第15 讲 单调性问题 · 分类练习
考点一：导函数与原函数图象及性质的关系
考法1：根据原函数图象判断导函数图象或性质
1.（2026·广东东莞·二模）已知函数y = f ( x)的图象如图所示，则其导函数y = f
'( x)图象可
以是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025·河北衡水·一模）（多选）已知函数f ( x)的部分图象如图所示，f
'( x)是f ( x)的导
函数，则下列结论正确的是（ ）
A. f
'（3）<0
B. f
'(-1)>0
C. f (-1)- f
'(-1)>0
D. f （3）-3 f
'（3）>0
考法2：根据导函数图象判断原函数图象或性质
3.设f
'( x)是函数f ( x)的导函数，y = f
'( x)的图象如图所示，则y = f ( x)的图象最有可能的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知函数y = x f
'( x)的图象如图所示（其中f
'( x)是函数f ( x)的导函数），下面四个图象中
可能是y = f ( x)图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（多选）已知函数f ( x)的定义域为R且导函数为f
'( x)，如图是函数y = x f
'( x)的图像，则
下列说法正确的是（ ）
A. 函数f ( x)的增区间是(-2,0),(2,+ ∞)
B. 函数f ( x)的增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C. x =-2是函数的极小值点
D. x =2是函数的极小值点
考法3：结合图象与单调性解不等式
6.已知定义在[-3,4 ]上的函数f ( x)的大致图像如图所示，f
'( x)是f ( x)的导函数，则不等式
x f
'( x)>0的解集为（ ）
A. (-2,-1)∪(1, 5
2 )
B. (-3,-2)
C. (-1,0)∪(1, 5
2 )
D. (3,4)
7.（2026·湖南衡阳·适应性考试）（多选）函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)的图象如图所
示，设f
'( x)是函数f ( x)的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. f
'( x)>0的解集是(2,5)
B. 3a+2b+c =0
C. x =2时，f
'( x)取得最大值
D. f ( x)⋅f
'( x)>0的解集是(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,5)
考点二：不含参函数的单调性分析与应用
考法4：求不含参函数的单调区间
8.函数y = x
2+2
x
+ ln x的单调递增区间为（ ）
A. (0,2)
B. (0,1)
C. (2,+∞)
D. (1,+∞)
9.（2026·山东聊城·二模）函数f ( x)= e
x -1
x
- ln x的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿.
10.（2026·湖北孝感·一模）函数f ( x)= x
3-3 x
2-9 x +11的单调递增区间为(-∞,a]，[b,+∞)，
单调递减区间为[a,b]，则a+b=＿＿＿＿＿＿.
11.（2026·山东东营·二模）已知函数f ( x)= x ln x. 求函数f ( x)的单调区间.
考法5：利用单调性与构造函数求解不等式或极值
12.（2026·广东深圳·二模）已知函数f ( x)=e
x( x -1)+ x
2- x，则满足f (m)<f (m+2)的m的取值
范围是（ ）
A. (0,+ ∞)
B. (- 1
2 ,+∞)
C. (-1,+∞)
D. (-∞,0)
13.（2025·深圳高级中学·适应性考试）已知函数f ( x)的定义域为R，且f
'( x)- f ( x)>0，若
f （0）=1，则不等式f ( x)-e
x>0的解集为＿＿＿＿＿＿.（结果用区间表示）
14.（2026·安徽师大附中·适应性检测）已知函数
f ( x)= ln( x + 1
x )( x>0),g( x)= ln( x
2+1)-a x
2+bx ,a,b∈R. 求函数f ( x)的单调区间与最小值.
15.（2026·合肥六校联盟·一模）已知函数f ( x)=2ln x -( k
2 +1)x
2-kx +1( x>0). 当k =0时，证
明：f ( x)≤0.
考点三：已知函数单调性求参数范围
考法6：根据函数在某区间单调求参数范围
16.若函数f ( x)= x
2-ax + ln x在区间(1,e)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. [3,+ ∞)
B. (-∞,3]
C. [3,e
2+1]
D. [3,e
2-1]
17.若函数f ( x)= loga(ax - x
3)(a>0且a≠1)在区间(0,1)内单调递增，则a的取值范围是（
）
A. [3,+ ∞)
B. (1,3]
C. (0, 1
3 )
D. [ 1
3 ,1)
18.已知函数f ( x)=sin x +acos x在区间( π
4 , π
2 )上是减函数，则实数a的取值范围为
（ ）
A. a>❑√2-1
B. a≥1
C. a>1- ❑√2
D. a≥-1
19.三次函数f ( x)=m x
3- x在(-∞,+ ∞)上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A. m<0
B. m<1
C. m≤0
D. m≤1
20.已知函数f ( x)= 1
3 x
3+ a
2 x
2+ x +1在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则
实数a的取值范围为（ ）
A. [- 10
3 ,- 5
2 ]
B. (-∞,-2]
C. (- 10
3 ,-2]
D. (- 10
3 ,- 5
2 )
考法7：根据函数存在单调区间或不单调求参数范围
21.（2025·江西上饶·二模）若函数h( x)= ln x - 1
2 a x
2-2 x在[1,4 ]上存在单调递增区间，则
实数a的取值范围为（ ）
A. [-1,+ ∞)
B. (-1,+∞)
C. (-∞,- 7
16 ]
D. (-∞,- 7
16 )
22.若函数f ( x)= x
2
2 - ln x在区间(m,m+ 1
3 )上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A. 0<m< 2
3
B. 2
3 <m<1
C. 2
3 ≤m≤1
D. m>1
23.若函数f ( x)= ln x +a x
2-2在区间( 1
2 ,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（
）
A. [-2,+ ∞)
B. (- 1
8 ,+∞)
C. [-2,- 1
8 )
D. (-2,+ ∞)
考法8：根据分段函数单调性求参数范围
24.（2026·山东济宁·三模）设函数f ( x)={
e
x -m, x ≤0,
ln( x +1), x>0是R上的增函数，且关于x的不等式
f (m+ x)<f ( x
2+2)恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. (1, 7
4 )
B. [1, 7
4 )
C. (1, 7
4 ]
D. [1, 7
4 ]
25.（2026·江西吉安·一模）已知函数f ( x)={
e
x -aln x , x ≥1,
- x
2+2ax , x<1 在定义域R上是增函数，则实
数a的取值范围为（ ）
A. [1,e ]
B. [1,+ ∞)
C. [1, e+1
2
]
D. [ e+1
2
,e ]
考点四：含参函数的单调性讨论
考法9：一次或二次函数型导数的单调性讨论
26.已知函数f ( x)=(m+1)x -mln x -m. 讨论f ( x)的单调性.
27.已知函数f ( x)= ln x -2a
2 x
2+3ax -1(a≥0). 讨论函数f ( x)的单调性.
28.已知函数f ( x)=( 1
x - 1
2 x
2 )( x -a)- ln x - 1
2 x +b，其中a,b∈R. 讨论函数f ( x)的单调性.
29.设函数f ( x)=[a x
2-(4 a+1)x + 4 a+3]e
x. 求f ( x)的单调区间.
考法10：超越函数（指数/对数型）的单调性讨论
30.（2025·深圳高级中学·适应性考试）（多选）若存在m<n，使得函数f ( x)=2
a x
3-3ax +1在区
间(-∞,m)和(n,+ ∞)上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. a>0
B. a<0
C. f ( x)在(-1,1)上单调递增
D. f ( x)在(-1,1)上单调递减
31.（2026·山东德州·一模）已知函数f ( x)= e
2 x
2 -ae
x+ x. 讨论f ( x)的极值点个数.
32.（2026·安徽合肥·三模）已知函数f ( x)=aln x -3 x + 4(a∈R). 若f ( x)有两个零点
x1, x2( x1< x2)，①求实数a的取值范围；②当
x2
x1取得最小值时，求实数a的值.
33.（2026·省十教育·最后一卷）已知函数f ( x)= 4
x -1-(ln x +ax)ln 2.
（1）若a=1，判断f ( x)的单调性；
（2）若1<a< 10
3 ，证明：f ( x)>ln( 2
3 + 1
3 a).
34.（2026·江西赣州·一模）已知函数f ( x)=e
ax - x( x∈R).
（1）讨论函数f ( x)的单调性；
（2）设函数g( x)= f ( x)-a
m(a>0,m∈R)，若存在唯一实数a使函数g( x)的最小值为0，求
实数m的取值范围.
考法11：利用分段分析法讨论函数单调性
35.已知函数f ( x)=a
- x +1+ x
2-2 x +1+( x -1)ln a(a>0，且a≠1). 求函数f ( x)的单调区间.
36.设函数f ( x)= x +1
e
x +a x
2，其中a∈R. 讨论f ( x)的单调性.
37.已知函数f ( x)= x - ln x - e
x
x . 判断函数f ( x)的单调性.
38.设m>1，函数f ( x)=e
2mx -(2 x +1)
m( x>- 1
2 ),g( x)=e
2mx -( x +1)
2m( x>-1). 讨论f ( x)在
(- 1
2m ,+∞)的单调性.
