第18 讲 函数的综合应用 · 分类练习
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
1.已知数列{xn}，满足x1=1，2 xn+1= ln(1+ xn) (n∈N
*)，设数列{xn}的前n项和为Sn，则以
下结论正确的是（ ）
A. xn+1> xn
B. xn-2 xn+1< xn xn+1
C. 2❑√xn+2> xn+1+1
D. Sn+5>2
2.已知函数f ( x)=e
x - x -1，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1= 1
2，an+1= f (an)，则下列有
关数列{an}的叙述正确的是（ ）
A. a5<|4 a2-3a1|
B. a7≤a8
C. a10>1
D. S100>26
3.已知数列{an}满足：an>0，且an
2=3an+1
2
-2an+1(n∈N
*)，下列说法正确的是（ ）
A. 若a1= 1
2，则an>an+1
B. 若a1=2，则an≥1+(
3
7)
n-1
C. a1+a5≤2a3
D. |an+2-an+1|≥
❑√3
3 |an+1-an|
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
4.（2026·江西五市十校·3 月联考）（多选）若f ( x)=( x -1)
2-2ln 2- x
x
+1，数列{an}的前n
项和为Sn，且S1= 1
10，2Sn=nan+1，则下列说法正确的是（ ）
A. f ( x)关于点(1,1)成中心对称
B. 数列{an}是等差数列
C. ∑
i=1
19
f (ai)=19
D. 数列{an}的通项公式为an= n
5
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
5.已知函数f ( x)=sin x + ln x，将f ( x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列
{xn}，对于∀n∈N +，则下列说法中正确的是（ ）
A. nπ < xn<(n+1)π
B. xn+1- xn<π
C. 数列{|xn- (2n-1)π
2
|}是递增数列
D. f ( x2n)<-1+ ln (4 n-1)π
2
6.（2026·河南濮阳·二模）（多选）已知定义在(0,+∞)上的函数f ( x)满足：
f ( x +1)=2f ( x)+[ x ]，其中[ x ]表示不超过x的最大整数.当x∈(0,1]时，f ( x)= x ln x，设数
列{an}满足an= f (n)，数列{bn}为f ( x)从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确
的是（ ）
A. 数列{an+n+1}为等比数列
B. ∃k ∈N
*，使得ak>2
k -2
C. 数列{bn}的通项公式bn=n-1+ 1
e
D. ∀n∈N
*，都有f (bn)<0
7.（2026·山东济宁·二模）已知实数a>0，设函数f ( x)=e
ax +1cos x.
（1） 若a=1，讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 若x∈(0, π
2 )，证明：函数f ( x)有唯一极大值点x0，且asin 2 x0>e
- 1
a；
（3） 记函数f ( x)在(0,+∞)内的从小到大的第n(n∈N
*)个极值点为xn，判断数列{f ( xn)}
是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
8.已知函数f ( x)是定义域为R的函数，f (2+ x)+ f (- x)=0，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)(x1< x2)，
均有f ( x2)- f ( x1)>0，已知a,b(a≠b)为关于x的方程x
2-2 x +t
2-3=0的两个解，则关于t的不
等式f (a)+ f (b)+ f (t )>0的解集为（ ）
A. (-2,2)
B. (-2,0)
C. (0,1)
D. (1,2)
9.（2026·山东青岛·一模）（多选）已知函数f ( x)= ln| x|+ x
2- 1
x
2，则（ ）
A. f ( x)在区间(0,+ ∞)上单调递增
B. f ( x)恰有两个零点
C. 不等式f ( x)<f (1- x)的解集为{x∣0< x< 1
2 }
D. 若f (m)+ f (n)=0，则m
2+n
2的最小值为2
10.（2025·河北名校协作体·一模）（多选）已知函数f ( x)的定义域为R，且∀x , y ∈R，
f ( x)f ( y)= f ( xy )+ x
2 y
2( x
2+ y
2)，则（ ）
A. f （0）=0
B. f ( x + 1
x )>f (2sin x)
C. 函数g( x)= f ( x)
x
2 的值域为[1,+ ∞)
D. 关于x的方程|
f ( x)
x
3 |+ x - ln| x|-3=0有且仅有一个实数根
11.关于x的不等式( x -1)
9999-2
9999⋅x
9999≤x +1，解集为＿＿＿＿＿＿.
考法5：构造函数比较大小或解不等式
12.（2025·福建福九联盟·5 月联考）已知可导函数f ( x)是定义在(- π
2 , π
2 )上的奇函数.当
x∈(0, π
2 )时，f ( x)+ f
'( x)tan x >0，则cos x⋅f ( x + π
2 )+sin x⋅f (- x)>0的解集为（ ）
A. (- π
2 ,- π
4 )
B. (- π
4 ,0)
C. (- π
4 , π
4 )
D. (- π
4 ,0)
13.（2026·河北名校协作体·一模）（多选）设x>0且x≠1，y >0，若x ln y = x
2-1，则下列
大小关系可能成立的有（ ）
A. x
2< y
B. logx
2 y <1
C. x
2> y
D. logx
2 y >1
考法6：双变量不等式恒成立求参数
14.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数f ( x)定义域为(1,+∞)，f (e)=e，对于任意
x1, x2∈(1,+∞)，当x1> x2时，ln x1⋅ln x2[ f ( x1)- f ( x2)]< x1ln x2- x2ln x1，其中e为自然对数
的底数，若af (e
2
a )>2e
2
a，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
15.（2026·安徽合肥·三模）已知函数f ( x)=( x +k )ln x -e( x -1)，k ∈R.
（1） 当k =0时，求f ( x)的单调递减区间；
（2） 若在区间(e ,+ ∞)上，f ( x)为增函数，求k的取值范围；
（3） 若x>1时，f ( x)的最小值为0，求k.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
16.（2025·河北沧州五县·一模）已知函数f ( x)= x
1
x ( x>0)，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 对任意的n∈N
*，都有n
n+1>(n+1)
n
B. 当0<m<e
1
e时，f ( x)-m=0有两个实根
C. 若关于x的方程a
x = x
a(a>0且a≠1)在(0,+∞)上只有一个解，则a的取值范围为(0,1)
D. 若方程f ( x)-m=0有两个不同的根，且(f ( x)-m)( x
2-cx +d)≤0恒成立，则
2
c <ln m< 1
❑√d
17.（2026·浙江Z20 联盟·第三次学情诊断）已知函数f ( x)= x +a
e
x (a∈R).
（1） 当a=1时，求函数f ( x)的最值；
（2） 讨论方程f ( x)= f (- x)的解的个数；
（3） 若方程f ( x)= f (- x)存在两个解x1, x2，且满足x1<0< x2，证明：|f
'( x1)|>|f
'( x2)|.
考法8：函数交点与面积最值
18.（2026·江苏前黄高中·攀登行动二）直线y =b与函数f ( x)= ln ❑√x
x
的图象交于A ,B两点，
过点A ,B分别作x轴的垂线，垂足为C , D，则当矩形ABDC的面积为ln3时，b的值为（
）
A. ln3
8⋅
4√3
B. ln3
4⋅
4√3
C. ln3
2⋅
4√3
D. ln3
4√3
19.（2026·长沙师大附中·一模）已知O为坐标原点，函数y =e
x与函数y =kx +2的图象有两
个不同的交点A ,B，当S△AOB取最小值时，k =＿＿＿＿＿＿.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
20.（2026·八省T8 联考·4 月联合测评）（多选）已知f ( x)={
e
x , x ≤0,
a+ ln( x +1), x>0,则
（ ）
A. 当a≥1时，f ( x)为增函数
B. 当0<a≤1时，f ( x)的值域为(0,+∞)
C. 当a=-1时，图象上存在关于原点对称的两点
D. 若a>0，∃m∈R，使得f (f (⋯f (m)⋯))恒为常数
21.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数f ( x)= log2 x.
（1） 若函数y = f (ax -3a+1)在区间[2,4 ]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2） 若h( x)= f (-1+
2
1- x )，且h(2m-1)+h(- 2
3 )<0，求实数m的取值范围.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
22.（2026·山东九五协作体·一模）（多选）高斯函数f ( x)=[ x ]又称为下取整函数，[ x ]表
示不超过x的最大整数，比如[-1.1]=-2，[1.1]=1. 设g( x)=sin x + 1
2 sin2 x，h( x)=[ g( x)]，
则（ ）
A. h( x)是奇函数
B. h( x)是周期函数
C. h( x)的值域为{-1,0,1}
D. 方程h( x)= x有且仅有2个实数根
23.（2026·山东泰安·三模）（多选）已知函数f ( x)= ln(cos x)+ ❑√3| x|，则下列选项正确
的是（ ）
A. f ( x)是偶函数
B. f ( x)在(- π
3 , π
2 )上单调递减
C. f ( x)的极值点为π
3 +2kπ ,k ∈Z
D. y = f ( x)- 1
2在[- π
2 , π
2 ]上且仅有4个零点
24.（2024·深圳光明区高中·5 月模考）（多选）已知函数f ( x)是定义域为R的可导函数，
g( x)= f ( x)-2 x. 若f ( x)是奇函数，且g( x)的图象关于直线x =1对称，则（ ）
A. f （2）=2
B. 曲线y = f ( x)在点(1,f （1）)处的切线的斜率为2
C. g
'(4 + x)= g
'( x)（g
'( x)是g( x)的导函数）
D. f ( x)的图象关于点(2,2)对称
25.（2025·江西十校·二模）（多选）如图，由函数y =e
x-e+1与y = ln( x +e -1)的部分图象
可得一条封闭曲线Γ，则下列说法正确的是（ ）
A. Γ关于直线y = x对称
B. Γ的弦长最大值大于3 ❑√2
C. 直线x + y =t被Γ截得弦长的最大值为
❑√2(e -2)
D. Γ的面积小于2e(e -2)
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
26.（2026·浙江金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定
义域内的任意x1，x2，当x1< x2时，都有f ( x1)≤f ( x2)，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列
选项中，不是“阶梯形函数”的是（ ）
A. f ( x)=[ x ]（不超过x的最大整数）
B. f ( x)=-
1
e
x+1
C. f ( x)= x +cos x
D. f ( x)= x
3+sin x
27.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有着重
要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以
上的方程没有根式解就可以用群论知识证明. 群的概念则是群论中最基本的概念之一，其
定义如下：设G是一个非空集合，“⋅”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的a,b∈G，有a⋅b∈G；②对任意的a,b,c∈G，有(a⋅b)⋅c =a⋅(b⋅c)；③存
在e∈G，使得对任意的a∈G，有e⋅a=a⋅e =a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在
b∈G，使a⋅b=b⋅a=e，称a与b互为逆元. 则称G关于“⋅”新构成一个群. 则下列说法不
正确的是（ ）
A. G ={0,1,2}关于数的乘法构成群
B. 自然数集N关于数的加法构成群
C. 实数集R关于数的乘法构成群
D. G ={a+ ❑√2b∣a,b∈Z }关于数的加法构成群
28.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近
一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
e
x =1+ x + x
2
2! + x
3
3! + x
4
4! +⋯+ x
n
n! +⋯
sin x = x - x
3
3! + x
5
5! - x
7
7! +⋯+(-1)
n+1
x
2n-1
(2n-1)! +⋯
由此可以判断下列各式正确的是（ ）
A. e
i x =cos x +isin x（i是虚数单位）
B. e
i π =-i（i是虚数单位）
C. 2
x≥1+ x ln2+ ( x ln2)
2
2
( x ≥0)
D. cos x ≤1- x
2
2 + x
4
24 ( x∈(0,1))
29.（2026·承德强基联盟·一模）（多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自
相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行
研究. 函数f ( x)={
1- x
2,-1≤x ≤1
2f ( x -2),1< x ≤5
- x
2+ 4 x +5, x<-1或x>5
就是一个“局部周期递归函数”. 则下列说法正
确的有（ ）
A. 函数f ( x)的值域为(-∞,1]
B. 函数f ( x)在(4 ,+∞)上单调递减
C. 方程f ( x)=1有5个不同的解
D. 若方程[ f ( x)]
2-tf ( x)+1=0有10个不同的解，则2<t < 5
2
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
30.（2026·山东日照·二模）已知函数y = f ( x)定义域为I，D⊆I. 若存在t ∈D，对任意
x∈D，当x<t时，都有f ( x)<f (t )，则称t为y = f ( x)在D上的“凸点”.
（1） 求函数y = 1
3 x
3-2 x
2+3 x在[0,5]上的最大“凸点”；
（2） 若函数f ( x)=(2+ax)ln(1+ x)-2 x在[0,2]上不存在“凸点”，求a的取值范围；
（3） 设D ={1,2,⋯,m}(m∈N
*)，且f （1）=0，f ( x)- f ( x -1)≤1，证明：y = f ( x)在D
上的“凸点”个数不小于f (m).
31.（2026·稳派联考·3 月检测）已知f ( x)是定义在区间D上的可导函数，其导函数为f
'( x).
f ( x),f
'( x)在D上的值域分别为A ,B，若D∩B = ⌀，则称f ( x)为“一阶跳跃函数”，若
D∩B = ⌀，且A ∩B = ⌀，则称f ( x)为“二阶跳跃函数”.
（1） 若D =(-1,+ ∞)，判断f ( x)= 1
2 x
2-e
x是否是“一阶跳跃函数”？
（2） 若f ( x)=2 x ln x +(1-a)x
2- a
3 x
3是D =(0,+∞)上的“一阶跳跃函数”，求整数a的最
小值；
（3） 若f ( x)= 1
2 a x
2-2 x -( x -2)e
x+cos x +b是D =(-1,1)上的“二阶跳跃函数”，求a+b
的取值范围.
32.（2025·江西九师联盟·5 月检测）已知函数f ( x),g( x)，若∃x1, x2,⋯, xk(k ∈N
*)，使得
f ( xi)= g( xi)(i=1,2,⋯,k )，且f
'( xi)= g
'( xi)，则称f ( x)与g( x)是“k - A类和谐函数”；若
∃x1, x2,⋯, xk(k ∈N
*)，使得f ( xi)= g( xi)(i=1,2,⋯,k )，且f
'( xi)≠g
'( xi)，则称f ( x)与
g( x)是“k - B类和谐函数”.
（1） 若f ( x)=a ln x与g( x)= x
2是“1- A类和谐函数”，求y = f ( x)与y = g( x)的图象在公
共点处的切线方程；
（2） 若f ( x)= x
3+a x
2+1与g( x)= x
3+ x + 3
4 a是“k - A类和谐函数”，求k与a的值；
（3） 求证：f ( x)=sin x与g( x)= ln x是“1- B类和谐函数”.
33.（2026·浙江北斗星盟·5 月联考）对于定义在区间I上的函数f ( x), g( x)，若对∀x∈I，
都有f ( x)≤g( x)，则称g( x)为f ( x)在区间I上的“上域函数”；若对∀x∈I，都有
f ( x)≥g( x)，则称g( x)为f ( x)在区间I上的“下域函数”.
（1） 试判断以下函数中，哪些是y = ln( x +1)在[0,+∞)上的“上域函数”？哪些是
y = ln( x +1)在[0,+∞)上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明）
①y = x；②y =
x
x +1；③y =- 1
2 x
2+ x；
（2） 已知实数k >0，y = kx
x +2是y = ln( x +1)在[0,+ ∞)上的“下域函数”，求实数k的取值
范围；
（3） 求证：∑
i=1
n
3
3i-1 - ln(1+ 3
3n )< 12
5 -2ln 2(n∈N
*).
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
34.（2026·江西G20 联盟·5 月预测）设函数f ( x)=
❑√x
4- x
2+1+
❑√2
2 ( x
2+ x +1)，则（ ）
A. f ( x)的最小值为1
B. f ( x)的最小值为❑√2
C. f ( x)=1有一个实根 D. f ( x)= ❑√2有两个实根
35.（2025·江西优创名校·4 月联考）函数f ( x)=
❑√2
2 x +
❑√x
2-8 x +25(0≤x ≤4)的最小值为（
）
A. 4
B. 7 ❑√3
3
C. 7 ❑√2
2
D. 5
36.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在(-∞,+∞)上的函数y = f ( x)，其导函数为f
'( x)，对
∀x∈(-∞,+∞)，满足f
'( x)=2f ( x)+e
2 x，f （1）=e
2，点A ,B分别为曲线y = f ( x)和直线
x - y -1=0上的动点，则| AB|的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
37.已知函数f ( x)=| x
3-6 x
2+ax +b|，对于任意的实数a,b，总存在x0∈[0,3]，使得
f ( x0)≥m成立，则当m取最大值时，a+b=（ ）
A. 7
B. 4
C. - 4
D. -7
38.已知函数f ( x)=|
x -2
x +2 -ax -b|，若对任意的实数a,b，总存在x0∈[-1,2]，使得f ( x0)≥m
成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. (-∞, 1
4 ]
B. (-∞, 1
2 ]
C. (-∞, 2
3 ]
D. (-∞,1]
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
39.函数f ( x)的定义域为D，若满足：①f ( x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使得f ( x)
在[a,b]上的值域为[ a
2 , b
2 ]，则称函数f ( x)为“成功函数”. 若函数f ( x)= logm(m
x+2t )（其
中m>0，且m≠1）是“成功函数”，则实数t的取值范围为（ ）
A. (0,+ ∞)
B. (-∞, 1
8 ]
C. [ 1
8 , 1
4 )
D. (0, 1
8 )
40.设函数f ( x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得f ( x)函数满足：（1）f ( x)在
[a,b]上是单调函数；（2）f ( x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函数f ( x)的
“和谐区间”，下列结论错误的是（ ）
A. 函数f ( x)= x
2( x ≥0)存在“和谐区间”
B. 函数f ( x)=e
x( x ∈R)不存在“和谐区间”
C. 函数f ( x)= 4 x
x
2+1
( x ≥0)存在“和谐区间
D. 函数f ( x)= loga(a
x- 1
8 )(a>0,a≠1)不存在“和谐区间”
41.函数f ( x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数f ( x)满足：①f ( x)在[a,b]
内是单调函数；②f ( x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y = f ( x)的“倍值区
间”. 下列函数中存在“倍值区间”的有
①f ( x)= x
2( x ≥0)；②f ( x)=e
x( x ∈R)；
③f ( x)= 4 x
x
2+1
( x ≥0)；④f ( x)= loga(a
x - 1
8 )(a>0,a≠1)（ ）
A.
①②③④
B.
①②④
C.
①③④
D. ①③
42.函数f ( x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数f ( x)满足：
①f ( x)在[a,b]内是单调函数；②f ( x)在[a,b]上的值域为[ka,kb]，则称区间[a,b]为
y = f ( x)的k级“理想区间”. 下列结论错误的是（ ）
A. 函数f ( x)= x
2( x ∈R)存在1级“理想区间”
B. 函数f ( x)=e
x( x∈R)不存在2级“理想区间”
C. 函数f ( x)= 4 x
x
2+1
( x ≥0)存在3级“理想区间”
D. 函数f ( x)= tan x , x∈(- π
2 , π
2 )不存在4级“理想区间”
考法16：根据函数不动点求参数
43.设函数f ( x)=
❑√e
x+(e -1)x -a(a∈R ,e为自然对数的底数)，若曲线y =sin x上存在点
( x0, y0)使f ( y0)= y0成立，则a的取值范围是（ ）
A. [1,2e -2]
B. [e
-1-e ,1]
C. [1,e ]
D.
[e
-1-e ,2e -2]
44.设函数f ( x)= ln x
x + x -a(a∈R)，若曲线y = 2e
x +1
e
2 x+1
(e是自然对数的底数)上存在点
( x0, y0)使得f (f ( y0))= y0，则a的取值范围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [0,e ]
C. (-∞, 1
e ]
D. [0,+∞)
45.若存在一个实数t，使得F(t )=t成立，则称t为函数F( x)的一个不动点. 设函数
g( x)=e
x+(1- ❑√e)x -a(a∈R ,e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数f ( x)满足
f (- x)+ f ( x)= x
2，且当x ≤0时，f
'( x)< x. 若存在x0∈{x∣f ( x)+ 1
2 ≥f (1- x)+ x}，且x0为函
数g( x)的一个不动点，求实数a的取值范围.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
46.将函数f ( x)= ln( x +1)( x ≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α ])，得到曲
线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A. π
B. π
2
C. π
3
D. π
4
47.双曲线x
2
3 - y
2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f ( x)的图象，关于此函数f ( x)
有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f ( x)是奇函数；
②f ( x)的图象过点(
❑√3
2 , 3
2 )或(
❑√3
2 ,- 3
2 )；
③f ( x)的值域是(-∞,- 3
2 ]∪[ 3
2 ,+∞)；
④函数y = f ( x)- x有两个零点.
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
48.定义域为R的函数f ( x)满足f ( x +2)=2f ( x)-1，当x∈[0,2)时，f ( x)={
x
2- x , x∈(0,1)
1
x , x∈[1,2) .
若x∈(0,4 ]时，t
2- 7t
2 ≤f ( x)≤3-t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A. [1,2]
B. [1, 5
2 ]
C. [ 1
2 ,2]
D. [2, 5
2 ]
49.已知定义域为R的函数f ( x)满足f ( x)=2f ( x +2)，当x∈[0,2)时，
f ( x)={
- x
2+ x +1, x∈[0,1)
( 1
2 )
x - 3
2 , x∈[1,2) ，设f ( x)在[2n-2,2n)上的最大值为an(n∈N
*)则数列{an}的
前n项和Sn的值为（ ）
A. 5-5( 1
2 )
n
B. 5
2 -5( 1
2 )
n
C. 5-5( 1
2 )
n+1
D. 5
2 -5( 1
2 )
n+1
考点七：V 型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
50.（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)=|2
x -m|在[1,2]上单调，则m的取值范围是（
）
A. (0,2]
B. [ 4 ,+ ∞)
C. (-∞,2]∪[ 4 ,+ ∞)
D. (0,2]∪[ 4 ,+∞)
51.已知等差数列{an}满足：
|a1|+|a2|+⋯+|an|=|a1- 1
2 |+|a2- 1
2 |+⋯+|an- 1
2 |=|a1+ 3
2 |+|a2+ 3
2 |+⋯+|an+ 3
2 |=72
则n的最大值为（ ）
A. 18
B. 16
C. 12
D. 8
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
52.已知a1,a2,a3与b1,b2,b3是6个不同的实数，若关于x的方程
| x -a1|+| x -a2|+| x -a3|=| x -b1|+| x -b2|+| x -b3|解集A是有限集，则集合A中，最
多有＿＿＿＿＿＿个元素.
