-24 高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（ ）.
A．当
时，
B．当
时，
C．
（其中，为自然对数的底数）
D．当
时，
【变式3】（24-25 高二下·全国·课堂例题）证明不等式
．
题型10 利用导数解不等式
【典例10】（24-25 高三上·湖北武汉·期中）设函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
，若
，则实
数x 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知定义在
上的函数
的导函数
，且
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·广东深圳·期末）已知函数
，则不等式
的
解集为 .
【变式4】（2024 高三·全国·专题练习）设a，b 都为正数，为自然对数的底数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（23-24 高二下·重庆·期末）已知函数
在区间
上连续可导，则“
在区间
上恒成
立”是“
在区间
上单调递增”的（ ）条件.
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
2．（2024·四川成都·模拟预测）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数y = f (x)（x∈R）的图象如图，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·山东东营·期末）已知函数
，若函数
在
上单调递减，则实数m
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
在
存在单调递减区间，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）设
是定义在
上的可导函数，
，对任意实数
，有
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二上·全国·单元测试）若
都有
成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
8．（23-24 高二下·天津·期中）已知函数
，且
、
、
，则
、
、
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高三上·福建·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
有3 个零点
D．直线
与
的图象仅有1 个公共点
10．（24-25 高三上·福建宁德·期中）已知三次函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
11．（23-24 高二下·河南信阳·期末）设
的图象在区间
上是一条连续不断的曲线，
，
，
，总有
，则称
在
上是上凸函数.已知
是(0,+ ∞)的上凸函数，
且
（
是
的导函数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高二上·天津·期末）已知函数
，函数
的单调增区间为 .
13．（23-24 高二下·河北承德·期中）已知函数
在定义域上单调递增，则实数m 的取
值范围是 ．
14．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
的定义域为R，且
，
，则不等
式
的解集为 ．
四、解答题
15．（22-23 高二下·广东韶关·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间.
16．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数
.
(1)若函数
的图象在点
处的切线方程是
，求
和
；
(2)求函数
的单调区间.
17．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
，求
的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性；
18．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数y = f (x)的单调性；
(2)设函数
，若函数y = g(x)在
上为增函数，求实数
的取值范围．
19．（24-25 高二上·北京·期中）已知函数
，其中
，为自然对数的底数.
(1)当
时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
且
，请判断
与
的大小，并证明.
