第18 讲导数与函数的单调性、极值、最值
（知识清单+8 典例精讲+7 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
利用 f
'( x)>0,f
'( x)<0 判断单调区间，极值判定：f
'( x0)=0 且两侧导数变
号
解答题
12 分
函数单调性辨析、极值点个数判断、区间最值与导数综合应用
单选、多
选、解答题
5 分/6 分/12
分
含参数函数单调性分类讨论，利用极值、最值求解参数范围
解答题
12 分
综合考查单调区间求解、极值判定、闭区间最值比较
解答题
12 分
极值点正误辨析，单调性结合最值求解函数值域与不等式问题
多选、解答
题
6 分/12 分
单峰函数极值、最值快速求解，利用单调性比较函数值大小
多选、解答
题
6 分/12 分
导数讨论单调性，结合极值点分析函数零点个数问题
多选、填空
题
6 分/5 分
单调性比大小、极值最值综合，含参函数单调性分类讨论
解答题
12 分
极值点判定、单调区间求解、导数最值的实际综合应用
多选、解答
题
6 分/12 分
含参复杂函数单调性讨论，极值存在性判断与最值求解
多选、填
空、解答题
6 分/5 分/12
分
【知识点01】函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间
(a，b)上可导
f'(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f'(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f'(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
【例1】判断函数 f ( x)= x
3−3 x 的导数符号与单调性。
解析：求导：f
'( x)=3 x
2−3=3( x +1)( x −1)
当 x∈(−∞,−1) 时，f
'( x)>0，函数单调递增；
当 x∈(−1,1) 时，f
'( x)<0，函数单调递减；
当 x∈(1,+ ∞) 时，f
'( x)>0，函数单调递增。
【知识点02】利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数f(x)的定义域；
第2 步，求出导数f'(x)的零点；
第3 步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)
在定义域内的单调性.
【例2】求函数 f ( x)= x
2−ln x 的单调区间。
解析：定义域：x∈(0,+∞)
求导：f
'( x)=2 x−1
x = 2 x
2−1
x
令 f
'( x)=0，得 x =
❑√2
2
（舍去负根）
当 x∈(0,
❑√2
2 ) 时，f
'( x)<0，函数单调递减；
当 x∈(
❑√2
2 ,+ ∞) 时，f
'( x)>0，函数单调递增。
【知识点03】函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a 附近的
左侧f' ( x )<0
，右侧f' ( x )>0
，则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b 附近的
左侧f' ( x )>0
，右侧f' ( x )<0
，则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
【例3】求函数 f ( x)= x
3−3 x 的极值。
解析：定义域：R
f
'( x)=3 x
2−3=3( x +1)( x −1)
令 f
'( x)=0，得 x =−1, x =1
x =−1：左增右减，f (−1)=2，为极大值；
x =1：左减右增，f (1)=−2，为极小值。
【知识点04】函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值
f ( a ) ，
f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例4】求函数 f ( x)= x
3−3 x 在区间 [0,2] 上的最值。
解析：f
'( x)=3( x +1)( x −1)，在 (0,2) 内驻点 x =1
极值：f (1)=−2
端点值：f (0)=0,f (2)=2
对比得：
最大值 f ( x)max= f (2)=2
最小值 f ( x)min= f (1)=−2
【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性
【例1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过
，
确定
是最小的，然后通过变换
，
，构造函数
，利用导数求
解函数的单调性，从而确定
的大小，从而得到答案.
【详解】
，
，
，
又
，
，令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，
所以
，所以
，所以
，
又
，
．所以
，所以
，故A 正确.
【变式1】（2026·贵州毕节·三模）已知函数
（
且
），若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数
的奇偶性，再根据导数判断单调性，先利用基本不等式求
的最小值，再估算
的范围，以及确定
的数值范围，得到三个自变量的大小关系，进而结合单调性判断
的大小关系.
【详解】
，
因此
是偶函数，故
.
当
时，
对任意
，
，
，
因此
对
恒成立，
在
上单调递增.
，
而
，因此
，
即
，
结合
在
上单调递增可得
.
【变式2】（多选）（2024·河北衡水·模拟预测）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由
，得
所以
在
上是增函数，故A 正确.
由
，则
，当
时，
，当
时，
，所以
在定义域
上不是增函
数，故B 错误.
由
，
，
在定义域
上是增函数，故C 正确.
由
，得
，定义域为
，当
时，
，当
时，
，
在定义域内不是增函数，故D 错误．
【变式3】（2026·四川凉山·二模）已知
，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】利用
，
，将
转化为
的函数，利用导数分析其单调性，得到其取值范围.
【详解】由
，
，得
，所以
.
.
令
，则
.
因为
，所以
，所以
，即
，
即
恒成立，所以
是减函数.
所以
.
所以
的取值范围为
.
【题型二】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）在一个电路中，流过的电荷量
（单位：C）关于时间（单位：）的函数关
系式为
.记
时流过的电荷量为
时流过的电荷量为
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】对函数求导，判断单调性，进而可判断各选项.
【详解】对函数求导得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，C 正确，D 错误.
若
，则
的大小关系不确定，
错误.
故选：C.
【变式1】（多选）（2026·浙江·三模）已知a，x，
，
，
，则（ ）
A．当
时，
B．存在实数a，使得
C．对任意
，都有
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当
时，
．即可判断；对于C，设
，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据
，即可判
断
,利用
，即可判断
。
【详解】对于选项A，当
时，
，所以
，选项A 正确．
对于选项B，当
时，
．选项B 正确．
对于选项C，由题意，设
，则
．
，则
．
故
，当
时，
单调递减，
．
故
使
，故选项C 错误.
对于选项D 由题意：
，因为
，所以
，
另一方面：
，因为
，
即
，所以
，选项D 正确，
【变式2】（2026·山东聊城·二模）函数
的单调递减区间为______．
【答案】
/
【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数
的单调递减区间.
【详解】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，由
可得
，
故函数
的单调递减区间为
.
【变式3】（2025·河南鹤壁·模拟预测）设
的导数为
，若函数
的图象关于直线
对称，且
．
(1)求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间．
【答案】(1)
，
；
(2)
的单调递增区间为
,
；单调递减区间为
.
【分析】（1）求得
，根据二次函数对称性，以及
，即可求得
；
（2）根据（1）中所求解析式，判断
的正负，即可判断原函数单调性，从而求得单调区间.
【详解】（1）因
，故
．
因为
的图象关于直线
对称，即
，解得
．
又由于
，即
，解得
；
故
.
（2）由
知
，
．
令
，即
，解得
．
当
时，
，故
在
上为增函数；
当
时，
，故
在
上为减函数；
当
时，
，故
在
上为增函数．
综上所述，
的单调递增区间为
,
；单调递减区间为
.
【题型三】由函数在区间上的单调性求参数
【例3】（2025·河南·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数在
上单调递减可知
在
上恒成立，进而利用二次函数的性质求解即可.
【详解】由题知
在
上恒成立，所以
，得
.
故选：D.
【变式1】（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导，由题意将问题转换成
有解，构造函数
，由其单调性得到
，求解即可.
【详解】求导可得
，
由题意
有解，
即
有解，
即
有解，
令
，
因为
，易知
在
单调递增，
此时
，所以
，
又
，
，
所以
，解得：
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
【变式2】（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出.
【详解】函数
的定义域为
，
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，令
，则
，
因为
，所以
，则
，
故
在
上单调递减，
故
，故
的取值范围为
.
【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
得到
，再利用导数的几何意义求解；
（2）求导
，根据
在区间
上单调递增，由
恒成立求解.
【详解】（1）解：当
时，
，
，
则
，
，
所以当
时，
在点
处的切线方程为
（2）
，
因为
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上恒成立，
因为当
时，
，
所以
，即a 的取值范围是
【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间
【例4】（2026·四川成都·二模）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】(1)利用导数的几何意义求解；
(2)利用导函数研究函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，则
，
又
，∴曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
，
，
，由
，得
，由
，得
．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在点
处的切线斜率为2，求实数a 的值；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数
求导，再
将
代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解
的值；
（2）先求出函数
的定义域和导函数
，然后根据判别式
的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，
从而确定函数
的单调性.
【详解】（1）已知
，其定义域为
，
，则
，
因为函数
在点
处的切线斜率为 2 ，所以
，
即
，解得
.
（2）由（1）可知
，
令
，其判别式
，
当
，即
时
在
上恒成立，
又因为
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增；
当
，即
或
时，由
，即
，
根据求根公式可得
.
若
，则
，因为
，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，所以
在
上单调递增；
若
，则
，且
，
当 0
或
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
,
上单调递减.
【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在定义域内单调递减，并且对任意正数
都有
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数分析单调性可得；
（2）结合（1）的结果，转化问题为
，再构造函数
，求导后分离常数再结合
换元法和基本不等式可得.
【详解】（1）
，
①当
时，
恒成立，故
在
上递增；
②当
时，
在
上递增，
在
上递减；
③当
时，
在
上递减．
（2）因为
在定义域内单调递减，所以
．
不妨设
，那么有
，
于是不等式
等价于
，
，
设
，则
，即
在
上递减，
故
对
恒成立，也即
对
恒成立，
令
，则
，故
，
当且仅当
时取等号，则
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求实数
的值；
(2)若
，
，求
的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间是
，递减区间是
（其中是
的唯一零点）.
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出
并验证即得.
（2）求出函数
及导数
，探讨
的单调性及零点，进而求出
的单调区间.
【详解】（1）函数
，求导得
，
由曲线
在点
处的切线与
轴平行，
得
，
，
此时
，直线方程为
，该直线与
轴平行，符合题意，
所以
.
（2）当
时，
的定义域为
，
求导得
，
函数
在
上都递减，
则函数
在
上递减，
而
，
因此存在
，使得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的递增区间是
，递减区间是
（其中是
的唯一零点）.
【题型五】求已知函数的极值
【例5】（2025·河南·模拟预测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】C
【分析】求导得
，令
，求得极值点，进而可得
的单调性，代入求解，即可得答案.
【详解】由题意，
，
，
令
，解得
或1，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
，
取得极小值，且
.
故选：C
【变式1】（2026·河北张家口·三模）若
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分离参数可得
，利用导数求得极大值点即可求解.
【详解】易知
，则
，
等价于
，
，则
.
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
.
【变式2】（2026·广东·模拟预测）函数
的极小值为____________．
【答案】
【分析】求导得
，令
，结合
的单调性可求函数
的极小值.
【详解】函数
的定义域为
，
由
，得
，
所以
，
令
，
因为
，
所以
为单调递增函数，
为单调递减函数，
所以
为单调递增函数，
又
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，
，
所以函数
在
处取得极小值，极小值为
.
【变式3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)极大值为
，极小值为
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把
代入，利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数的导数，再按
分类求出导函数值为正为负的解集即可.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，由
，得
或
；
由
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的极大值为
，极小值为
.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
或
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
或
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
【题型六】根据极值点求参数
【例6】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
在
处取得极值
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】根据极值的概念可知
，再解方程即可．
【详解】解：
，又
在
处取得极值
，
，解得
或
，
经检验
符合题意，
时，
单调递增无极值，故舍去，
则
．
【变式1】（2026·贵州·模拟预测）（多选）已知函数
在
处取得极小值，则
的
取值可能是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】ABC
【分析】求出
，再按照
、
以及
的零点大小分类讨论函数的单调性即可.
【详解】
.
当
时，
，则
得
；
得
；
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，符合题意；
当
时，令
，得
或
，
当
时，
，则
得
或
；
得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极小值点，符合题意；
当
时，
在
上单调递增，没有极值；
当
时，
，则
得
或
；
得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极大值点，不符合题意，
综上，
，则符合题意的有ABC 选项.
故选：ABC
【变式2】（2026·重庆渝中·二模）已知
是函数
（
）的极值点，则
______．
【答案】2
【分析】对函数求导并结合
求参数值，注意验证
是否为极值点.
【详解】由题设
，且
，即
，
此时
且
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，满足题设，故
.
【变式3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知曲线
在点
处的切线方程是
．
(1)求
，
的值；
(2)若
在区间
有唯一极值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由切点
在切线方程
上，求出
，又利用切线的斜率建立方程得到
，即解出.
（2）由（1）知
，利用导数研究
的单调性即可求解.
【详解】（1）因为切点
在切线方程
上，所以
.
对于
，可变形为
，
则曲线
在点
处的切线的斜率是
，
而
，
.
综上可得，
，
.
（2）由（1）知
，
，令
，解得
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
若
在区间
有唯一极值点，
则
或
，
解得
或
，
则
的取值范围为
.
【题型七】由导数求函数的最值(不含参)
【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数判断函数
的单调性，进而可求得最大值.
【详解】
，
，
，
，即
，
在
上单调递增，
.
故选：D.
【变式1】（2026·湖北恩施·二模）已知
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】AD
【分析】通过三角恒等变换，引入中间变量
将
和
分别转化为关于的函数，并根
据
的范围确定的取值范围，再利用导数求函数的单调性，进而求出值域，从而判断各选项的正误.
【详解】
，
令
，则
，
即
，则
，
，
因为
，所以
，则
设
，则
，
时
，即
在
上单调递减，
当
时，
，
当
时，
，所以
故
有最小值
，无最大值；故A 正确B 错误；
，
设
，则
，
时
，即
在
上单调递增，
当
时，
，
当
时，
，所以
则
有最大值
，无最小值，故D 正确C 错误.
【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）已知曲线
，
，
，
，当
轴时，
________．
【答案】
【分析】设
，则
，构造函数
，利用导函数研究其最小值.
【详解】当
轴时，设
，则
，则
记
，则
，
故当
时，
，则
在区间
上单调递减；
当
时，
，则
在区间
上单调递增；
故有
，故
【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
是
的两个极值点，且
，求a 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值；
（2）求导，得到
是方程
的两个正根，从而得到不等式，求出
，由韦达定理整理
得到
，结合函数单调性得到
，求出答案.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
．
（2）由题意知，函数
的定义域为
，求导得
，
因为
是
的两个极值点，
所以
是方程
的两个正根，
则有
解得
．
且
，
而
，
所以
，
又
，下面证明
在
上单调递增，理由如下：
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
易知
，即
，
所以
，
故
．
【题型八】函数单调性、极值与最值的综合应用
【例8】已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察选项的式子的特点，构造函数
，对函数进行求导，判断单调区间，根据增减性判断函数
值的大小，化简变换后即可选出结果.
【详解】先判断
，
及
，
大小，即
及
的大小，设函数
，
则
，当
时，
在
内单减；当
时，
在
内单增.因
此
，故
， 故
，
，所以
，
故选：A.
【变式1】（2024·江苏南通·二模）若函数
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出
的范围．
【详解】函数
，
可得
，
若
，此时
单调递增，无极值点，
故
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
故
是
的极值点
由于函数
有大于零的极值点，
，解得
．
故选：C．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若
，且
，则
的最小值
为______．
【答案】
【分析】设
，可得
，
，构造函数
，根据导数判断函数
的单调性与最值.
【详解】设
，即
，
，
，则
，
所以
，
，则
，
令
，
则
，
所以当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，为
，
即
取得最小值，为
，
故答案为：
.
【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）已知
.
(1)若
是
的极值点，求
的值，并判断
是
的极大值点还是极小值点；
(2)设
的最小值为
.
（i）求
的解析式；
（ii）证明：
的最大值为2.
【答案】(1)
，
是
的极小值点
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）对
求导，根据
算出
值，再分析导数正负确定单调性，进而得到极小值点.
（2）（i）先对
求导，令导数为
求出极值点，根据导数正负判断单调性，得出
表达式.
（ii）要证
最大值为
，先注意到
，将问题转化为证明
，构造函数
，对其求导判断单调性，得出
，从而证明不等式，得出
最大
值为
.
【详解】（1）由
，且
，得
.
当
时，
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
是
的极小值点.
（2）（i）
，令
，得
，即
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
．
（ii）证明：注意到
，要证
的最大值为2，只需证明
，
即证
，即
，等价于
.
设函数
，
则
，令
，得
，即
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
所以
，
，即
得证.
综上所述，
的最大值为2.
【解题大招01】函数单调性快速判定技巧
核心技巧：求导后不复杂解方程，优先因式分解、判断导函数正负，快速划分单调区间，规避多余计算。
核心结论{f
'( x)>0⇒函数单调递增
f
'( x)<0⇒函数单调递减
避错口诀：定义域优先、因式再判号、零点分区间、正负定增减。
【例1】求函数 f ( x)= x −e
x 的单调区间。
解析：定义域：x∈ℝ
求导：f
'( x)=1−e
x
令 f
'( x)=0，得 x =0
当 x∈(−∞,0) 时，f
'( x)>0，函数单调递增；
当 x∈(0,+∞) 时，f
'( x)<0，函数单调递减。
【解题大招02】含参函数单调性分类讨论技巧
核心思路：导函数为一次、二次型含参函数，优先讨论参数范围、零点大小、开口方向，按顺序分类，不重不
漏。
讨论顺序：二次项系数→判别式→根的大小。
【例2】讨论函数 f ( x)= x
2−ax（a∈ℝ）的单调性。
解析：定义域：x∈ℝ，f
'( x)=2 x −a
1. 当 a≤0 时，2 x−a 在 ℝ 上恒增，x> a
2 时 f
'( x)>0；
函数在 ( a
2 ,+∞) 单调递增，在 (−∞, a
2 ) 单调递减；
2. 对任意实数 a，单调区间统一结论：
递减区间：(−∞, a
2 )，递增区间：( a
2 ,+∞)。
【解题大招03】极值快速判定秒杀技巧
核心技巧：驻点 f
'( x0)=0 只是必要条件，左右导数变号才是极值核心，不变号一定无极值。
秒杀结论
左正右负 ⇒ 极大值点，左负右正 ⇒ 极小值点
【例3】求 f ( x)= x
3−3 x
2 的极值。
解析：f
'( x)=3 x
2−6 x =3 x( x−2)
令 f
'( x)=0，得 x =0, x =2
x =0：左正右负，f (0)=0，极大值；
x =2：左负右正，f (2)=−4，极小值。
【解题大招04】真假极值点辨析技巧
易错点：f
'( x0)=0 不一定是极值点，若导数在该点左右符号不变，为假极值点。
典型反例技巧：幂函数、三次函数常出现驻点非极值点情况。
【例4】判断 f ( x)= x
3 是否存在极值。
解析：f
'( x)=3 x
2≥0，令 f
'( x)=0 得 x =0
x =0 左右导数均为正，符号不变，无极值。
【解题大招05】闭区间最值万能求解技巧
万能步骤：不求复杂单调性，只找区间内极值点+计算端点值，三者对比直接出最值。
核心公式
f ( x)max=max {区间极值,f (a),f (b)}
f ( x)min=min{区间极值,f (a),f (b)}
【例5】求 f ( x)= x
3−3 x +1 在 [−2,2] 上的最值。
解析：区间内极值点：x =−1, x =1
极值：f (−1)=3,f (1)=−1
端点值：f (−2)=−1,f (2)=3
对比得：最大值 3，最小值 −1
【解题大招06】开区间最值快速判断技巧
核心结论：开区间 (a,b) 函数无端点值，只有极值，无绝对最值；若函数单调，则无最值。
【例6】判断 f ( x)= x −e
x 在 (0,+∞) 内是否存在最值。
解析：f
'( x)=1−e
x<0，函数在区间内单调递减
开区间无端点，无最大值、无最小值。
【解题大招07】导数比大小秒杀技巧（利用单调性）
比较多个函数值大小，无需代入计算，求导判断单调性，利用自变量大小直接比函数值。
若函数单调递增：x1< x2⇒f ( x1)<f ( x2)
若函数单调递减：x1< x2⇒f ( x1)>f ( x2)
【例7】已知 f ( x)= x−ln x，比较 f (1),f (2),f (e) 的大小。
解析：f
'( x)=1−1
x ，x∈(1,+ ∞) 时 f
'( x)>0，单调递增
由 1<2<e，得 f (1)<f (2)<f (e)
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用函数单调性可得
，进一步分析各选项即可.
【详解】依题意，得：
，
令
，
，
则
，
在
上单调递增；
又
，得
，
又
，即
，
又
在
上单调递增，
，
，
即
，
∴
，故A 正确，B 不正确；
取
得：
，
此时
，故C、D 都不正确.
故选：A
2．（2025·四川·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的定义域，解不等式
，即可得出函数
的增区间.
【详解】函数
的定义域为
，则
，
因为
，由
，可得
，
故函数
的单调递增区间为
.
故选：A.
3．（2026·福建漳州·二模）已知
是函数
的一个极值点，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】由题意得：
，
又
是
的一个极值点，所以
，所以
，
所以
，所以
.
二、多选题
4．（2025·海南海口·模拟预测）
是定义在区间
上的函数，其导函数
的图象如图所示，则在区间
内（ ）
A．函数
有三个极值点
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的最大值可能为
D．函数
的最小值可能为
【答案】BC
【分析】利用导数图象分析函数
的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于AB 选项，由图象可知，当
或
时，
，当
时，
.
所以，函数
的减区间为
、
，增区间为
，
所以，函数
只有两个极值点，A 错，
函数
的单调增区间为
，B 对；
对于CD 选项，函数
的最大值可能为
，C 对，
因为函数
在
上单调递减，则
，故函数
的最小值不可能为
，D 错.
故选：BC.
三、填空题
5．（2026·河北承德·一模）已知函数
是增函数，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【详解】函数
的定义域为
，
由题可知
恒成立，故
，
当
时，
，当且仅当
时等号成立，故
．
6．（2026·江苏扬州·三模）函数
在区间
上的最大值为_________．
【答案】2
【详解】∵
，
，
∴ 对
求导得
.
令
，解得
，
，均属于区间
.
分别计算
在区间端点和极值点处的函数值：
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
比较上述函数值大小：
，
∴ 函数
在区间
上的最大值为
.
四、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)极小值为
，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性,得到函数的极小值点，求得极小值.
（2）把所解不等式移项后,构造函数
,利用导数研究函数
的单调性，利用单调性解得
不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时,
,
在
时为减函数；
当
时,
,
在
时为增函数，
所以
的极小值为
，无极大值.
（2）不等式
，
令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递减，且
，由
，解得
，
所以原不等式的解集为
．
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直，求实数的值；
(2)若
，求函数
的单调区间.
【答案】(1)
(2)函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可.
【详解】（1）由题意知
的定义域为
，
由题设知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，即
，
所以
；
（2）由于
的定义域为
，
当
时，
单调增；当
单调减，
故函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数
为增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
由函数
是增函数，得
，
恒成立，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，
函数
，即
在R 上单调递增，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，则
，
所以
的取值范围是
.
2．（2026·江苏·三模）设
上的可导函数
满足
，且
是偶函数．若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的正负得出
的单调性，再结合
是偶函数得出
的对称轴，由函数图像的对称性即
可求解．
【详解】由
得，当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
是偶函数，所以
的对称轴为直线
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，
所以
．
二、多选题
3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
，其中
．则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象为中心对称图形
B．
时，函数
在
上单调递减
C．对任意的实数
，
，
既没有最大值，也没有最小值
D．若
有两个不同的极值点，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对A：计算可得
，即
的图象关于点
中心对称；对B：求导后计算即可得；
对C：分
及
进行讨论，计算
值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得.
【详解】对A：
，
故
的图象关于点
中心对称，故A 正确；
对B：
，
当
时，
，
故函数
在
上单调递增，故B 错误；
对C：由
，
则当
时，
，无最大、最小值；
当
时，
，则
，无最大、最小值；
综上可得，对任意的实数
，
，
既没有最大值，也没有最小值，故C 正确；
对D：
，令
，则
，
若
有两个不同的极值点，则
有两个不同根，
当
时，
，
，无实数根，不符；
当
时，若
，则
，不符，则
，
令
，
，
有
，则
为偶函数，
当
时，
，则由对勾函数性质可知
单调递增，
又
单调递增，故
单调递减，且
，
故
，则
；
故
有两个不同的极值点的充要条件为
，故D 正确.
三、填空题
4．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为______.
【答案】
【分析】先设切点为
，根据切线方程可得
，进而可得
，再构造函数
，用导数求得函数的最大值可得.
【详解】设切点为
，对曲线
求导得：
.
因为切线
斜率为，因此：
且
，
所以
，即
，得
.
再将
代入
得：
，即
，
两边取对数整理得：
.
所以
，
令
，求导：
，
令
，得
，即
，
因为
在
上单调递减，
所以当
时，
；当
时，
.
因此函数
在
上单调递增，在
单调递减，
所以
是函数
的极大值点也是最大值点，
因此
.
故
的最大值为
.
四、解答题
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当
时，
即可.
【详解】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在
上递增，
故
，即
在
上单调递增，
故
，问题得证
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）
，证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得
，接着构造函数
，利用导数工具研究函数
的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数
在区间
上存在唯一极值点；再结合
和
时
的正负情况即可得证
在区间
上存在唯一零点；
（2）（i）由（1）
和
结合（1）中所得导函数
计算得到
，再结合
得
即可得证；
（ii）由函数
在区间
上单调递减得到
，再结合
，
和函数
的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【详解】（1）由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知
，则
，
，
，
则
，
，
，
即
在
上单调递减.
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·河南南阳·模拟预测）下列函数中，满足“
，当
时，都有
”的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
则
单调递减，利用函数图象，导数，依次判断函数的单调性即可.
【详解】“
，当
时，都有
等价于
，当
时，都有
.令
则
单调递减.
对于A，
，
，故该函数在
上不单调，不满足题意；
对于B,
，该函数在
上不单调，不满足题意；
对于C，
，
在
上单调递增，在
上单调递增，又
，故
在
上单调递增，不满足题意；
对于D，
，
时，
，
在
上单调递减；
时，
显然
在
上单调递减；又
，
故
在
上单调递减，满足题意.
故选：D
二、多选题
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知
，若
，则下列选项正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
D．对任意的实数，
【答案】ABD
【分析】对于A 选项，通过求导可得
存在两个极值点；对于B、C、D 选项，结合集合
的定义，即
在
时的取值范围，结合其单调性和极值点进行判断即可.
【详解】
，
，
，
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
为其极小值点，
为其极大值点，故A 正确；
当
时，
，
，
即为
在
时的取值范围，
又当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
时，
取得最大值
，
又
，当
时，
，
所以
，故B 正确；
当
时，
，
，即
，
当
时，
，
单调递减，所以
时，
取得最大值
，
又
时，
，所以
，
所以
，故C 错误；
对任意的实数，当
时，
若
，
的最大值为
，此时
；
若
，
的最大值为
，此时
；
综上所述，
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
3．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数
的两个极值点为
，记
，
．点
在
的图象上，满足
均垂直于
轴，设点
的横坐标为
．
（1）
______；
（2）若四边形
为菱形，则
______．
【答案】 0
【分析】因为函数有两个极值点，所以先对
求导，利用导数与极值点的关系，得到
是导数为0 的方
程的两根，再结合韦达定理得到
的值,因为
垂直于y 轴，所以A 和B、C 和D 的纵坐标相等，由此建立关
于m、n 的方程，继而推导出
与
的关系，即可求得第一空答案；若四边形
为菱形，则
，
建立关于a 的方程求解，可求得第二空答案.
【详解】由
，得
，
由题意可知
为
的两实数根，则判别式
，即
，
则
，且
，
均垂直于
轴，则
，即
，
整理得
，而
，故
，
结合
，得
，解得
或
（此时
重合，舍），
同理可得
，故
；
由上面分析可知
，
此时
的中点为
，即
，
的中点为
，即
，
即
，
的中点重合，四边形
为平行四边形；
若四边形
为菱形，则
垂直，则
；
，
由于
，则
，
则
，
，
由
，得
，结合
，解得
.
四、解答题
4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)证明：当
时，
仅有一个零点．
(2)设
的三个零点为
，
，（
）．
（ⅰ）求的取值范围．
（ⅱ）证明：
为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）把
代入，利用函数零点的意义变形并构造函数，再利用导数确定函数单调性即可推理得证.
（2）（i）利用函数零点的意义变形并构造函数，求出导数，按
，
分类讨论确定单调性，结合零点存在性
定理判断即可；
（ii）由（i）的信息确定
，
，的取值范围，再确定
，关系即可推理得证.
【详解】（1）证明：当
时，
，定义域为
.
由
，得
.
令
，则
，
则函数
在
上单调递增，
而
，即
为
的唯一零点.
故当
时，
仅有一个零点.
（2）（ⅰ）函数
的定义域为
，
由
，得
.
令
，依题意，则函数
有3 个零点，
，方程
，
.
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递增，
最多一个零点，不符合题意；
当
，即
时，方程
的两个根为
，
.
又
，则
，
又
，则
.
当
，
时，
；当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则
，而
，
因此
，
，
又当
时，
，当
时，
，
则函数
在
，
，
各有一个零点，故函数
有3 个零点，
即函数
有3 个零点.
综上，
.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
，
，
.
而
，
故
，而
，所以
.
则
也是函数
的一个零点，
又
，函数
只有3 个零点，所以
，
所以
，
因此，
为定值.
5．（2026·湖北黄冈·二模）设
，
．
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的最大值（用
表示）；
(3)若
有三个极值点，求
的取值范围．
【答案】(1)在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
(3)
【分析】（1）对
求导后分析导数符号即可得
的单调性；
（2）将
的解析式变为
，令
，通过分析单调性得到
使得
，
再利用
得到
，且可在
处取得等号，从而最大值即为
，
也可以通过分析
的单调性，得到其只有一个零点
，进而得到
在
取
得最大值并结合
求出最大值表达式；
（3）依题意
有三个变号零点，从而得到
有三个变号零点，首先判断出
时
是减函数，至多有一个零点，不合题意，再令
，求得其极小值为
，根据
和
分类讨论得到
的符号变化，进而得到
的单调性，最后分析
的零
点情况.
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，则
.
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
又
，所以当
时，
，即
；当
时，
，即
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）解法一：
，
令
，若
，则
在
上单调递增，
又
时，
；当
时，
，
所以
，使得
，接下来证明一个不等式
：
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值也即最小值
，
所以
恒成立，当且仅当
时等号成立，
于是有
（当且仅当
时等号成立），
所以
，
时等号成立，所以
．
解法二：
，
令
，
若
，则
，
在
上递减，
又
时，
，
，
所以在
上存在唯一的
(
)使得
，
当
时，
，即
，
递增；
当
时，
，即
，
递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，且有
，
即
，变形得
.
设
，则
，
在
上递增，
又
，所以
，得
，
故
．
（3）依题意
有三个变号零点，
令
，则
有三个变号零点，
.
若
，
，
在
上递减，至多有一个零点，不合题意；
因此
，令
，
则
，
故当
或
时，
，
递增；
当
或
时，
，
递减，
在
取得极小值，又
，当
时，
，
①若
，此时
，即
在
上恒成立，
所以
在
上递减，至多有一个零点，不合题意；
②若
，即
，解得
，
又
，且
，所以
，
故
在
上有且只有两个零点，设为
，如图所示，
当
或
时，
，即
，
递减；
当
时，
，即
，
递增，
因为
，所以
，
，
，
令
，
，则
，
在
上递增，
所以
，从而
，
，由
知
，
设
，
，则
，
所以
在
上递增，有
，即
，
又
时，
，
时，
，如图所示，
所以
有三个变号零点，
综上，
.
