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第18 讲导数与函数的单调性、极值、最值
（知识清单+8 典例精讲+7 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
利用 f
'( x)>0,f
'( x)<0 判断单调区间，极值判定：f
'( x0)=0 且两侧导数变
号
解答题
12 分
函数单调性辨析、极值点个数判断、区间最值与导数综合应用
单选、多
选、解答题
5 分/6 分/12
分
含参数函数单调性分类讨论，利用极值、最值求解参数范围
解答题
12 分
综合考查单调区间求解、极值判定、闭区间最值比较
解答题
12 分
极值点正误辨析，单调性结合最值求解函数值域与不等式问题
多选、解答
题
6 分/12 分
单峰函数极值、最值快速求解，利用单调性比较函数值大小
多选、解答
题
6 分/12 分
导数讨论单调性，结合极值点分析函数零点个数问题
多选、填空
题
6 分/5 分
单调性比大小、极值最值综合，含参函数单调性分类讨论
解答题
12 分
极值点判定、单调区间求解、导数最值的实际综合应用
多选、解答
题
6 分/12 分
含参复杂函数单调性讨论，极值存在性判断与最值求解
多选、填
空、解答题
6 分/5 分/12
分
【知识点01】函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间
(a，b)上可导
f'(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f'(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
f'(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
【例1】判断函数 f ( x)= x
3−3 x 的导数符号与单调性。
【知识点02】利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数f(x)的定义域；
第2 步，求出导数f'(x)的零点；
第3 步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)
在定义域内的单调性.
【例2】求函数 f ( x)= x
2−ln x 的单调区间。
【知识点03】函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a 附近的
左侧f' ( x )<0
，右侧f' ( x )>0
，则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b 附近的
左侧f' ( x )>0
，右侧f' ( x )<0
，则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
【例3】求函数 f ( x)= x
3−3 x 的极值。
【知识点04】函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值
f ( a ) ，
f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例4】求函数 f ( x)= x
3−3 x 在区间 [0,2] 上的最值。
【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性
【例1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·贵州毕节·三模）已知函数
（
且
），若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2024·河北衡水·模拟预测）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·四川凉山·二模）已知
，则
的取值范围为__________.
【题型二】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）在一个电路中，流过的电荷量
（单位：C）关于时间（单位：）的函数关
系式为
.记
时流过的电荷量为
时流过的电荷量为
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式1】（多选）（2026·浙江·三模）已知a，x，
，
，
，则（ ）
A．当
时，
B．存在实数a，使得
C．对任意
，都有
D．当
时，
【变式2】（2026·山东聊城·二模）函数
的单调递减区间为______．
【变式3】（2025·河南鹤壁·模拟预测）设
的导数为
，若函数
的图象关于直线
对称，且
．
(1)求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间．
【题型三】由函数在区间上的单调性求参数
【例3】（2025·河南·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为______．
【变式3】（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围.
【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间
【例4】（2026·四川成都·二模）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在点
处的切线斜率为2，求实数a 的值；
(2)讨论
的单调性．
【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在定义域内单调递减，并且对任意正数
都有
，求实数
的取值范围．
【变式3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求实数
的值；
(2)若
，
，求
的单调区间.
【题型五】求已知函数的极值
【例5】（2025·河南·模拟预测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．7
【变式1】（2026·河北张家口·三模）若
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·广东·模拟预测）函数
的极小值为____________．
【变式3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
【题型六】根据极值点求参数
【例6】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
在
处取得极值
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式1】（2026·贵州·模拟预测）（多选）已知函数
在
处取得极小值，则
的
取值可能是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
【变式2】（2026·重庆渝中·二模）已知
是函数
（
）的极值点，则
______．
【变式3】（2025·四川乐山·模拟预测）已知曲线
在点
处的切线方程是
．
(1)求
，
的值；
(2)若
在区间
有唯一极值点，求
的取值范围．
【题型七】由导数求函数的最值(不含参)
【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·湖北恩施·二模）已知
，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）已知曲线
，
，
，
，当
轴时，
________．
【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
是
的两个极值点，且
，求a 的最大值．
【题型八】函数单调性、极值与最值的综合应用
【例8】已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·江苏南通·二模）若函数
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若
，且
，则
的最小值
为______．
【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）已知
.
(1)若
是
的极值点，求
的值，并判断
是
的极大值点还是极小值点；
(2)设
的最小值为
.
（i）求
的解析式；
（ii）证明：
的最大值为2.
【解题大招01】函数单调性快速判定技巧
核心技巧：求导后不复杂解方程，优先因式分解、判断导函数正负，快速划分单调区间，规避多余计算。
核心结论{f
'( x)>0⇒函数单调递增
f
'( x)<0⇒函数单调递减
避错口诀：定义域优先、因式再判号、零点分区间、正负定增减。
【例1】求函数 f ( x)= x−e
x 的单调区间。
【解题大招02】含参函数单调性分类讨论技巧
核心思路：导函数为一次、二次型含参函数，优先讨论参数范围、零点大小、开口方向，按顺序分类，不重不
漏。
讨论顺序：二次项系数→判别式→根的大小。
【例2】讨论函数 f ( x)= x
2−ax（a∈ℝ）的单调性。
【解题大招03】极值快速判定秒杀技巧
核心技巧：驻点 f
'( x0)=0 只是必要条件，左右导数变号才是极值核心，不变号一定无极值。
秒杀结论
左正右负 ⇒ 极大值点，左负右正 ⇒ 极小值点
【例3】求 f ( x)= x
3−3 x
2 的极值。
【解题大招04】真假极值点辨析技巧
易错点：f
'( x0)=0 不一定是极值点，若导数在该点左右符号不变，为假极值点。
典型反例技巧：幂函数、三次函数常出现驻点非极值点情况。
【例4】判断 f ( x)= x
3 是否存在极值。
【解题大招05】闭区间最值万能求解技巧
万能步骤：不求复杂单调性，只找区间内极值点+计算端点值，三者对比直接出最值。
核心公式
f ( x)max=max {区间极值,f (a),f (b)}
f ( x)min=min{区间极值,f (a),f (b)}
【例5】求 f ( x)= x
3−3 x +1 在 [−2,2] 上的最值。
【解题大招06】开区间最值快速判断技巧
核心结论：开区间 (a,b) 函数无端点值，只有极值，无绝对最值；若函数单调，则无最值。
【例6】判断 f ( x)= x−e
x 在 (0,+∞) 内是否存在最值。
【解题大招07】导数比大小秒杀技巧（利用单调性）
比较多个函数值大小，无需代入计算，求导判断单调性，利用自变量大小直接比函数值。
若函数单调递增：x1< x2⇒f ( x1)<f ( x2)
若函数单调递减：x1< x2⇒f ( x1)>f ( x2)
【例7】已知 f ( x)= x−ln x，比较 f (1),f (2),f (e) 的大小。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·福建漳州·二模）已知
是函数
的一个极值点，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
4．（2025·海南海口·模拟预测）
是定义在区间
上的函数，其导函数
的图象如图所示，则在区间
内（ ）
A．函数
有三个极值点
B．函数
的单调增区间为
C．函数
的最大值可能为
D．函数
的最小值可能为
三、填空题
5．（2026·河北承德·一模）已知函数
是增函数，则实数a 的取值范围是________．
6．（2026·江苏扬州·三模）函数
在区间
上的最大值为_________．
四、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)求不等式
的解集．
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直，求实数的值；
(2)若
，求函数
的单调区间.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数
为增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏·三模）设
上的可导函数
满足
，且
是偶函数．若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
，其中
．则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象为中心对称图形
B．
时，函数
在
上单调递减
C．对任意的实数
，
，
既没有最大值，也没有最小值
D．若
有两个不同的极值点，则
的取值范围为
三、填空题
4．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为______.
四、解答题
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
6．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·河南南阳·模拟预测）下列函数中，满足“
，当
时，都有
”的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知
，若
，则下列选项正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
D．对任意的实数，
三、填空题
3．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数
的两个极值点为
，记
，
．点
在
的图象上，满足
均垂直于
轴，设点
的横坐标为
．
（1）
______；
（2）若四边形
为菱形，则
______．
四、解答题
4．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)证明：当
时，
仅有一个零点．
(2)设
的三个零点为
，
，（
）．
（ⅰ）求的取值范围．
（ⅱ）证明：
为定值．
5．（2026·湖北黄冈·二模）设
，
．
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的最大值（用
表示）；
(3)若
有三个极值点，求
的取值范围．
