第16 讲 极值与最值 · 分类练习
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
1.（2026·马鞍山一模）函数f ( x)的导函数y = f
'( x)的图象如图所示，则函数f ( x)在区间
(a,b)上的极值点有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2.若函数f ( x)存在一个极大值f ( x1)与一个极小值f ( x2)满足f ( x2)>f ( x1)，则f ( x)至少有（
）个单调区间.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3.已知定义在R上的函数f ( x)，其导函数f
'( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
（ ）
A. f (b)>f (a)>f (c)
B. 函数f ( x)在x =c处取得最大值，在x =e处取得最小值
C. 函数f ( x)在x =c处取得极大值，在x =e处取得极小值
D. 函数f ( x)的最小值为f (d )
4.已知函数f ( x)的导函数为f
'( x)，则“y = f
'( x)在(0,2)上有两个零点”是“f ( x)在(0,2)上
有两个极值点”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
考法2：求具体函数的极值与极值点
5.（2026·广州一模）函数f ( x)=sin x - x cos x在区间(-3 π ,3 π )上的极值点个数为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.（2026·湖北新八校一模）函数f ( x)= x
3-27 x的极大值点为（ ）
A. -3
B. 3
C. (-3,54)
D. (3,-54)
7.（2026·郑州二模）函数f ( x)= 1
3 x
3- 4 x + 4的所有极值点之和为＿＿＿＿＿＿.
8.（2026·淮北二模）已知b,c ,d均为实数，若x
3+b x
2+cx +d >0的解集是{x∣x>0且x≠1}，
则函数f ( x)= x
3+b x
2+cx +d的极大值为＿＿＿＿＿＿.
9.（2025·金科新未来5 月联考）已知函数f ( x)=
❑√e
x+a的定义域和值域相同.
（1）求a；
（2）记f ( x)的导函数为f
'( x)，求f
'( x)的极小值.
考法3：含参函数的极值点个数问题
10.（2026·福州二模）已知函数f ( x)=( x -a)
m( x -b)
n(m,n∈N
*,m<n,a≠b)有且仅有3个极
值点x1、x2、x3，且x1< x2< x3，则（ ）
A. m为奇数
B. n为奇数
C. 若a<b，则2 x2> x1+ x3
D. 若a>b，则2 x2> x1+ x3
11.（2026·山东名校联盟5 月评估）已知函数f ( x)=( x -1)
2+mx(1- ln x).
若函数f ( x)有极大值点x0( x0≠1)，求证f ( x0)>1.
考法4：含参函数的极值求解与讨论
12.（2026·中山二模）已知函数f ( x)=( x -a)ln x - x +a-3(a∈R).
（1）若a=0，求f ( x)的极小值；
（2）讨论导函数f
'( x)的单调性.
13.（2025·江门一模）已知函数f ( x)=( x -1)ln x -ax.
当a=0时．
（i）设g( x)= f
'( x)，讨论函数g( x)在(1,+∞)上的单调性；
（ii）证明：对任意的m,n∈(1,+ ∞)，有f (m+n)>f (m)+ f (n)．
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
14.（2026·安庆二模）（多选）已知函数f ( x)=cos x + ln x，将f ( x)的所有极值点按照由小
到大的顺序排列，得到数列{xk }，对于任意的正整数k，则（ ）
A. xk +1- xk<π
B. x2k是极小值点
C. x2k +2- x2k<2π
D. f ( x2k)<f ( x2k +2)
15.（2025·山东名校考试联盟二模）（多选）已知函数f ( x)=2 x
3-3 x
2+a，则（ ）
A. f ( x)一定有两个极值点
B. 若f ( x0)= f （1），则x0=1或- 1
2
C. 过点( 3
2 ,a)作曲线y = f ( x)的切线有且仅有一条
D. 当a= 3
2时，f (
1
2025 )+ f (
2
2025 )+ f (
3
2025 )+⋯+ f ( 2024
2025 )=1012
16.（2026·济南二模）已知函数f ( x)= x
2-2a ln x ,a>0.
（1）若a=2，求曲线y = f ( x)在点(1,f （1）)处的切线方程；
（2）若存在x0∈(0,+ ∞)，使f ( x0)<a
2+ ln a，求a的取值范围.
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
17.（2026·德州三模）已知函数f ( x)= ln x - x +1.
求f ( x)的极值；
18.（2026·苏锡常镇四市二模）已知函数f ( x)=(ln x)
2，曲线y = f ( x)在点P(e ,f (e))处的切
线方程为y = g( x)（e为自然对数的底数）.
（1）求f ( x)的极值；
（2）证明：[ f ( x)- g( x)]( x -e)≤0.
19.（2025·青岛一模）已知函数f ( x)=ax -sin x，x∈[- π
2 , π
2 ].
（1）当a= 1
2时，讨论f ( x)的单调性；
（2）若f ( x)有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：M -m<2.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
20.已知函数f ( x)=a x
3+bx在x =1处取得极大值4，则a-b=（ ）
A. 8
B. -8
C. 2
D. -2
21.若函数f ( x)= x
3+a x
2+(a+6)x无极值，则a的取值范围为（ ）
A. [-3,6]
B. (-3,6)
C. (-∞,-3]∪[6,+∞)
D. (-∞,-3)∪(6,+∞)
22.函数g( x)= ln x
x +1在区间[t ,+∞)(t ∈N
*)上存在极值，则t的最大值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
23.若x =a是函数f ( x)=( x -a)
2( x -1)的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A. a<1
B. a≤1
C. a>1
D. a≥1
考法8：已知极值点求参数
24.（2025·江西5 月联考）已知x =1是函数f ( x)= ln x - a
x + x的极值点，则a=（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
25.已知函数f ( x)= 1
2 x
2-(1+a)x +aln x在x =a处取得极小值，则实数a的取值范围为（
）
A. [1,+ ∞)
B. (1,+ ∞)
C. (0,1]
D. (0,1)
26.（2026·南京二模）已知函数f ( x)= x
3+3 ❑√3 x
2+mx(m∈R)有两个极值点x1, x2，且
|f ( x1)- x1|=|f ( x2)- x2|，则m=＿＿＿＿＿＿.
27.（2026·黄山一模）若函数f ( x)= a x
2+ x +1
e
x
(a>0)在x =0处取得极大值，则实数a的取值
范围为＿＿＿＿＿＿.
考法9：根据极值点个数求参数范围
28.（2025·江西九师联盟5 月检测）已知函数f ( x)=e
- x+a x
2恰有两个极值点，则实数a的取
值范围是（ ）
A. (-∞,-e)
B. (-∞,-2e)
C. (-2e ,0)
D.
(-∞,-2e)∪(0,+ ∞)
29.已知函数f ( x)=e
x- 1
2 x
2-ax(a∈R)有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A. (-∞,1)
B. (0,1)
C. [0,1]
D. (1,+∞)
30.（2026·长沙长郡中学二模）函数f ( x)=ax ln x -ax - 1
2 x
2,a∈R.
（1） a=1时，求f ( x)在x =1处的切线方程；
（2） 若f ( x)有两个极值点，求a的取值范围.
31.（2026·九江二模）已知函数g( x)= 4 x -mln x - 1
2 x
2-2,m>0.
（1） y = g( x)在x =1处 切线的斜率为3
2，求m的值；
（2） 若函数g( x)有两个极值点a,b，
（i） 求m的取值范围；
（ii） 证明：g(a)+ g(b)<6- ln m.
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
32.（2026·东营一模）已知函数f ( x)= 3 x
2+ax
e
x
(a∈R)，
若函数f ( x)在x =0处取得极值，
（i）求a的值；
（ii）已知g( x)=- x
3+b x
2-5 x +1
3 x
2
，若f ( x)g( x)≤1在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数b的取
值范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
33.（2026·滨州二模）已知函数f ( x)= x
2e
x , x ∈[-3,0]，则函数f ( x)的最大值为＿＿＿＿
＿＿.
34.已知函数f ( x)= ln x - x -1
x 在区间[1,e ]上最大值为M，最小值为m，则M -m的值是＿＿
＿＿＿＿.
考法12：求含参函数的最值
35.（2025·福建百校联考5 月押题）已知函数f ( x)= x
2-2aln x(a>0).
（1）求函数f ( x)的极值点；
（2）若函数f ( x)在区间[1,e ]上的最小值为0，求实数a的值.
36.已知函数f ( x)=aln x + 1
2 x -a,a∈R．讨论函数f ( x)的最值；
37.（2024·上饶六校联盟模拟）已知函数f ( x)= x -aln x -b(a,b∈R ,a≠0).
（1）若a=b=1，求f ( x)的极值；
（2）若f ( x)≥0，求ab的最大值.
考法13：最值与不等式、方程综合
38.（2025·江西5 月联考）已知O为坐标原点，直线x =m(0<m<e)与函数
f ( x)= ln x
e , g( x)= 1
x 的图象分别交于M , N两点，则△OMN面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
39.（2025·江西重点中学盟校联考）已知函数f ( x)= x + ln( x -1),g( x)= x ln x，若
f ( x1)=1+2ln t , g( x2)=t
2，则( x1 x2- x2)ln t的最小值为＿＿＿＿＿＿.
40.（2026·德州二模）已知函数f ( x)=sin(1- x)+ ln x.
求f ( x)在(0,1]上的最大值；
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
41.（2026·随州三模）已知a>0，函数f ( x)= ln| x|-|ax +b|的最大值为0，则a的最小值为
（ ）
A. 1
e
B. 1
2
C. 1
D. e
42.若函数f ( x)= 1
3 x
3+ x
2-2在区间[a- 4 ,a]上存在最小值，则整数a的取值可以是＿＿＿＿
＿＿.
43.已知函数f ( x)=| x -1|-aln x的最小值为0，则a的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
44.（2025·南阳一中三模）已知函数f ( x)= x
2-ax +a
e
x
，其中a∈R.
（1）当a=0时，求曲线y = f ( x)在(0,f （0）)处的切线方程；
（2）当a>0时，若f ( x)在区间[0,a]上的最小值为1
e，求a的值.
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
45.（2026·德州二模）若存在a>0，对任意的x∈(0,+∞)，都有ln x + 2a-b
x
-a≥0，则当b
取到最大值时，a的值为（ ）
A. 1+ ln 2
B. 2+ ln 2
C. ln 2
D. 2ln 2
46.（2026·十堰一模）已知函数f ( x)= e
x -e
- x
2
，f
'( x)为f ( x)的导函数，若
∀x1∈[m,+∞),∃x2∈R，使得f ( x1)= f
'( x2)，则实数m的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. ln(1+ ❑√2)
D. ln(2+ ❑√2)
47.（2026·皖江名校联盟最后一卷）已知函数f ( x)=e
x -2- x , g( x)= x - ln x +a.
（1）求函数f ( x)的单调区间和极值；
（2）若∀x>0,f ( x)g( x)≥0恒成立，求实数a.
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
48.（2026·长沙南雅中学适应性保温训练）已知函数g( x)= 4 x -mln x - 1
2 x
2-2,m>0.
（1）y = g( x)在x =1处切线的斜率为3
2，求m的值；
（2）若函数g( x)有两个极值点a,b，
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：g(a)+ g(b)<6- ln m.
49.（2026·合肥三模）已知函数f ( x)=e
xsin x -ax，其中a∈R.
设x0为f ( x)在(0, π
2 )内的极小值点，求证：x0>❑√a-1.
50.（2026·濮阳二模）已知函数f ( x)=( x -1)
2+mx(1- ln x).
（1）令g( x)= f
'( x)，讨论函数g( x)的单调性；
（2）若函数f ( x)有极大值点x0( x0≠1)，求证f ( x0)>1.
