文档文本内容
第17 讲导数的几何意义（切线方程）
（知识清单+5 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
定点切线方程：y −f ( x0)= f
'( x0)( x −x0)
单选题
5 分
切线斜率求解：k = f
'( x0)
解答小问
4 分
切线几何性质求参数
解答小问
4 分
曲线外点切线多解问题，设切点( x1,f ( x1))求解
填空题
5 分
切线斜率正负与单调性辨析
多选题
6 分
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
单选题
5 分
特殊切线：f
'( x0)=0水平切线、切线条数判断
多选题
6 分
切线平行垂直：k1=k2、k1⋅k2=−1
填空题
5 分
切线方程综合应用（大题基础问）
解答题
12 分
【知识点01】导数的几何意义
1. 核心几何意义
设函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导，则导数 f
'( x0) 的几何意义为：
f
'( x0) 是曲线 y = f ( x) 在点 P( x0,f ( x0)) 处的切线斜率。
核心结论：
1. 若 f
'( x0)>0，切线倾斜角为锐角，函数在该点递增；
2. 若 f
'( x0)<0，切线倾斜角为钝角，函数在该点递减；
3. 若 f
'( x0)=0，切线水平，倾斜角为 0
∘；
4. 若导数不存在，切线可能垂直于x 轴（竖直切线）。
2. 割线与切线的关系
平均变化率 Δ y
Δ x 对应割线斜率；
当 Δ x→0，割线无限逼近切线，割线斜率极限即为切线斜率：
k =
lim
Δ x→0 f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
= f
'( x0)
【例1】已知 f ( x)= x
2，判断曲线在 x =1 和 x =−2 处切线的增减趋势。
解析：求导得f
'( x)=2 x
f
'(1)=2>0，该处切线递增；
f
'(−2)=−4<0，该处切线递减。
【知识点02】切线方程与法线方程公式
1. 切线方程（高考必考）
曲线 y = f ( x) 在点 ( x0,f ( x0)) 处：
斜率：k = f
'( x0)
切线方程：y −f ( x0)= f
'( x0)( x −x0)
2. 法线方程（切线垂线）
法线与切线垂直，斜率乘积为 −1：
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)
法线方程：y −f ( x0)=−
1
f
'( x0)
( x−x0)
【例2】求曲线 y = x
3 在点 (1,1) 处的切线方程。
解析：y
' =3 x
2
切线斜率 k = y
'|x =1=3
代入点斜式：y −1=3( x−1)
整理得：y =3 x−2
【知识点03】两类切线题型核心区别
1. 在曲线上一点的切线（单点唯一切线）
题干特征：“在点 ( x0, y0) 处的切线”，该点在曲线上，直接代公式求解，切线唯一。
2. 过曲线外一点的切线（多条切线）
题干特征：“过点 ( x0, y0) 的切线”，该点不一定在曲线上，需设切点求解，可能存在多条切线。
解题通用步骤：
1. 设切点 ( x1,f ( x1))；
2. 写出切线方程 y −f ( x1)= f
'( x1)( x−x1)；
3. 将已知外点代入方程，求解 x1；
4. 回代得到对应切线方程。
【例3】求过点 (2,0) 且与曲线 y = x
2 相切的直线方程。
解析：设切点为 ( x1, x1
2)，y
' =2 x，切线斜率 k =2 x1
切线方程：y −x1
2=2 x1( x−x1)
将点 (2,0) 代入：
0−x1
2=2 x1(2−x1)
−x1
2= 4 x1−2 x1
2
x1
2−4 x1=0
解得 x1=0 或x1= 4
当 x1=0 时，切线方程：y =0
当 x1= 4 时，切线方程：y =8 x−16
【知识点04】特殊切线情况
1. 水平切线：f
'( x0)=0，切线方程为 y = f ( x0)
2. 竖直切线：f
'( x0) 不存在，切线方程为 x = x0
【例4】求曲线y = x
2−2 x 的水平切线方程。
解析：y
' =2 x−2
令 y
' =0，得 x =1
代入原函数得 y =−1
水平切线方程：y =−1
【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角)
【例1】（2026·河北邯郸·一模）“曲线
在
处的切线的倾斜角为
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
．
由曲线
在
处的切线的倾斜角为
，
可得
，解得
或
．
故“曲线
在
处的切线的倾斜角为
”是“
”的必要不充分条件．
【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数
的部分图象，记
的导数为
，则下列选项中值最大
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数
的图象，结合导数的几何意义，即可判断.
【详解】
由图可知，
为负数，
为正数，故不选
，
设
在
处的点为
，显然
的斜率
大于
，
则
，可转化为
，
所以
的值最大.
故选：A．
【例3】过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
________.
【答案】
【分析】设切点坐标为
，根据导数的几何意义列式可得
，再根据韦达定理即可得答案.
【详解】由题意得
，
过点
作曲线
的切线，设切点坐标为
，
则
，即
，
由于
，故
，
因为过点
作曲线
的切线有且只有两条，
所以
有两个解
，且
，即
或
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
【变式1】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线
是函数
的图象的一条切线，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．e
D．
【答案】A
【分析】可设切点坐标
，切点坐标满足函数方程，且有
．解方程组可得k 的值；
【详解】
，
，
设切点坐标为
，则
，
消去k，得
，所以
.
故选：A
【变式2】（2024·河南信阳·三模）动点P 在函数
的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到
，求出以P 为切点的切线的倾斜角取值范围.
【详解】令
，解得
，故
的定义域为
，
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，故以P 为切点的切线的倾斜角取值范围是
.
故选：C
【变式3】（2025·全国·模拟预测）若函数
和
的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共
点），则称该直线为函数
和
的“隔离直线”.已知
，
，若
和
在公共
定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象,结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围.
【详解】
由题意
和
的公共定义域为
，结合大致图象可知，
在
上，
.
设直线
，
直线与
在
上的图象切于点
，与
在
上的图象切于点
，
，
，则
，
则
，且
，解得
，
所以公切线的斜率
，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为
.
故答案为：
.
【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
【例4】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点
处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
【例5】（多选）（2026·安徽宿州·一模）设函数
，则（ ）
A．
在
处的切线方程为
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
【答案】AD
【分析】对于A 选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C 选项求出函数的单调区
间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解.
【详解】对于A，
，在
处的切线方程为
，化简可得
，故A 选项正确；
对于B，
，令
，解得：
,
令
，解得：
或
,
令
，解得：
,
所以函数
在
和
递增，在
递减，
则
是
的极小值点，故B 选项错误；
对于C，由于函数
在
和
递增，在
递减，故当
时，最小值为
，最大值为
，所以
，故C 选项错误：
对于D 选项，由于
，D
选项正确.
故选：AD
【例6】（2026·云南·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为____________.
【答案】
【详解】由
，可得
，当
时，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
.
【变式1】（2026·安徽·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程.
【详解】
，则
，
，所以切线方程为
，化简可得
，
即函数
的图象在点
处的切线方程为
.
【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）若函数
的图象在
处的切线过点
，则
___________.
【答案】
【详解】因为
，
，所以
，
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，
将点
代入，得
，解得
.
【变式3】（2026·山东潍坊·一模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
存在极小值，且极小值大于0，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得
，由导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，根据已知有
，再确定
的极小值，结合其大于0 求参数范围.
【详解】（1）由
，则
，可得
，满足题设，
所以
，则
，可得
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程
，即
；
（2）由题设
且
，
当
时，
恒成立，显然不存在极值，
所以
，则
有
，
有
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，此时
存在极小值，
所以
，可得
.
【题型三】求过一点的切线方程
【例7】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线
过坐标原点的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
.
设切点为
，则切线斜率
.
切线方程为
.
将原点
代入得
，
即
，因为
，所以
，解得
.
所以切线斜率
，切线方程为
.
故所求切线方程为
.
【例8】（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，则满足过点
可作出3 条直线与
图象相切的充分条件是（ ）
A．
，
B．
C．点
在射线
上
D．点
在曲线
上
【答案】ACD
【分析】设过点
的直线与
的图象切于点
，由
，得到
，构造
，结合
有3 个零点，求导得到
，令
，得
或
，由
逐项判断即可.
【详解】因为
，所以
，
设过点
的直线与
的图象切于点
，
则切线斜率
，即
，
去分母整理得
，切线有3 条，
设
，则
有3 个零点，
，令
，得
或
，
所以
，
对于A，取
，得
，A 正确；
对于B，取
，则
，不满足，B 错误；
对于C，令
，
，则
，
，满足
，C 正确；
对于D，令
，
，则
，
，满足
，D 正确；
故选：ACD.
【例9】过点
作曲线
的切线，则切点坐标为______.
【答案】
/
【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案.
【详解】由
，得
，
，化简得
，
，
则
，设切点为
，显然
不在曲线上，
则
，解得
，则切点坐标为
.
故答案为：
【变式1】（2025·河南周口·二模）将曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与y 轴相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得
是曲线
过原点的切线，求出函数的导数，由导数的几何意义
分析可得切点坐标，再将切点坐标代入
，计算可得答案．
【详解】根据题意，曲线
绕原点逆时针旋转角
后第一次与
轴相切，
则
是曲线
过原点的切线．
设切点坐标为
，
又由
，即切点处切线的斜率
．
即把切点坐标代入
，得
，解得
，
故
，所以
，故
.
故选：D．
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线
在点
处的切线过原点
，则
__________.
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入
求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
在点
处的切线方程为
.
又切线过原点
，则
，所以
.
故答案为：
【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知
.
(1)若
（i）过点
作曲线
的两条切线，求
的取值范围；
（ii）求不等式
的解集；
(2)若
在区间
内存在极小值点，求
的取值范围.
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)
.
【分析】（1）（i）设切点为
，问题可转化为
有两个实数根，求解即可；（ii）
，令
，求导可得
，进而可求解；
（2）求导得
，分
三种情况讨论函数
的单调性，判断极小值点在
内可求得的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
（i）
，设切点为
，整理得
0，
问题转化为方程
有两个实数根，
，
或
.
的取值范围为
.
（ii）
.
令
，则
，
由
，得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，则
.
故当
时，
，当
时，
，
从而原不等式的解集为
.
（2）由已知得
1.若
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
在
取得最小值，符合题意.
2.若
，
i）若
即
，
当
在
上单调递减，
当
在
上单调递增，
在
取得最小值，
ii）当
无极值，不符合题意，
iii）当
即
，
当
在
上单调递减，
当
在
上单调递增，
在
取得极小值符合.
3.若
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
在
取得极小值，符合题意；
综上所述：
的取值范围为
.
【题型四】已知切线(斜率)求参数
【例10】（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的一条切线，则
_________.
【答案】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几
何性质与导数的四则运算得到关于切点
与
的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
【例11】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】因为
，
所以
在点
处的切线的斜率为
，
而该切线与直线
垂直，
所以
，解得
．
【例12】（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线
相切的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】假设选项中的曲线与直线
相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断
即可得出结论.
【详解】选项A 中，若
与
相切，设切点为
，
易知
，则
，解得
，即切点为
，切线为
，A 正确；
选项B 中，若
与
相切，设切点为
，
易知
，则
，解得
，切点为
，切线方程为
，即B 错误；
选项C 中，若
与
相切，设切点为
，
易知
，则
，解得
，
当
时，切点为
，切线方程为
，C 正确；
选项D 中，易知
与
有三个交点，
，
又
，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以
不是切线，D 错误.
故选：AC
【变式1】（2026·山东青岛·二模）已知直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点
，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出
，即可求解.
【详解】设切点坐标为
，
因为
，所以
，
所以切线的斜率
，解得
，
又
，即
，
所以
.
【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b 为正实数，直线
与曲线
相切，则
最
大值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得
，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值.
【详解】由
，求导得
，
设直线
与曲线
相切于点
，则有
，
解得
，则
，而
为正实数，
因此
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知函数
，直线
与曲线
相切．
(1)求实数
的值；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数
；
（2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可.
【详解】（1）设直线
与曲线
相切于
，
因为
，所以切线斜率为
，
所以
，则
，所以切点为
，
又因为切点
在直线
上，所以
，
所以
．
（2）
，
则
．
当
时，
，
，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，不满足题意；
当
时，
，
，
，
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极小值点，不满足题意；
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
不是
的极值点，不满足题意；
当
时，
，
，
，
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
是
的极大值点，满足题意，
综上，
的取值范围是
．
【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题
【例13】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
__________.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，求出
，利
用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
【例14】（2026·河北·二模）若函数
的图象在点
处的切线恰好与函数
的
图象切于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程.
【详解】因切线与
的切点为
， 由
可得
，
切线方程为：
，即
①
依题意，切线与
的切点为
，因
，
则切线的方程为：
，即
②
因①，②都是的方程，则有
，
联立两式消去
并整理得
，即
，解得
.
【例15】（2026·陕西榆林·三模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
______.
【答案】4
【分析】通过切线斜率即可直接求得
的值，再设函数
的图象的切点为
，由切线斜率得到
，结
合函数单调性求得
，得到
，即可求解.
【详解】设直线
与函数
的图象的切点为
，
由
求导得
，由
，得
，
所以直线
与函数
的图象的切点为
，
将点
代入
，解得
.
设直线
与函数
的图象的切点为
，
又
，则
（*）.
由
，代入上式得
，
因为函数
单调递增，且
，
所以
，代入（*），解得
，
所以
.
【变式1】（2026·陕西商洛·二模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】C
【详解】由
，得
由
，得
.
直线
的斜率为.
令
，得
，
将
代入
，得
，
所以直线
与函数
的图象的切点为
，所以
，
.
设直线
与函数
的图象的切点为
，
则
，得
.
因为函数
单调递增，且
，
所以
，
.
所以
.
【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得
的切线方程，再设出该切线与
的切点，再利用公切线的
斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由
，则
，
所以曲线
在点
处的斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
设直线
与曲线
相切的切点为
，且
，
则
，解得
．
【变式3】已知函数
，其中
，
．
(1)当
时，若
存在大于零的极值点，求b 的取值范围．
(2)若存在
，
（其中
，使得曲线
在点
与点
处有相同的切线，
求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
时
的导函数
，根据
单调性判断函数的极值点，即可求出b 的取值范围；
（2）利用导数的几何意义求出点
与点
处的切线方程，根据两者切线相同得出关于
，
的方程
组有解，通过构造函数转化为函数存在零点的问题，即可求解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
由题意知
，当
时，
，
当
时，
，
，
则
，
①若
，当
时，
，
单调递增，无极值点；
②若
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
上存在唯一的极大值点
，则b 的取值范围是
．
（2）由题意
，
在点
处的切线方程为
，
即
，
同理
在点
处的切线方程为
，
因为两切线相同，所以
，
即方程组
有解，
令
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
∵
为偶函数，且
，
，故
，
令
，
，
则
在区间
和
单调递减，
∵
的奇函数，∴当
时，
，
又∵
，∴
，
∵
，
，
∴当
时，
单调递减，
，
当
时，
单调递减，
．
故
，所以
．
【解题大招01】定点切线方程速求技巧
适用题型：题干给出“在曲线上该点处的切线”，点在曲线上，切线唯一。
解题三步法
1. 求导得到导函数 f
'( x)；
2. 代入横坐标得斜率 k = f
'( x0)；
3. 代入点斜式公式直接写方程。
核心公式
y −f ( x0)= f
'( x0)( x−x0).
【例1】求曲线 y = x
2+1 在点 (1,2) 处的切线方程。
解析：求导：y
' =2 x
斜率：k = y
'|x =1=2
代入点斜式：y −2=2( x−1)
整理得：y =2 x
【解题大招02】过曲线外一点切线求解技巧
题型特征：题干为“过点 ( x0, y0) 的切线”，点不在曲线上，存在多条切线，不可直接代点。
解题套路
1. 设切点 ( x1,f ( x1))；
2. 写出切线方程 y −f ( x1)= f
'( x1)( x−x1)；
3. 将外点代入方程，解出x1；
4. 回代得到全部切线方程，切勿漏解。
【例2】求过点 (3,0) 且与曲线 y = x
2 相切的直线方程。
解析：设切点 ( x1, x1
2)，y
' =2 x，斜率 k =2 x1
切线方程：y −x1
2=2 x1( x −x1)
代入点 (3,0)：
0−x1
2=2 x1(3−x1)
化简得：x1
2−6 x1=0
解得：x1=0 或 x1=6
对应切线方程：y =0、y =12 x−36
【解题大招03】切线平行、垂直快速判定技巧
核心结论
已知直线斜率为 k0，曲线切线斜率 k = f
'( x0)
1. 平行：k =k0
2. 垂直：k ⋅k0=−1
【例3】求曲线 y =e
x 上与直线 y = x 平行的切线方程。
解析：直线斜率 k0=1，y
' =e
x
令 e
x0=1，得 x0=0，切点 (0,1)
切线方程：y −1=1⋅( x−0)
即：y = x +1
【解题大招04】法线方程速求技巧
方法口诀：切线斜率取负倒数，点斜式直接套用。
核心公式
法线斜率：k法=−
1
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)
法线方程：y −f ( x0)=−
1
f
'( x0)
( x−x0)
【例4】求曲线 y = ln x 在点 (1,0) 处的法线方程。
解析：y
' = 1
x ，切线斜率 k =1
法线斜率 k法=−1
法线方程：y −0=−1( x−1)
整理得：y =−x +1
【解题大招05】特殊切线快速判断技巧
1. 水平切线：令 f
'( x0)=0，切线方程 y = f ( x0)
2. 竖直切线：f
'( x0) 不存在，切线方程 x = x0
【例5】求 y = x
2−4 x 的水平切线方程。
解析：y
' =2 x−4
令 y
' =0，得 x =2，代入原式得 y =−4
水平切线方程：y =−4
【解题大招06】参数型切线方程解题技巧
方法核心：参数视为常数，正常求导，利用切线条件列方程求参数。
【例6】若曲线 y =a x
2 在 x =1 处切线方程为 y =2 x +b，求 a,b。
解析：y
' =2ax，k = y
'|x =1=2a
由题意 2a=2，得 a=1
切点 (1,1)，代入切线方程 2×1+b=1
得 b=−1
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与
轴平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求定义域，求导，设出切点，根据导函数几何意义得到方程，解方程，可得结论
【详解】A 选项，
的定义域为R，
，设切点为
，
假设
在
处的切线与
轴平行，
则
，则
，
，
所以曲线
的图象上存在与
轴平行的切线，A 正确；
B 选项，
的定义域为R，
，设切点为
，
假设
在
处的切线与
轴平行，
则
，无解，故
的图象上不存在与
轴平行的切线，B 错误；
C 选项，
的定义域为
，
，设切点为
，
假设
在
处的切线与
轴平行，
则
，无解，
的图象上不存在与
轴平行的切线，C 错误；
D 选项，
的定义域为R，
，设切点为
，
假设
在
处的切线与
轴平行，
则
，无解，故
的图象上不存在与
轴平行的切线，D 错误；
2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】曲线
的导数
，则在
的切线斜率为
，
由点斜式求得切线方程为
，
化成一般式为
.
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）
在点
处的切线方程是
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】
，又
在
处的切线方程是
，
故
，又
，故
.
二、多选题
4．（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，曲线
在点
处的切线方程为
B．当
时，曲线
在点
处的切线方程为
C．当
时，曲线
上不存在斜率为0 的切线
D．当
时，曲线
在点
处的切线斜率为0
【答案】BD
【分析】对于AB，由题可得
在点
处的切线方程，据此可判断选项正误；
对于CD，由题可得
在点
处的切线斜率，据此可判断选项正误.
【详解】对于AB,当
时，
，有
，又
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，故
错误，B 正确；
对于CD，当
时，
，则
，显然
，
即曲线
在点
处的切线斜率为0，故C 错误，D 正确．
故选：BD．
三、填空题
5．（2026·广东深圳·二模）若直线
是曲线
的一条切线，则
___________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解.
【详解】设切点为
，
由于
，则
，解得
，
于是切点为
，则
，解得
．
6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线
在
处的切线的倾斜角为__________．
【答案】
/
【分析】先求函数在
处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角.
【详解】设
，函数定义域为
，
得到
，所以
，即曲线在
处的切线斜率为.
设切线的倾斜角为
，其中
，由斜率定义可知
，解得
.
四、解答题
7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，且曲线
在点
处的切线与x 轴平行．
(1)求a，b；
(2)求
的极值点个数．
【答案】(1)
，
(2)两个
【分析】（1）由题意知，
，
，求导数，代入计算，即可得解；
（2）
，令
，则问题转化为函数
的变号零点的个数，对函数
求导，判
断
的正负，得到函数
的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解.
【详解】（1）由题得
，解得
，
又
，则
，解得
，
故
，
（2）由（1）可知
，
令
，则
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
又
，
，
，
，使得
，故
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
内单调递增，在
单调递减，在
递增，
所以
有两个极值点．
8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
（
，
，
）在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)分析函数
的单调性.
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于
的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，
判断导数正负，即可求得答案.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
由题意得：
，解得：
，所以
.
（2）由（1）得：
，
①当
时，即
，
在区间
上恒成立，
函数
在区间
上单调递增；
②当
时，若
，
，函数
在区间
上单调递增；
若
，
，函数
在区间
上单调递减.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
【答案】C
【分析】先求出切线方程，再将
代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求
出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切
线条数.
【详解】由题意
，
设切点为
，
所以切线方程为
，
再将
代入切线方程，
所以
，
当
时，满足条件，
当
时，
，
解得
，
最后将切点代入
，求出切线斜率
当
时，
，所以切线为
，
当
，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论，
当
，
，此时切线为
，
当
，
，此时切线为
，
所以切线条数为条.
2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数
满足当
时，
，则
的图象在
处的
切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可
【详解】当
时
，
，
因为
为偶函数，所以
，当
时两边求导得
，
所以
，
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，即
二、多选题
3．（2024·江西·模拟预测）已知
是
的导数，且
，则（ ）
A．
B．
的图像在
处的斜率为
C．
D．
在
上的极小值点为
【答案】BC
【分析】利用导数的运算和几何意义逐项判断即可.
【详解】由题意可得
，将
代入
解得
，C 正确；
所以
，
，
将
代入
可得
，A 错误；
将
代入
可得
，所以
的图像在
处的斜率为
，B 正确；
令
，解得
或
，
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
上的极小值点为
，D 错误；
故选：BC
三、填空题
4．（2026·河南·模拟预测）已知直线l 与曲线
和
都相切，则直线l 的方程为_________．
【答案】
【详解】设
，与曲线
联立，得
，由
，得
．
直线l 与曲线
联立，得
，显然
，由
，得
．
所以
，
化简得
，又
，所以
，从而
．
所以直线l 的方程为
，即
．
5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，且
时，
有极值，则
_____．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求
，并结合单调性检验即可.
【详解】因为
，则
，
由题意可得
，解得
，
则函数
，
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
在
处取到极大值，即
，
符合题意，
所以
.
四、解答题
6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数
，其中
，且
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恰有两个极值点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）求导，求出
和
，从而得到切点坐标和切线斜率，求出切线方程；
（2）求导，研究导函数零点个数，求出实数
的取值范围．
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，又
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
（2）
．
当
时，
，令
，
显然
单调递减，
至多有一个零点，
即
至多有一个零点，不符合题意．
当
时，
设
，则
，
令
，解得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
的最小值为
，
当
时，
，且
；
当
时，
．
若
恰有两个极值点，则方程
有两个解，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）若直线
是曲线
的一条切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得.
【详解】设直线
与曲线
相切于点
，
因为
，所以
，解得
.
2．（2026·河北·三模）若函数
的图象不存在过原点的切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出函数
的图象在
处的切线方程，由已知建立方程，
利用方程无解列式求解.
【详解】函数
，求导得
，
则函数
的图象在
处的切线方程为
，
由原点
不在该切线上，得关于切点横坐标
的方程
无解，
即
无解，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
二、多选题
3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的极大值为
B．函数
的极小值为
C．直线
是函数
图象的一条切线
D．若关于
的不等式
有唯一的整数解，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求出
的定义域和
，对于AB，利用导数法得到
的单调性，结合单调性得到
的极值，从
而得到结论.对于C，设切点为
，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方
程.对于D，利用
的单调性和极值，结合图像求解.
【详解】
的定义域为
.
对于AB，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为
，故A 正确，B 错误.
对于C，设切点为
，
显然
，
是方程
的一个根，
切点为
切线方程为
，
即
，故C 正确.
对于D
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
在定义域内有极大值
，
又
，
即
由此作出函数
的大致图象，如图.
不等式
有唯一的整数解，
，即
，故D 正确.
三、填空题
4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出
，利用换元法把问题转化为
有两个
不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出
的取值范围．
【详解】设曲线
上的切点为
，求导得
，
则切线方程为
，即
，
设该切线与曲线
切于点
，求导得
，
则切线方程为
，即
，
，即
①，
②，
把①代入②消去
得
，由
得
，解得
，
令
，则
，代入①得
，
令
，问题转化为
有2 个不同解，
求导
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
最大值
，
和
时，
，
，
，
，即
．
四、解答题
5．（2026·山东济南·二模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
是
的极大值点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义得出
，即可解得实数
的值；
（2）求得
，对实数
的取值进行分类讨论，分析
在
附近的符号变化，结合函数极大值点
的定义可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由题意可得
，
由导数的几何意义可得
，解得
.
（2）因为
是
的极大值点，
，则
，
令
，其中
，则
，
，
①当
时，
对任意的
恒成立，则
在
上为减函数，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
此时
为函数
的极大值点；
②当
时，函数
在
为增函数，由
可得
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
（i）当
时，即当
时，
若
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
此时
为函数
的极大值点；
（ii）当
时，即当
时，
若
时，
；若
时，
.
此时函数
在
上单调递增，无极值点；
（iii）当
时，即当
时，
若
时，
，即函数
在
上单调递减，
若
时，
，即函数
在
上单调递增，
此时
为函数
的极小值点
综上所述，
，即实数
的取值范围是
.
