文档文本内容
第16 讲 极值与最值·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.（2026·福州·4 月适应）已知函数 f ( x)=( x -a)
m( x -b)
n(m,n∈N
*,m<n,a≠b) 有且仅有
3 个极值点 x1、x2、x3，且 x1< x2< x3，则（ ）
A. m为奇数
B. n为奇数
C. 若a<b，则2 x2> x1+ x3
D. 若a>b，则2 x2> x1+ x3
2.（2025·江西上进·5 月练兵）函数 f ( x)= x sin( π
3 x + π
6 ) 在区间 (0,2028) 上的极值点个
数为（ ）
A. 675
B. 676
C. 2027
D. 2028
3.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 f ( x)= x
aa
x(a∈N
*,a>1)，记 f ( x) 的非零极值点为
t，则取 t 最大值时，a=（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.（2026·杭州二中·5 月测试）已知函数 f ( x)= ln x + x - 1
x ，若 f (a)+ f (b)=0，则 a
2+b
2
的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. ❑√2
D. 2❑√2
5.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 f ( x)=( x -a-1)e
x - 1
2 b x
2+abx 在 R 上单调递增，则
下列各式有最大值的是（ ）
A. a+b
B. b-a
C. ab
D. a
b
6.（2026·湖南天壹·5 月模拟）已知函数 f ( x)=a(a x
2- x)- ln x ,a<0，若 f ( x)≥b，则 e
b
a
的最小值为（ ）
A. -e
- 1
2
B. -2e
- 1
2
C. -e
3
4
D. -2e
3
4
7.（2025·广东上进·5 月测评）已知函数 f ( x)= x e
x+(2- x)e
- x，则 f ( x) 的极小值为（
）
A. 2e
B. e
C. 2e
2
D. e
2
8.已知函数 f ( x)=
1+sin x
2cos x +sin x ，x∈[0, π
2 ] ，则函数 f ( x) 的最小值为（ ）
A. 0
B. 1
2
C. 1
D.
❑√2
2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·山东济南·二模）已知函数 f ( x)= x
3-3 x +2，则（ ）
A. f ( x) 有两个极值点
B. f ( x)<0 当且仅当 x<-2
C. 当 x>1 时，f ( x
2+1)>f (2 x)
D. 若 f ( x1)+ f ( x2)= 4，则 x1+ x2=0
10.（2025·江苏四市·一模）已知函数 f ( x)= 1
3 x
3- x
2+1，其导函数为 f
'( x)，则（ ）
A. 直线 y =-2 x 是曲线 y = f ( x) 的切线
B. f ( x) 有三个零点
C. f
'(2- x)= f
'( x)
D. 若 f ( x) 在区间 (a,a+ 4) 上有最大值，则 a 的取值范围为 (- 4 ,0)
11.（2026·湖南雅礼·模拟）已知函数 f ( x)=2e
x -2e
- x - x
3+12 x，则（ ）
A. f （2）>0
B. f ( x) 有4 个极值点
C. f ( x) 在区间 (2,3) 上有零点
D. f ( x) 在区间 (-1,1) 上单调递增
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2026·河北沧州·二模）设 a>0，函数 f ( x)=( x -a)(ln x)
2 的极小值为 0，则 a 的取
值范围是＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数 f ( x)=2sin x(1+cos x)，则 f ( x) 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
14.若存在实数 a,b(0<b<2)，使得关于 x 的不等式 3 x
2
3 ≤ax +b≤2 x
2+2 对 x∈(0,+∞)
恒成立，则 b 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·广东汕头·二模）已知函数 f ( x)=a( x - 4)
2+6 ln x.
（1） 若曲线 y = f ( x) 在点 (1,f （1）) 处的切线过点 (0,9)，求 a 的值；
（2） 求 f ( x) 的极值点.
16.（15 分）（2025·燕博园·3 月检测）已知函数 f ( x)= x ln x.
（1） 求曲线 y = f ( x) 在点 (e ,f (e)) 处的切线方程；
（2） 求函数 f ( x) 的极值；
（3） 讨论函数 h( x)= f ( x)-e
x+1 在 (0,+∞) 上的单调性.
17.（15 分）（2025·广东衡水·5 月联考）已知函数 f ( x)=
x
ln
3 x
( x≠1).
（1） 求 f ( x) 的极值；
（2） 证明：27 e
x - 4>ln
3 x.
18.（17 分）（2026·湖南长郡·二模）函数 f ( x)=ax ln x - 1
2 x
2,a∈R.
（1） a=1 时，求 f ( x) 在 x =1 处的切线方程；
（2） 若 f ( x) 有两个极值点，求 a 的取值范围.
19.（17 分）（2026·安徽铜陵·一模）已知函数 f ( x)=e
x+sin x -ax ,a∈R.
（1） 若 a=2，求 f ( x) 的单调区间；
（2） ∀x∈[0,+∞)，f ( x)≥cos x 成立，求实数 a 的取值范围；
（3） 若 a=1, x∈[-2π ,+∞) 时，y =m 与 y = f ( x) 的图象有三个交点，横坐标分别为
x p, xq, xr( x p< xq< xr)，求证：2 xq< x p+ xr.
