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第17 讲导数的几何意义（切线方程）
（知识清单+5 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
定点切线方程：y −f ( x0)= f
'( x0)( x −x0)
单选题
5 分
切线斜率求解：k = f
'( x0)
解答小问
4 分
切线几何性质求参数
解答小问
4 分
曲线外点切线多解问题，设切点( x1,f ( x1))求解
填空题
5 分
切线斜率正负与单调性辨析
多选题
6 分
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
单选题
5 分
特殊切线：f
'( x0)=0水平切线、切线条数判断
多选题
6 分
切线平行垂直：k1=k2、k1⋅k2=−1
填空题
5 分
切线方程综合应用（大题基础问）
解答题
12 分
【知识点01】导数的几何意义
1. 核心几何意义
设函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导，则导数 f
'( x0) 的几何意义为：
f
'( x0) 是曲线 y = f ( x) 在点 P( x0,f ( x0)) 处的切线斜率。
核心结论：
1. 若 f
'( x0)>0，切线倾斜角为锐角，函数在该点递增；
2. 若 f
'( x0)<0，切线倾斜角为钝角，函数在该点递减；
3. 若 f
'( x0)=0，切线水平，倾斜角为 0
∘；
4. 若导数不存在，切线可能垂直于x 轴（竖直切线）。
2. 割线与切线的关系
平均变化率 Δ y
Δ x 对应割线斜率；
当 Δ x→0，割线无限逼近切线，割线斜率极限即为切线斜率：
k =
lim
Δ x→0 f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
= f
'( x0)
【例1】已知 f ( x)= x
2，判断曲线在 x =1 和 x =−2 处切线的增减趋势。
【知识点02】切线方程与法线方程公式
1. 切线方程（高考必考）
曲线 y = f ( x) 在点 ( x0,f ( x0)) 处：
斜率：k = f
'( x0)
切线方程：y −f ( x0)= f
'( x0)( x−x0)
2. 法线方程（切线垂线）
法线与切线垂直，斜率乘积为 −1：
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)
法线方程：y −f ( x0)=−
1
f
'( x0)
( x−x0)
【例2】求曲线 y = x
3 在点 (1,1) 处的切线方程。
【知识点03】两类切线题型核心区别
1. 在曲线上一点的切线（单点唯一切线）
题干特征：“在点 ( x0, y0) 处的切线”，该点在曲线上，直接代公式求解，切线唯一。
2. 过曲线外一点的切线（多条切线）
题干特征：“过点 ( x0, y0) 的切线”，该点不一定在曲线上，需设切点求解，可能存在多条切线。
解题通用步骤：
1. 设切点 ( x1,f ( x1))；
2. 写出切线方程 y −f ( x1)= f
'( x1)( x−x1)；
3. 将已知外点代入方程，求解 x1；
4. 回代得到对应切线方程。
【例3】求过点 (2,0) 且与曲线 y = x
2 相切的直线方程。
【知识点04】特殊切线情况
1. 水平切线：f
'( x0)=0，切线方程为 y = f ( x0)
2. 竖直切线：f
'( x0) 不存在，切线方程为 x = x0
【例4】求曲线y = x
2−2 x 的水平切线方程。
解析：y
' =2 x−2
令 y
' =0，得 x =1
代入原函数得 y =−1
水平切线方程：y =−1
【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角)
【例1】（2026·河北邯郸·一模）“曲线
在
处的切线的倾斜角为
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数
的部分图象，记
的导数为
，则下列选项中值最大
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
________.
【变式1】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线
是函数
的图象的一条切线，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．e
D．
【变式2】（2024·河南信阳·三模）动点P 在函数
的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·全国·模拟预测）若函数
和
的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共
点），则称该直线为函数
和
的“隔离直线”.已知
，
，若
和
在公共
定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
【例4】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（多选）（2026·安徽宿州·一模）设函数
，则（ ）
A．
在
处的切线方程为
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
【例6】（2026·云南·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为____________.
【变式1】（2026·安徽·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）若函数
的图象在
处的切线过点
，则
___________.
【变式3】（2026·山东潍坊·一模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
存在极小值，且极小值大于0，求
的取值范围.
【题型三】求过一点的切线方程
【例7】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线
过坐标原点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，则满足过点
可作出3 条直线与
图象相切的充分条件是（ ）
A．
，
B．
C．点
在射线
上
D．点
在曲线
上
【例9】过点
作曲线
的切线，则切点坐标为______.
【变式1】（2025·河南周口·二模）将曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与y 轴相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线
在点
处的切线过原点
，则
__________.
【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知
.
(1)若
（i）过点
作曲线
的两条切线，求
的取值范围；
（ii）求不等式
的解集；
(2)若
在区间
内存在极小值点，求
的取值范围.
【题型四】已知切线(斜率)求参数
【例10】（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
_________.
【例11】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【例12】（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线
相切的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·山东青岛·二模）已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b 为正实数，直线
与曲线
相切，则
最
大值为______.
【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知函数
，直线
与曲线
相切．
(1)求实数
的值；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数
的取值范围．
【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
【例13】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
【例14】（2026·河北·二模）若函数
的图象在点
处的切线恰好与函数
的
图象切于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例15】（2026·陕西榆林·三模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
______.
【变式1】（2026·陕西商洛·二模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
【变式3】已知函数
，其中
，
．
(1)当
时，若
存在大于零的极值点，求b 的取值范围．
(2)若存在
，
（其中
，使得曲线
在点
与点
处有相同的切线，
求a 的取值范围．
【解题大招01】定点切线方程速求技巧
适用题型：题干给出“在曲线上该点处的切线”，点在曲线上，切线唯一。
解题三步法
1. 求导得到导函数 f
'( x)；
2. 代入横坐标得斜率 k = f
'( x0)；
3. 代入点斜式公式直接写方程。
核心公式
y −f ( x0)= f
'( x0)( x−x0).
【例1】求曲线 y = x
2+1 在点 (1,2) 处的切线方程。
【解题大招02】过曲线外一点切线求解技巧
题型特征：题干为“过点 ( x0, y0) 的切线”，点不在曲线上，存在多条切线，不可直接代点。
解题套路
1. 设切点 ( x1,f ( x1))；
2. 写出切线方程 y −f ( x1)= f
'( x1)( x−x1)；
3. 将外点代入方程，解出x1；
4. 回代得到全部切线方程，切勿漏解。
【例2】求过点 (3,0) 且与曲线 y = x
2 相切的直线方程。
【解题大招03】切线平行、垂直快速判定技巧
核心结论
已知直线斜率为 k0，曲线切线斜率 k = f
'( x0)
1. 平行：k =k0
2. 垂直：k ⋅k0=−1
【例3】求曲线 y =e
x 上与直线 y = x 平行的切线方程。
【解题大招04】法线方程速求技巧
方法口诀：切线斜率取负倒数，点斜式直接套用。
核心公式
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)
法线方程：y −f ( x0)=−
1
f
'( x0)
( x−x0)
【例4】求曲线 y = ln x 在点 (1,0) 处的法线方程。
【解题大招05】特殊切线快速判断技巧
1. 水平切线：令 f
'( x0)=0，切线方程 y = f ( x0)
2. 竖直切线：f
'( x0) 不存在，切线方程 x = x0
【例5】求 y = x
2−4 x 的水平切线方程。
【解题大招06】参数型切线方程解题技巧
方法核心：参数视为常数，正常求导，利用切线条件列方程求参数。
【例6】若曲线 y =a x
2 在 x =1 处切线方程为 y =2 x +b，求 a,b。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与
轴平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）
在点
处的切线方程是
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
二、多选题
4．（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，曲线
在点
处的切线方程为
B．当
时，曲线
在点
处的切线方程为
C．当
时，曲线
上不存在斜率为0 的切线
D．当
时，曲线
在点
处的切线斜率为0
三、填空题
5．（2026·广东深圳·二模）若直线
是曲线
的一条切线，则
___________．
6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线
在
处的切线的倾斜角为__________．
四、解答题
7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，且曲线
在点
处的切线与x 轴平行．
(1)求a，b；
(2)求
的极值点个数．
8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
（
，
，
）在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)分析函数
的单调性.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数
满足当
时，
，则
的图象在
处的
切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·江西·模拟预测）已知
是
的导数，且
，则（ ）
A．
B．
的图像在
处的斜率为
C．
D．
在
上的极小值点为
三、填空题
4．（2026·河南·模拟预测）已知直线l 与曲线
和
都相切，则直线l 的方程为_________．
5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，且
时，
有极值，则
_____．
四、解答题
6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数
，其中
，且
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恰有两个极值点，求实数
的取值范围．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）若直线
是曲线
的一条切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河北·三模）若函数
的图象不存在过原点的切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的极大值为
B．函数
的极小值为
C．直线
是函数
图象的一条切线
D．若关于
的不等式
有唯一的整数解，则实数
的取值范围是
三、填空题
4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的取值范围为______．
四、解答题
5．（2026·山东济南·二模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
是
的极大值点，求
的取值范围．
