第17 讲 幂指对比较大小 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
C
BC
A
B
D
6
7
8
9
10
C
A
A
D
C
11
12
13
14
15
B
C
BCD
A
A
16
17
18
19
20
D
A
AB
B
C
21
22
23
24
25
D
BC
C
C
B
26
27
28
29
30
A
D
B
D
b<c<a
31
32
33
34
35
C
D
C
D
A
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
1.（2025·皖北协作体一模）若a= log26,b= log49,c = 3
2，则（ ）
A. a>2c
B. b<c
C. a+b>4
D. a-b<1
【答案】C
【解析】∵b= log49>log48= 3
2 =c，a= log26<log28=3=2c，∴A，B 均错误.又
b= log49= log23，∴a-b= log26- log23= log22=1，a+b= log26+ log23= log218>log216= 4，
∴C 正确，D 错误.故选C.
【点拨】利用对数的运算性质将对数化为同底，再与中间量进行比较.
2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若a>1，b>1，且a(ln b+2)=(b+1)(ln a+1)，则（
）
A. a>b
B. a<b
C. a
2>b
D. a
2<b
【答案】BC
【解析】令y = ln x +1- x且x>1，则y
' = 1
x -1= 1- x
x
<0恒成立，∴y = ln x +1- x在(1,+∞)上单调
递减，则y <ln1+1-1=0，即ln x +1- x<0，从而ln x< x -1( x>1).∵ln b+2
b+1 = ln a+1
a
且a>1,b>1，
而ln b+1
b
- ln b+2
b+1 = b ln b+ ln b+b+1-b ln b-2b
b(b+1)
= ln b+1-b
b(b+1) <0，∴ln b+1
b
< ln b+2
b+1 = ln ❑√b+1
❑√b
.
设f ( x)= ln x +1
x
且x>1，则f
'( x)=- ln x
x
2 <0，∴f ( x)在(1,+∞)单调递减.由
ln b+1
b
< ln a+1
a
< ln ❑√b+1
❑√b
，得1<❑√b<a<b，则b>a>❑√b>❑√a，∴b
2>a
2>b>a.故选BC.
【点拨】通过等式变形构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合放缩法比较大小.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1 等常数媒介值比较
3.（2026·华南师大附中测试）若a=0.3
0.2，b= log0.12，c =0.3
-0.1，则（ ）
A. c>a>b
B. b>a>c
C. a>c>b
D. b>c>a
【答案】A
【解析】∵0<0.1<1，2>1，∴b= log0.12<0.∵0<0.3<1，∴指数函数y =0.3
x为单调递减函数.又
-0.1<0.2，∴0.3
-0.1>0.3
0.2>0，即c>a>0.综上所述，c>a>b.故选A.
【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，以0为媒介值进行大小比较.
4.（2025·保定一模）设a=5
0.4,b=(
1
5)
-0.6
,c = log32，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. a<b<c
B. c<a<b
C. b<c<a
D. b<a<c
【答案】B
【解析】由指数函数y =5
x的单调性可知：a=5
0.4>5
0=1，b=(
1
5)
-0.6
=5
0.6>5
0.4=a>1.又
c = log32<log33=1，∴c<a<b.故选B.
【点拨】化简指数幂，利用指数函数和对数函数的单调性，以1为媒介值比较大小.
5.（2025·石家庄三模）已知a=2
0.6，b=0.5
0.8，c = log20.9，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<b<a
【答案】D
【解析】∵y = log2 x单调递增，∴c = log20.9<log21=0.∵y =2
x单调递增，∴a=2
0.6>2
0=1.∵
y =0.5
x单调递减，∴b=0.5
0.8<0.5
0=1，且b>0.∴a>b>c.故选D.
【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，分别与0和1进行比较即可得出结论.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
6.（2026·佛山检测）已知a= log2π ,b= log35,c = 3
2，则（ ）
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. c<b<a
【答案】C
【解析】∵π >3= ❑√9>❑√8=2❑√2，∴a= log2π >log22❑√2= 3
2 =c.∵25<27，∴5<❑√27=3 ❑√3，∴
b= log35<log33 ❑√3= 3
2 =c.则b<c<a.故选C.
【点拨】将常数3
2转化为对数形式，利用对数函数的单调性进行比较.
7.（2026·汕头二模）已知a= ln 5
2 ,b= 3
2 ,c = log23，则（ ）
A. a<b<c
B. a<c<b
C. c<b<a
D. b<c<a
【答案】A
【解析】∵5
2 <e，∴a= ln 5
2 <ln e =1.又b= 3
2，c = log23= log2
❑√9>log2
❑√8= log22❑√2= 3
2 =b.∴
a<b<c.故选A.
【点拨】利用对数函数的单调性，借助媒介值1和3
2进行大小比较.
8.（2026·江西三新联盟训练）已知a= tan 1
3 ,b=lg2,c = 1
3，则（ ）
A. a>c>b
B. a>b>c
C. c>b>a
D. c>a>b
【答案】A
【解析】∵当x∈(0, π
2)时，tan x> x，∴a= tan 1
3 > 1
3 =c.又b=lg2=lg
3√8<lg
3√10= 1
3 =c，∴
a>c>b.故选A.
【点拨】利用不等式tan x> x( x∈(0, π
2 ))以及对数函数的单调性，以1
3为媒介值比较大小.
9.（2026·湖北云学联盟一模）已知2
a=3，3
b= 4，5
c= 4，则下列大小关系正确的是
（ ）
A. c>a>b
B. b>a>c
C. a>c>b
D. a>b>c
【答案】D
【解析】由已知得a= log23,b= log34 ,c = log54.∵a= log23= log2
❑√9>log2
❑√8= log22❑√2= 3
2，
b= log34 = log3
❑√16<log3
❑√27 = log33 ❑√3= 3
2，∴a>b.又y = logx 4在(1,+∞)上单调递减，∴
b= log34>log54 =c.∴a>b>c.故选D.
【点拨】将指数式化为对数式，利用对数函数的单调性，借助媒介值3
2比较大小.
10.已知a=2
3
4 ,b=3
1
2 ,c = log34 ,d = log45，则a,b,c ,d的大小关系为（ ）
A. b>a>d >c
B. b>c>a>d
C. b>a>c>d
D. a>b>d >c
【答案】C
【解析】依题意，a=2
3
4 =8
1
4，b=3
1
2 =9
1
4，∵9>8，∴b>a.又a=2
3
4 >2
2
3（因为3
4 > 2
3），即a>4
1
3，
而4
1
3 >( 27
8 )
1
3 = 3
2，∴a> 3
2.
又c = log34<log33
3
2 = 3
2，∴a>c.
∵log43>0,log45>0，且log43+ log45= log415<log416=2，
∴log43⋅log45<(
log43+ log45
2
)
2
<1，∴log45<
1
log43 = log34，即d <c.
综上所述，b>a> 3
2 >c>d.故选C.
【点拨】利用指数函数的单调性比较a,b与3
2的大小，利用基本不等式比较c ,d的大小.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
11.（2026·淮北一模）已知ln a>ln b>0,c>0，则（ ）
A. 2
a<2
b
B. ab+1>a+b
C. loga2>logb2
D. b+c
a+c < b
a
【答案】B
【解析】由ln a>ln b>0，得a>b>1.∵y =2
x在R上单调递增，∴2
a>2
b，故A 错误.∵
ab+1-(a+b)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，又a>1,b>1，∴(a-1)(b-1)>0，即
ab+1>a+b，故B 正确.由换底公式得loga2=
1
log2a ,logb2=
1
log2b，∵log2a>log2b>0，∴
1
log2a <
1
log2b，即loga2<logb2，故C 错误.∵b+c
a+c - b
a = a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
= c(a-b)
a(a+c)，又
a>b>1,c>0，∴c(a-b)
a(a+c) >0，即b+c
a+c > b
a，故D 错误.故选B.
【点拨】利用对数函数的单调性得出a>b>1，再结合不等式的性质及作差法逐项判断.
12.若都不为零的实数a,b满足a>b，则（ ）
A. 1
a < 1
b
B. b
a + a
b >2
C. e
a-b>1
D. ln a>ln b
【答案】C
【解析】对于A，取a=1,b=-1，满足a>b，但1
a > 1
b，故A 错误.对于B，取a=1,b=-1，满足
a>b，但b
a + a
b =-2<2，故B 错误.对于C，∵a>b，∴a-b>0，∴e
a-b>e
0=1，故C 正确.对于
D，当a<0或b<0时，ln a与ln b无意义，故D 错误.故选C.
【点拨】利用特殊值法排除错误选项，利用指数函数的单调性证明正确选项.
13.（2025·沧州五县一模）（多选）已知实数a，b满足等式(
1
2)
a
=(
1
4)
b
，则下列可能成立
的关系式为（ ）
A. 0<a<b
B. 0<b<a
C. a<b<0
D. a=b
【答案】BCD
【解析】∵(
1
2)
a
=(
1
4)
b
=(
1
2)
2b
，∴a=2b.对于A、B 选项，当a>0,b>0时，由a=2b得0<b<a，
故A 错误，B 可能成立.对于C 选项，当a<0,b<0时，由a=2b得a<b<0，故C 可能成立.对于D
选项，当a=b=0时，a=2b成立，故D 可能成立.故选BCD.
【点拨】利用指数的运算性质化简等式得到a=2b，再分a,b为正数、负数、零三种情况讨论即可.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
14.（2026·八省T8 联考）已知x =1.3
1.2, y =1.2
1.3, z =1.3
1.1，则（ ）
A. y < z< x
B. z< x< y
C. z< y < x
D. z< x< y
【答案】A
【解析】∵函数f (t )=1.3
t在R上单调递增，且1.2>1.1，∴1.3
1.2>1.3
1.1，即x> z.构造函数
h( x)=
ln x
2 x -1.3，h
'( x)=
2 x -1.3
x
-2ln x
(2 x -1.3)
2
.令m( x)=2- 1.3
x -2ln x，m
'( x)= 1.3
x
2 - 2
x = 1.3-2 x
x
2
<0
（当x>0.65时）.m（1）=0.7>0，m(1.2)=2- 13
12 -2ln1.2= 11
12 -2ln1.2>0（因ln1.2<0.2）.
m(1.3)=1-2ln1.3>0（因ln1.3<0.3）.所以h( x)在[1.2,1.3]上单调递增，h(1.2)<h(1.3)，即
ln1.2
1.1 < ln1.3
1.3 .所以1.3 ln1.2<1.1ln1.3，即ln y <ln z，∴y < z.综上，y < z< x.故选A.
【点拨】利用指数函数的单调性比较底数相同的情形，利用构造函数法比较底数和指数均不同的
情形.
15.（2026·阜阳一模）已知函数f ( x)= ln x
❑√x ,a= f (e),b= f(
9
2),c = f （7），则（ ）
A. a>b>c
B. b>a>c
C. b>c>a
D. c>b>a
【答案】A
【解析】∵f ( x)= ln x
❑√x ( x>0)，∴f
'( x)=
1
x ⋅❑√x -
1
2❑√x ln x
x
= 2- ln x
2 x ❑√x
.令f
'( x)>0，得0< x<e
2；令
f
'( x)<0，得x>e
2.∴f ( x)在(0,e
2)上单调递增，在(e
2,+ ∞)上单调递减.∵e≈2.718,e
2≈7.389，∴
0<e< 9
2 <7<e
2.∴f (e)<f(
9
2)<f （7），即a<b<c.故选A.
【点拨】利用导数求出函数的单调区间，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.
16.（2024·广东新南方联盟联考）已知98
t =108,a=92
t -102,b=99
t -109，则a,b的大小关系
是（ ）
A. b>a>0
B. 0>b>a
C. a>0>b
D. b>0>a
【答案】D
【解析】由98
t =108得t = log98108>1.构造函数f ( x)= x
t -( x +10)，则a= f （92），
b= f （99），且f （98）=98
t -108=0.∵f
'( x)=t x
t -1-1，又t >1, x ≥92，∴
f
'( x)>1×92
0-1=0，∴f ( x)在[92,+ ∞)上单调递增.∵92<98<99，∴
f （92）<f （98）<f （99），即a<0<b.故选D.
【点拨】将指数式转化为函数，利用导数判断函数的单调性，结合已知条件比较大小.
17.（2026·汕头一模）设a,b,c∈(0, π
2)，且a=cosa,b=sin(cosb),c =cos(sin c)，则它们
的大小关系为（ ）
A. b<a<c
B. c<a<b
C. c<b<a
D. a<b<c
【答案】A
【解析】构造函数f ( x)=cos x - x , x∈(0, π
2)，则f
'( x)=-sin x -1<0，∴f ( x)在(0, π
2)上单调
递减.∵a=cosa，∴f (a)=0.∵当x∈(0, π
2)时，sin x< x，∴b=sin(cosb)<cosb，即
cosb-b>0，∴f (b)>0= f (a)，∴b<a.又构造函数g( x)=cos(sin x)- x , x∈(0, π
2)，
g
'( x)=-sin(sin x)cos x -1<0，∴g( x)在(0, π
2)上单调递减.∵c =cos(sin c)，∴g(c)=0.∵
sin a<a，∴cos(sin a)>cosa=a，即g(a)>0= g(c)，∴a<c.综上所述，b<a<c.故选A.
【点拨】构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合不等式sin x< x进行大小比较.
18.（2026·浙江县域联盟模拟）（多选）已知a, x , y ∈R , x +10=9
a, y +12=11
a，则
（ ）
A. 当a>log22时，x>-6
B. 存在实数a，使得x = y
C. 对
任意a>1，都有x
2+ y
2>2
D. 当a=lg11时，x<0< y
【答案】AB
【解析】对于A，当a>log22=1时，x =9
a-10>9
1-10=-1>-6，故A 正确.对于B，若x = y，则
9
a-10=11
a-12，即11
a-9
a=2.令f (a)=11
a-9
a，则f (a)在R上单调递增，且f （1）=2，∴存
在实数a=1使得x = y，故B 正确.对于C，当a=1时，x =-1, y =-1，此时x
2+ y
2=2，不满足
x
2+ y
2>2，故C 错误.对于D，当a=lg11时，10
a=11，∴a>1.令g(a)=11
a-9
a-2，则g(a)在R上
单调递增，且g（1）=0.∵a>1，∴g(a)>0，即y - x>0，∴y > x.又x =9
lg11-10=11
lg9-10，实
际上，lg9=2lg3≈0.954，9
lg11≈9
1.041>9，且9
1.041≈10.04>10，∴x>0，故D 错误.故选AB.
【点拨】利用指数函数的单调性及构造函数法，结合特殊值进行判断.
考法6：利用同构法构造函数比较
19.（2025·衡水中学评价）已知x>0, y >0，且e
x = x
2+ ln y，则（ ）
A. y >e
2
B. y
2>e
x +2
C. x
2<ln e
y
D. x
2<e
2-1
【答案】B
【解析】由e
x= x
2+ ln y，得ln y =e
x- x
2.令v( x)=2e
x -2 x
2- x -2( x>0)，v
'( x)=2e
x - 4 x -1，
v
″( x)=2e
x - 4.当x>ln2时，v
″( x)>0；当0< x<ln2时，v
″( x)<0.v
'（0）=1>0，
v
'(ln 2)= 4 - 4 ln 2-1=3- 4 ln 2>0，∴v
'( x)>0恒成立，∴v( x)在(0,+∞)上单调递增，∴
v( x)>v （0）=2-2=0.∴2ln y > x +2恒成立，即y
2>e
x +2.故选B.
【点拨】将等式转化为函数关系，利用导数证明不等式恒成立，进而比较大小.
20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数a,b满足a-2ln a=2ln b- 4 b+ 4，则a+b为（ ）
A. 1
2
B. 3
2
C. 5
2
D. 7
2
【答案】C
【解析】等式变形为a-2ln a=2ln b- 4 b+ 4.设f ( x)= x -2ln x( x>0)，则f
'( x)=1- 2
x = x -2
x
.当
0< x<2时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；当x>2时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增.∴
f ( x)min= f （2）=2-2ln 2，即f (a)≥2-2ln 2.设g( x)=2ln x - 4 x + 4( x>0)，则
g
'( x)= 2
x - 4 = 2(1-2 x)
x
.当0< x< 1
2时，g
'( x)>0，g( x)单调递增；当x> 1
2时，g
'( x)<0，g( x)单
调递减.∴g( x)max = g(
1
2)=2ln 1
2 -2+ 4 =2-2ln 2，即g(b)≤2-2ln 2.∵f (a)= g(b)，∴
f (a)= g(b)=2-2ln 2，当且仅当a=2,b= 1
2时等号成立.∴a+b=2+ 1
2 = 5
2.故选C.
【点拨】将等式两边分别构造函数，利用导数求出函数的最值，结合最值相等求出变量的值.
21.（2025·湖北楚天协作体联考）若实数x , y , z满足3
x-3=5
y -5=7
z-7，则x , y , z的大小关
系不可能是（ ）
A. x = y = z
B. x> y > z
C. z> y > x
D. z> x> y
【答案】D
【解析】令f (t )=3
t -3,g(t )=5
t -5,h(t )=7
t -7，则f ( x)= g( y)=h( z).在同一平面直角坐标系中
作出这三个函数的图象，它们都过点(1,0).当f ( x)= g( y)=h( z)>0时，x> y > z>1；当
f ( x)= g( y)=h( z)=0时，x = y = z =1；当-3<f ( x)= g( y)=h( z)<0时，x< y < z<1.综上可知，
x , y , z的大小关系可能是x> y > z，x = y = z或z> y > x，不可能是z> x> y.故选D.
【点拨】构造函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系.
22.（多选）已知a>0,b>0且e
a+ ln b>a+b，则下列结论一定正确的是（ ）
A. a>b
B. e
a>b
C. e
a+b>2
D. a+ ln b>0
【答案】BC
【解析】对于A，取a=1,b=1，满足e
1+ ln1=e>2=1+1，但a=b，故A 不一定成立.对于D，取
a=1,b= 1
e ，满足e
1+ ln 1
e =e -1>1+ 1
e ，但a+ ln b=1-1=0，故D 不一定成立.对于B，令
f ( x)=e
x - x，则f
'( x)=e
x -1.当x>0时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增.∵e
a+ ln b>a+b，∴
e
a-a>b- ln b=e
lnb- ln b，即f (a)>f (ln b).若ln b≥0，由f ( x)在(0,+∞)上单调递增，得a>ln b，
∴e
a>e
ln b=b；若ln b<0，即0<b<1，而e
a>1，显然e
a>b.故B 一定正确.对于C，由e
a+ ln b>a+b
得e
a-b>a- ln b= ln e
a- ln b.若e
a=b，则0>0矛盾.若e
a≠b，则
e
a-b
ln e
a- ln b
>1.又对任意x1, x2>0且
x1≠x2，有
x1- x2
ln x1- ln x2
< x1+ x2
2
（对数平均不等式），∴1<
e
a-b
ln e
a- ln b
< e
a+b
2
，∴e
a+b>2，故C
一定正确.故选BC.
【点拨】利用特殊值法排除错误选项，通过同构构造函数，结合函数的单调性及对数平均不等式
进行证明.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
23.（2026·深圳一模）若实数x , y , z满足
❑√x =2
- y =- log2 z，则x , y , z的大小关系不可能是（
）
A. z> x> y
B. z> y > x
C. y > x> z
D. y > z> x
【答案】C
【解析】令
❑√x =2
- y =- log2 z =t(t >0)，则x =t
2, y =- log2t , z =2
-t.在同一平面直角坐标系中作出
函数x =t
2, y =- log2t , z =(
1
2)
t
的图象.由图象可知，函数y =- log2t与z =(
1
2)
t
的交点在直线y =t上，
且交点横坐标t1∈(0,1)；函数x =t
2与z =(
1
2)
t
的交点横坐标t2∈(0,1)，且t2>t1；函数x =t
2与
y =- log2t的交点横坐标t3∈(0,1)，且t3<t1.当t >t2时，x> z> y；当t1<t <t2时，z> x> y；当
t3<t <t1时，z> y > x；当0<t <t3时，y > z> x.综上可知，x , y , z的大小关系不可能是y > x> z.故选
C.
【点拨】引入参数t，将方程转化为三个函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断
大小关系.
24.已知a>1，x1, x2, x3为函数f ( x)=a
x - x
2的零点，x1< x2< x3，若x1+ x3=2 x2，则（ ）
A. x3
x2
<2ln a
B. x3
x2
=2ln a
C. x3
x2
>2ln a
D. x3
x2
与2ln a大
小关系不确定
【答案】C
【解析】∵x1, x2, x3为函数f ( x)=a
x - x
2的零点，∴a
x1= x1
2，a
x2= x2
2，a
x3= x3
2.结合图象易知
x1<0< x2< x3.∵x1+ x3=2 x2，∴a
x1+ x3=a
2 x2，即x1
2 x3
2=( x2
2)
2= x2
4.∵x1<0, x3>0，∴x1 x3<0，∴
x1 x3=- x2
2.将x1=2 x2- x3代入，得(2 x2- x3)x3=- x2
2，即x3
2-2 x2 x3- x2
2=0.两边同除以x2
2，得
(
x3
x2)
2
-2 x3
x2
-1=0.解得
x3
x2
= ❑√2+1（负根舍去）.又a
x= x
2⇔x ln a=2ln| x|，即直线y = x ln a与曲
线y =2ln| x|有三个交点.设过原点与曲线y =2ln x( x>0)相切的直线切点为(t ,2ln t )，则切线斜
率k = 2
t ，切线方程为y -2lnt = 2
t ( x -t ).将原点(0,0)代入得-2ln t =-2，解得t =e，此时k = 2
e .由
图象可知，要使直线与曲线有三个交点，需满足0<ln a< 2
e ，即2ln a< 4
e .∵e>2.7，∴4
e < 4
2.7 <1.5.
而❑√2+1>2.4，∴
x3
x2
>2ln a.故选C.
【点拨】利用指数与对数的转化，结合韦达定理求出比值，再利用导数求出临界相切时的斜率，
结合数形结合进行比较.
25.已知a,b,c满足2
-a=a+2,b+ log2b=-2,c
3-c -2=0，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. b<a<c
B. a<b<c
C. a<c<b
D. c<b<a
【答案】B
【解析】由2
-a=a+2知，a是函数y =2
- x与y = x +2交点的横坐标.∵2
-(-1)=2>-1+2=1，
2
0=1<0+2=2，∴-1<a<0.由b+ log2b=-2知，b是函数y = log2 x与y =- x -2交点的横坐标.∵
log2
1
4 =-2>- 1
4 -2=- 9
4 ，log2
1
2 =-1<- 1
2 -2=- 5
2，所以0<b<1.由c
3-c -2=0知，c是函数
y = x
3与y = x +2交点的横坐标.∵1
3=1<1+2=3，2
3=8>2+2= 4，∴1<c<2.综上所述，a<b<c.
故选B.
【点拨】构造函数，利用数形结合思想，通过零点存在性定理估算各变量的范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
26.设x =e
0.03, y =1.03
2, z = ln(e
0.6+e
0.4)，则x , y , z的大小关系为（ ）
A. z> y > x
B. y > x> z
C. x> z> y
D. z> x> y
【答案】A
【解析】∵ln x =0.03，ln y =2ln1.03=2ln(1+0.03).构造函数f (t )=t -2ln(1+t )(0<t < 1
10)，则
f
'(t )=1- 2
t +1 = t -1
t +1 <0，∴f (t )在(0, 1
10)上单调递减，∴f (0.03)<f （0）=0，即
0.03<2ln(1+0.03)，∴ln x<ln y，即x< y.又y =1.03
2=1.0609，
z = ln(e
0.6+e
0.4)>ln(2
❑√e
0.6⋅e
0.4)= ln(2e
0.5)= ln 2+0.5.∵ln2>0.69，∴z>1.19>1.0609= y，∴
z> y > x.故选A.
【点拨】利用对数运算将指数形式转化为对数形式，构造函数利用导数证明不等式，结合基本不
等式进行放缩.
27.已知20
a=22,22
b=23,a
c=b，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. c>a>b
B. b>a>c
C. a>c>b
D. a>b>c
【答案】D
【解析】由已知得a= log2022= lg22
lg20，b= log2223= lg23
lg22，c = logab.则
a-b= lg22
lg20 - lg23
lg22 = (lg22)
2-lg20⋅lg23
lg20⋅lg22
.由基本不等式得
lg20⋅lg23<(
lg20+lg23
2
)
2
=(
lg 460
2 )
2
<(
lg 484
2 )
2
=(
lg22
2
2 )
2
=(lg22)
2，∴
(lg22)
2-lg20⋅lg23>0，∴a>b.又a= log2022>1，b= log2223>1，∴a>b>1.∵c = logab，且
1<b<a，∴c = logab<logaa=1，∴a>b>c.故选D.
【点拨】将指数式化为对数式，利用换底公式和基本不等式进行放缩比较.
28.已知实数a=e
0.9-2❑√2,b= log5.14 ,c = log65，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. a<c<b
B. a<b<c
C. b<a<c
D. c<a<b
【答案】B
【解析】∵e≈2.718，2❑√2= ❑√8≈2.828，∴e<2❑√2，∴a=e
0.9-2❑√2<e -2❑√2<0.∵b= log5.14>0，
c = log65>0，∴a最小.又log54
log65 = lg 4
lg5 ⋅lg6
lg5 = lg 4⋅lg6
lg
25
.由基本不等式得
lg 4⋅lg6<(
lg 4 +lg6
2
)
2
=(
lg24
2 )
2
<(
lg25
2 )
2
=(
2lg5
2 )
2
=lg
25，∴
log54
log65 <1，即log54<log65=c.
又b= log5.14<log54，∴b<c.综上所述，a<b<c.故选B.
【点拨】利用常数0判断a的符号，利用换底公式和基本不等式比较对数的大小.
29.已知x = log45, y = ln 19
5 , z = 7
6，则x , y , z的大小关系是（ ）
A. x> y > z
B. z> y > x
C. x> z> y
D. y > z> x
【答案】D
【解析】∵5
3=125<128=2
7，∴5
6<2
14= 4
7，两边取以4为底的对数得6 log45<7，即
x = log45< 7
6 = z.构造函数f (t )= ln t - 2(t -1)
t +1
(t >1)，则f
'(t )= 1
t -
4
(t +1)
2 = (t -1)
2
t(t +1)
2 >0，∴f (t )在
(1,+∞)上单调递增.∴f(
19
5 )>f （1）=0，即ln 19
5 -
2( 19
5 -1)
19
5 +1
>0，化简得ln 19
5 - 7
6 >0，即
y > z.综上所述，y > z> x.故选D.
【点拨】利用指数幂的放缩比较对数与有理数的大小，构造函数利用导数证明对数不等式.
考法9：利用泰勒展开比较大小
30.设a=0.1e
0.1,b= 1
9 ,c =- ln 0.9，则（ ）
A. a<b<c
B. c<b<a
C. c<a<b
D. a<c<b
【答案】C
【解析】构造函数f ( x)= x e
x -
x
1- x (0< x<1)，则f
'( x)=( x +1)e
x -
1
(1- x)
2.由泰勒展开式知
e
x>1+ x + 1
2 x
2，但直接比较较难.
我们直接利用泰勒展开式估算：
a=0.1e
0.1=0.1(1+0.1+ 0.1
2
2 +⋯)=0.1+0.01+0.0005+⋯≈0.1105.
b= 1
9 ≈0.1111.
c =- ln 0.9=- ln(1-0.1)=0.1+ 0.1
2
2 + 0.1
3
3 +⋯=0.1+0.005+0.00033+⋯≈0.1053.
显然c<a<b.故选C.
【点拨】利用泰勒展开式对各数进行估算，从而比较大小.
31.设a=e
0.2-1,b= ln1.2,c = 1
5，则a,b,c的大小关系为＿＿＿＿＿＿. (从小到大顺序排)
【答案】b<c<a
【解析】由e
x>1+ x( x >0)得，a=e
0.2-1>1+0.2-1=0.2= 1
5 =c.由ln(1+ x)< x( x>0)得，
b= ln1.2= ln(1+0.2)<0.2= 1
5 =c.∴b<c<a.
【点拨】利用常见的不等式e
x> x +1和ln( x +1)< x进行放缩比较.
考法10：结合不定方程比较大小
32.已知a,b,c是正实数，且e
2a-2e
a+b+e
b+c =0，则a,b,c的大小关系不可能为（ ）
A. a=b=c
B. a>b>c
C. b>c>a
D. b>a>c
【答案】D
【解析】由e
2a-2e
a+b+e
b+c =0，变形得e
a(e
a-e
b)+e
b(e
c -e
a)=0.∵a,b,c是正实数，∴
e
a>1,e
b>1.若a=b=c，则e
a-e
b=0,e
c -e
a=0，等式成立，故A 可能.若a>b>c，则
e
a-e
b>0,e
c-e
a<0，等式可能成立，故B 可能.若b>c>a，则e
a-e
b<0,e
c-e
a>0，等式可能成立，
故C 可能.若b>a>c，则e
a-e
b<0,e
c-e
a<0，此时e
a(e
a-e
b)+e
b(e
c -e
a)<0，等式不可能成立，
故D 不可能.故选D.
【点拨】将指数方程变形，利用因式分解和指数函数的单调性，结合选项进行分类讨论.
33.设实数a,b满足1001
a+1010
b=2023
a,1014
a+1016
b=2024
b，则a,b的大小关系为
（ ）
A. a>b
B. a=b
C. a<b
D. 无法比较
【答案】C
【解析】假设a≥b，则1010
a≥1010
b，1014
a≥1014
b.由1001
a+1010
b=2023
a得
1001
a+1010
a≥2023
a，即(
1001
2023)
a
+(
1010
2023)
a
≥1.构造函数f ( x)=(
1001
2023)
x
+(
1010
2023)
x
，则f ( x)在R
上单调递减.又f （1）= 2011
2023 <1，∴f (a)≥1>f （1），∴a<1.由1014
a+1016
b=2024
b得
1014
b+1016
b≤2024
b，即(
1014
2024)
b
+(
1016
2024)
b
≤1.构造函数g( x)=(
1014
2024)
x
+(
1016
2024)
x
，则g( x)在
R上单调递减.又g（1）= 2030
2024 >1，∴g(b)≤1<g（1），∴b>1.这与假设a≥b矛盾，∴a<b.
故选C.
【点拨】采用反证法，假设a≥b，构造单调递减的指数型函数，利用函数的单调性得出矛盾.
34.已知实数a,b，满足a= log23+ log64 ,3
a+ 4
a=5
b，则关于a,b下列判断正确的是（ ）
A. a<b<2
B. b<a<2
C. 2<a<b
D. 2<b<a
【答案】D
【解析】∵a= log23+ log64 = log23+
2
log26 = log23+
2
1+ log23.∴
a-2= log23+
2
1+ log23 -2= (log23)
2- log23
1+ log23
.∵log23>1，∴(log23)
2>log23，∴a-2>0，即a>2.
∵3
a+ 4
a=5
b，且a>2，∴5
b=3
a+ 4
a>3
2+ 4
2=25=5
2，∴b>2.构造函数f ( x)=(
3
5)
x
+(
4
5)
x
，则f ( x)
在R上单调递减.∵f （2）=(
3
5)
2
+(
4
5)
2
=1，且a>2，∴f (a)<f （2）=1，即(
3
5)
a
+(
4
5)
a
<1，
∴3
a+ 4
a<5
a.又3
a+ 4
a=5
b，∴5
b<5
a，∴b<a.综上所述，2<b<a.故选D.
【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断a与2的大小，再构造指数型函数比较a与b的
大小.
35.已知实数a,b满足a= log34 + log129,5
a+12
a=13
b，则下列判断正确的是（ ）
A. a>b>2
B. b>a>2
C. 2>b>a
D. a>2>b
【答案】A
【解析】∵a= log34+ log129= log34+
2
log312 = log34+
2
1+ log34 .∴
a-2= log34+
2
1+ log34 -2= (log34)
2- log34
1+ log34
.∵log34>1，∴(log34)
2>log34，∴a-2>0，即a>2.
∵5
a+12
a=13
b，且a>2，∴13
b=5
a+12
a>5
2+12
2=169=13
2，∴b>2.构造函数
f ( x)=(
5
13)
x
+(
12
13)
x
，则f ( x)在R上单调递减.∵f （2）=(
5
13)
2
+(
12
13)
2
=1，且a>2，∴
f (a)<f （2）=1，即(
5
13)
a
+(
12
13)
a
<1，∴5
a+12
a<13
a.又5
a+12
a=13
b，∴13
b<13
a，∴b<a.综
上所述，a>b>2.故选A.
【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断a与2的大小，再构造指数型函数比较a与b的
大小.
