第15 讲 单调性问题·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知函数y = x ln x，则（ ）
A. 严格增函数
B. 在(0, 1
e )上是严格增函数，在( 1
e ,+∞)上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在(0, 1
e )上是严格减函数，在( 1
e ,+ ∞)上是严格增函数
2.函数f ( x)= ln(4 x
2-1)的单调递增区间是（ ）
A. ( 1
2 ,+ ∞)
B. (-∞,- 1
2 )
C. (- 1
2 , 1
2 )
D. (0,+∞)
3.（2025·江西·5 月联考）已知函数f ( x)的定义域为(0,+∞)，对于任意的y > x>0，都有
xf ( y )- yf ( x)+ x
2 y - x y
2>0.若f （4 ）= 4，且f ( x +a)< x
2+(2a-3)x +a
2-3a在x∈[1,4 ]时
恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. (-1,0)
B. (-1,4)
C. (0,+∞)
D. (4 ,+ ∞)
4.（2026·泉州·一模）已知定义在R上的函数f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，且
f (- x)+ f ( x)=0，若当x>0时，[ f ( x)+ f
'( x)]e
x>[ f ( x)- f
'( x)]e
- x，则（ ）
A. f (e)<f (-e)
B. xf ( x)≤0
C. f ( x)存在极值点
D. f ( x)有且只有一个零点
5.已知函数f ( x)=
a
x +1 + ln x. 若对任意x1, x2∈(0,2]，且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>-1，则
实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞, 27
4 ]
B. (-∞,2]
C. (-∞, 27
2 )
D. (-∞,8]
6.（2025·广东·5 月测评）已知函数y = ln( x
2-2ax -3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数
a的取值范围是（ ）
A. (-∞, 1
3 ]
B. (-∞,1)
C. (-1, 1
3 )
D. (-1,0)∪(0, 1
3 )
7.若函数f ( x)= x
2+ x - ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实
数k的取值范围是（ ）
A. [- 3
2 , 3
4 )
B. [ 1
2 ,3)
C. (- 3
2 ,3)
D. [ 1
2 , 3
4 )
8.已知函数f ( x)= ln x +( x -b)
2(b∈R)在区间[ 1
2 ,2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范
围是（ ）
A. (-∞, 3
2 )
B. (-∞, 9
4 )
C. (-∞,3)
D. (-∞,❑√2)
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·宜春·一模）已知函数f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
f ( x)= x
2+2 x + ln( x +1)，则（ ）
A. 当x<0时，f ( x)=- x
2-2 x - ln(- x +1)
B. 曲线y = f ( x)在x =-1处的切线斜率为9
2
C. 方程f
'( x)=0在区间(-1,1)内恰有两个实根
D. 当x>0时，f ( x)> 1
2 x
2+3 x
10.（2025·沧州运东五校·二模）已知函数f ( x)=( x
2-2 x)e
x，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若f ( x)在(-a,a)上单调递减，则a的最大值为1
B. 当x>0时，f ( x)+3 x>0
C. 当x<0时，f ( x)+3 x<0
D. 存在直线l，使得l与y = f ( x)的图象有4个交点
11.（2026·肇庆·二模）若存在m<n，使得函数f ( x)=2
a x
3-3ax +1在区间(-∞,m)和(n,+ ∞)上单
调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. a>0
B. a<0
C. f ( x)在(-1,1)上单调递增
D. f ( x)在(-1,1)上单调递减
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.函数f ( x)=ax + b
x (a、b为正数)的严格减区间是＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数f ( x)=m x
3+3(m-1)x
2-m
2+1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m=＿＿＿＿
＿＿.
14.（2026·肇庆·二模）已知函数f ( x)的定义域为R，且f
'( x)- f ( x)>0，若f （0）=1，则
不等式f ( x)-e
x>0的解集为＿＿＿＿＿＿.（结果用区间表示）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知函数f ( x)= ln x +(1-a)x +1(a∈R). 讨论函数f ( x)的单调性.
16.（15 分）（2026·滨州·二模）已知函数f ( x)= x
2-2a ln x ,a>0.
（1） 若a=2，求曲线y = f ( x)在点A(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 若存在x0∈(0,+ ∞)，使f ( x0)<a
2+ ln a，求a的取值范围.
17.（15 分）（2026·深圳·一模）已知函数f ( x)= ln x -a ❑√x +1+ 4.
（1） 当a= ❑√3时，求f ( x)的单调区间；
（2） 若f ( x)有两个零点.
（i） 求a的取值范围；
（ii） 证明：f ( x)<
2
❑√a
2+1-1.
18.（17 分）（2026·合肥·一模）已知函数f ( x)= x e
x -e
ax.
（1） 当a=1时，讨论f ( x)的单调性；
（2） 当x>0时，f ( x)>-1，求a的取值范围；
（3） 设n∈N
*，证明：1
e
3 + 2
e
3
2 +⋯+ n
e
3
n <n+2.
19.（17 分）（2025·高邮·一模）已知函数f ( x)=e
x+ax，x>0．
（1）讨论f ( x)的单调性；
（2）若过点(1,0)恰有2 条与f ( x)的图象相切的直线，求a的取值范围；
（3）若a=1，问函数f ( x)的图象上是否存在三个不同的点A，B，C，使得它们的横坐标
成等差数列，且直线AC的斜率等于函数f ( x)的图象在点B处的切线的斜率？若存在，求出
所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
