第04 讲 导数与函数的极值、最值
课程标准
学习目标
1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利
用导数求函数极值的方法；
2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值
的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问
题和解决问题的思维习惯；
3．了解函数最值的有关概念；
4．会用函数的导数求函数的最值。
1.了解函数的极大（小）值与导数的关系；
2.理解极大值、极小值的概念掌握；
3.掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值
的求法；
4.了解函数的最值与极值的区别和联系；
5.理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过
三次的多项式函数的最大（小）值的求法。
知识点01 函数的极值点、极值
1．极值与极值点的定义
（1）函数的极小值
如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极小值，记作
．
（2）函数的极大值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极大值，记作
．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时
x0是f(x)的极大值点．
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时
x0是f(x)的极小值点．
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
【解读】一般地，如果
是
的极值点，且
在
处可导，则必有
.
（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；
（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；
（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大
值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；
（4）
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。
3．求函数极值的步骤
①先确定函数
的定义域；
②求导数
；
③求方程
的解；
④检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
【解读】“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0 得x＝0，
但0 不是f(x)＝x3的极值点．
【即学即练1】（24-25 高二下·甘肃定西·阶段练习）函数
的极大值为（ ）
A．
B．0
C．e
D．1
【答案】D
【分析】求导，令
，
，可求得极大值.
【详解】因为
，令
，得
时；令
，得
，
所以当
时，函数
取得极大值
．
故选：D.
知识点02 函数的最值
1..函数最值的定义
（1）最大值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总
有
，那么称
为函数在定义域上的最大值。
（2）最小值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总
有
，那么称
为函数在定义域上的最小值。
2.对函数最值的定义理解
（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。
（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。
（3）函数
在
上连续，是函数
在
上有最大值或最小值的充分而非必要
条件。
3.函数极值与最值的关系
一般地，如果函数
在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是
某个极值点；如果函数
的定义域为
且存在最值，函数
在
内可导，那么函数
的最值点要么是区间端点
或
，那么是极值点。
【解读】求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是
在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一
的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，
并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解.
【详解】
的定义域为
，
所以当x∈(0,1)时，f ' (x)<0，
单调递减；
当x∈(1,+∞)时，
单调递增，
所以
的最小值为
．
故选：D.
知识点03 恒成立、有解问题的解法
1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在
上存在最值，
在
上存在最值：
对于任意的
，总存在
，使得
；
对于任意的
，总存在
，使得
；
若存在
，对于任意的
，使得
；
若存在
，对于任意的
，使得
；
对于任意的
，
使得
；
对于任意的
，
使得
；
若存在
，总存在
，使得
若存在
，总存在
，使得
．
【即学即练3】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
，若
在函数定义域内恒
成立，则k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】参变分离，后构造新函数，转化为导数来求函数最值即可.
【详解】 由题意得
在函数定义域内恒成立，
即
在函数定义域内恒成立，即
在函数定义域内恒成立，
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，函数
取得最大值，此时最大值为
，
所以实数k 的取值范围是
．
故答案为：
题型01 函数极值点的辨析
【典例1】（24-25·吉林·高二检测）已知
是
的导函数，则“
”是“
是函数
的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据极值点定义或举例判断
和
为函数
的极值点之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】根据极值点的定义，
是函数
的一个极值点可得
，
但是
时，
不一定是函数
的一个极值点，
比如
，
，满足
，但
在R 上单调递增，
即
不是函数的极值点，
故“
”是“
是函数
的一个极值点”的必要不充分条件，
故选：B
【变式1】（23-24 高二下·湖北孝感·阶段练习）（多选）判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极大值一定比极小值大
B．对于可导函数
，若
，则
为函数的一个极值点
C．若
在
内恒成立，则函数
在
内一定没有极值
D．一元三次函数在
上可能不存在极值
【答案】CD
【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可.
【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A 错误；
对于B：若
或
恒成立，则
无极值点，则B 错误；
对于C：
在
内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C 正确；
对于D：三次函数求导以后为二次函数，若
或
恒成立，则
无极值点，故D 选项正
确．
故选：CD．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】由极值点的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，函数
在R上单调递增，
在
和(0,+∞)上单调递增，
所以函数
在
和(0,+∞)上单调递增，没有极值点；
对于B，函数
为偶函数，
且当
时
单调递增，
所以当
时，
单调递减，
所以函数
在
处取得极小值；
对于C，易知函数
在R上单调递减，没有极值点；
对于D，函数
，则
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值.
故选：BD.
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
有2 个零点
B．若
，则
在
上既有极大值，又有极小值
C．若
，则
在
上没有极值
D．若
，则
在
上必有极小值
【答案】AD
【分析】根据零点定义计算求解判断A,求导函数正负得出函数的单调性进而判断极值判断B,构造函数设
求出导函数再确定函数的单调性分
两种情况分别数形结合判断C,D.
【详解】对于A，若
，则
,令
，则
或
，故A 正确．
对于B，当
时，
，则
,令
，得
．
当
时，f
′ (x)<0，
单调递减；当
时，f
′ (x)>0，
单调递增．
所以
在(0,+ ∞)上只有极小值，没有极大值，故B 错误;
对于C，
．
设
，则
．
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
当x∈(0,+∞)时，
，
单调递增,又当
时，
，且
恒成立，
所以
的大致图象如图（1），其与直线
可能在
上有交点，所以有可能有极
值，故C 错误．
对于D，由C 的分析知，直线
与
的大致图象如图（2），
则在(0,+ ∞)上必有交点
，在点
附近，f
′ (x)先负后正，则
先减后增，其必有极小值，故D 正确．
故选：AD．
【变式4】（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数
，
为
的导函数，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的极小值为
D．
在
上单调递增
【答案】BD
【分析】根据导数求值判断A；根据奇偶性的定义判断B；求解函数的单调性及极值判断CD．
【详解】因为
，所以
，
，故A 错误；
因为x∈R且
，
所以函数
为奇函数，故B 正确；
由
，解得
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
所以当
时，
取得极小值为
，故C 错误；
由
在
上单调递增，故D 正确．
故选：BD．
题型02 导函数图象与极值的关系
【典例2】（24-25 高二下·北京·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
（ ）
A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
【答案】A
【解析】由导函数图像可知：
导函数
在
上小于0，于是原函数
在
上单调递减，
在
上大于等于0，于是原函数
在
上单调递增，
所以原函数在
处取得极小值，无极大值，故选：A.
【变式1】（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
为连续可导函数，
的图像如
图所示，以下命题正确的是（ ）
A．
是函数的极大值 B．
是函数的极小值
C．
在区间
上单调递增 D．
的零点是
和
【答案】B
【解析】因为
，
由图可知：
，
；
或
，
；
且
或
，
；
，
；
可得
或
，
；
，
；且函数
为连续可导函数，
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
可知
有且仅有一个极小值
，无极大值，故AC 错误，B 正确；
由于不知
的解析式，故不能确定
的零点，故D 错误；故选：B.
【变式2】（23-24 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增 B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
处取得极大值 D．函数
有最大值
【答案】BC
【解析】由题意可知：当
时，
（不恒为0）；
当
时，
；
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增.
可知：A 错误；B 正确；
且函数
在
处取得极大值，故C 正确；
虽然确定
的单调性，但没有
的解析式，故无法确定
的最值，故D 错误；故选：
BC.
【变式3】．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数y = f (x)的导函数y = f
′ (x)图像如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是极大值点
C．
在区间
内一定有
个极值点
D．
的图像在点
处的切线斜率等于
【答案】C
【分析】根据函数
的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的
定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由函数
的图象，可得当
时，
，
所以函数
在区间
为单调递增函数，所以
，所以A 错误；
对于B 中，由A 知，函数
在区间
为单调递增函数，
因为
，所以
不是函数的极值点，所以B 错误；
对于C 中，由函数
的图象，当
时，
；
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点，所以C 正确.
对于D 中，由函数
的图象，可得
，
所以函数
的图象在点
处的切线的斜率大于0，所以D 不正确；
故选：C.
【变式4】（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数
的部分图象如图所示，
为函数
的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项.
【详解】A.由导数的几何意义可知，
，由图可知，
，所以
，故A 成立；
B.
，故B 成立；
C.由图可知，
，
，但不确定
与
的大小关系，故C 不一定成立.
D.由图可知，函数在
上单调递增，且增长速度越来越快，所以
，故D 成立.
故选：C
题型03 求不含参函数的极值
【典例3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值.
【详解】由题知函数
的定义域为
，
则
.
令
，得
（
舍去）.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以函数
的极小值为
.
故选：A
【变式1】（24-25 高三上·江苏南通·期中）函数
的极大值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．4
【答案】D
【分析】求函数
的导数，求解
以及
，得到函数
的单调区间，判断极大值点代
入，从而求出极大值.
【详解】解：
，
令
，则
，令
，则
或
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极大值
.
故选：D
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
的极大值点为
C．
的极小值为
D．
的极大值为
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值进行判断.
【详解】函数
的定义域为
，且
.
当
变化时，
的变化情况如下表：
3
0
0
增
极大值
减
极小值
增
所以函数
有两个极值点
，
函数
在
处取极大值
，
为极大值点，在
处取极小值
，为极小值点.
故选：AB
【变式3】（23-24 高三上·广东东莞·阶段练习）若函数
，则
的极大值点为
.
【答案】2
【解析】
，
令
，解得
或6，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
取得极大值，故极大值点为2.
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极大值与极小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对原函数求导
，再解出极小值和极大值，求和
即可.
【详解】由题意知：
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，所以
的极大值为
，
极小值为
，故
.
故选：D.
题型04 求含参函数的极值
【典例4】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)求函数
的极值.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(2)答案见解析
【分析】（1）求定义域，求导，利用导函数的正负求单调区间；
（2）求定义域，求导，对
进行分类讨论，求出不同情况下的极值.
【详解】（1）当
时，
，定义域为(0,+∞)，
则
.
令f
′ (x)>0，得
或
；
令f
′ (x)<0，得
，
所以函数
的单调递增区间为
，
单调递减区间为(
1
2 ,1).
（2）函数
，定义域为(0,+ ∞)，
则
.
令
，得
或
.
①当
时，
，
易得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，为
，
在
处取得极小值，为
；
②当
时，
，
易得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，为
，
在
处取得极小值，为
；
③当
时，
，则
恒成立，
故函数
在(0,+ ∞)上单调递增，无极值.
综上，当
时，
的极大值为
，极小值为
；
当
时，
的极大值为
，极小值为
；
当
时，
无极值.
【变式1】（24-25 高三上·河南·期中）已知向量
，
.若存在不同时为零的实数
和，
使得
，
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求（1）中的
在
上的极值.
【答案】(1)
；
(2)当
，
没有极大值，也没有极小值；当
，
有极小值为
，没有极大值.
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得答案；
（2）利用导数判断出
的单调性，分
、
讨论，结合单调性可得答案.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
；
（2）由（1）得
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递增，在
上单调递减，
由题可得
，
当
时，
在
上单调递减，
所以
没有极大值，也没有极小值；
当
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
时有极小值，为
，没有极大值.
综上所述，当
，
没有极大值，也没有极小值；
当
，
有极小值为
，没有极大值.
【变式2】（24-25 高三上·山东济南·期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
（ⅰ）求
的极值；
（ⅱ）若
的极小值小于0，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）极小值
，无极大值；（ⅱ）
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值；
（ⅱ）分析可得
，构造函数
，
，解法一利用导数判断函数
的单
调性，解法二根据
，
在
内均单调递增得到函数
的单调性，再根据
求
解即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
；
（2）（ⅰ）因为
的定义域为
，且
，
令
，解得
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值；
（ⅱ）由题意可得：
，
因为
，所以
，
构建
，
，
因为
，所以
在
内单调递增，
因为
，不等式
等价于
，解得
，
所以
的取值范围为
.
解法二：
由题意可得：
，即
，
构建
，
，
因为
，
在
内均单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以
的取值范围为
.
【变式3】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设函数
，讨论
的单调性并
判断
有无极值，若有极值，求出
的极值．
【答案】答案见详解
【分析】求出
，令
，解得
或
，通过对
的大小讨论即可得到其单调区间，
进而求得极值.
【详解】
当
时，
，
所以函数
在R 上是增函数，无极值；
当
时，令
，解得
或
，
不妨令
（
是
与
中较小的一个，
是较大的一个），
列表如下：
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
当
，即
时，取
，其单调区间如表所示，
极大值为
，极小值为
．
当
，即
时，取
，其单调区间如表所示，
极小值为
，极大值为
．
【变式4】（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由斜截式得到切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分
、
、
、
四种情况讨论，分别求出函数的单
调区间，即可求出函数的极大值.
【详解】（1）当
时
，则
，
，
所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，且
，
当
时
恒成立，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
处取得极小值，不存在极大值；
当
时，令
，解得
或
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
所以
的极大值为
；
当
时
恒成立，所以
在
上单调递增，
则
不存在极大值；
当
时，令
，解得
或
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
所以
的极大值为
；
综上所述，当
或
时
不存在极大值；
当
时
的极大值为
；
当
时
的极大值为
.
题型05 根据函数的极值求参数
【典例5】（24-25 高二下·全国·随堂练习）函数
在
处有极小值
，则
的
值等于（ ）
A．0
B．6
C．3
D．2
【答案】A
【分析】对
求导，得到
，由题知
，解得
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
由题知
，解得
，
此时
，
由
，得到
或
，由
，得到
，
所以
的增区间为
，
，减区间为
，
故
满足题意，所以
，
故选：A.
【变式1】（23-24 高二上·天津滨海新·期中）函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．6
【答案】A
【分析】对函数求导，利用
以及
解出
，进而得出答案．
【详解】由题意得
，因为
在
处有极小值
，
所以
，解得
，
所以
，
令
，解得
或
，
故函数
在(1,+ ∞)和
上为增函数，
令
，解得
，
故函数
在
上为减函数，
所以
在
处有极小值，符合题意，
所以
，
故选：A.
【变式2】（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
有极值
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】先求出函数
的导函数；再求出极值点，代入函数
解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数
的定义域为
，
.
令
，得
；
令
，得
.
所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增.
则
是函数
的极小值点，
故
，解得
.
故选：B
【变式3】（23-24 高三上·广东潮州·期末）若函数
在
上有极值，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
在
上有零点，即
在
上有实数根，利用基本不等式
求出
的最小值，可得
，再验证
是否满足即可.
【详解】
的定义域为
，
，
要函数
在
上有极值，
则
在
上有零点，即
在
上有实数根.
令
，
则
，当且仅当
时等号成立，
所以
.
当
时，
，函数
单调递增，
则函数
在
上没有极值，
故
.
故选:D.
【变式4】（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的
单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为R，且
，
若
，则
对任意x∈R恒成立，
可知
在R上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在(0,+∞)内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为(1,+∞)；
解法二：因为
的定义域为R，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在(0,+ ∞)内单调递增，
可知
在(0,+∞)内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为(1,+∞).
题型06 根据极值点求参数
【典例4】（24-25 高二·全国·专题练习）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导得
，则方程
在
时有两个根，利用导数研究函
数
的值域，即可得
【详解】因为
，得
，
所以
在
时有两个变号根，
令
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，且
，
当
时，
；当
时，
，
所以
与y = g(x)，所以
，
故选：B
【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数
在区间
上有极值点，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解.
【详解】已知
，由题意知
在
内有变号零点，
显然
在(0,2)单调递增，
故原条件等价于
，解得
，
故实数a 的取值范围是
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）若
是函数
的一个极值点，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】A
【分析】求导，根据极值点的定义直接求值，并代入检验.
【详解】由
，得
，
依题意可得
，解得
，
当
时．
，
，
令
，解得
，
列表
单调递增
极大
值
单调递减
单调递减
极小值
单调递增
所以
在
处取得极小值，
故选：A.
【变式3】（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知函数
，则“
有极值”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求出导函数，再求出
有极值时
的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】
，若
有极值，则
有两个不相等的实数根，
，解得
；
反之，
时，
有两个不相等的实数根，
有极值.
所以“
有极值”是“
”的充要条件.
故选：C.
【变式4】（24-25 高二下·全国·课后作业）写出“使得函数
在区间
上有唯一极
值点”的整数
的一个值 ．
【答案】
（或
）
【分析】问题转化为
在区间
有且只有一个变号零点，再结合“对钩函数”的单调性分析及端
点处函数值的大小和符号，求出
的取值范围即可.
【详解】由题意可转化为
在区间
有且只有一个变号零点，
在区间
上单调递减，在
内单调递增，
又知
，故只需
，解得
，
所以
的取值可以为
或
．
故答案为：
（或
）
题型07 函数极值与最值的辨析
【典例7】（24-25 高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值
C．若
在
上有极大值，则极小值一定是在
和
处取得
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值
【答案】D
【分析】根据函数极值与最值的关系可判断.
【详解】函数
在
上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，
而在
上一定存在最大值和最小值，所以ABC 错误，D 正确.
故选：D.
【变式1】（24-25 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数f（x），其导函数
的大致图象如图所
示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数
在x＝c 处取得最大值，在
处取得最小值
C．函数
在x＝c 处取得极大值，在
处取得极小值
D．函数
的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定
的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判
断.
【详解】由题图可知，当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
又a<b<c，所以
，故A 不正确．
因为
，
，且当
时，
；当c<x<e 时，
；
当x>e 时，
．所以函数
在x＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e 处取得极小值，
不一定是最小值，故B 不正确，C 正确．
由题图可知，当
时，
，所以函数
在[d，e]上单调递减，从而
，所以D
不正确．
故选：C．
【变式2】（24-25 高三·上海·随堂练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）．
A．函数
的最大值不一定是它的极大值
B．函数
的极大值可能小于它的极小值
C．函数
在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值
D．函数
在开区间不存在最大值和最小值
【答案】AB
【分析】AD 可举出反例；B 选项，画出图象，得到B 正确；C 选项，最小值可能在端点处取到，C 错误.
【详解】对于A，函数
在
上有最大值，但没有极大值，故A 正确；
对于B，函数
图像，其中一个极大值为
，一个极小值为
，
显然极大值小于极小值，故B 正确；
对于C，y = f (x)的最小值可能在闭区间的端点处取到，也可能在闭区间上的极小值点处取到，故C 不正确；
对于D，函数
在
上既有最大值，又有最小值，故D 不正确．
故选：AB
【变式3】（23-24 高二下·吉林长春·期中）已知定义在R 上的可导函数
和
的导函数f
′ (x)、
图象如图所示，则关于函数
的判断正确的是（ ）
A．有1 个极大值点和2 个极小值点
B．有2 个极大值点和1 个极小值点
C．有最大值
D．有最小值
【答案】BC
【分析】图象可知，
的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为
，则
，结合图象，利用导数判定
的单调性，即可得到极值点.
【详解】根据
的图象可得，
与
的图象有三个不同的交点，
设这些点的横坐标依次为
，满足
，其中
.
由图可知，当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递减，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递增，
当
时，
，即
，
故函数
在
上单调递减.
综上所述，函数
分别在
时取得极大值，在
时取得极小值,
即函数
有2 个极大值点和1 个极小值点,故B 项正确，A 项错误；
因
时，
的趋近值未知，
时，
的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，
但因函数
分别在
时取得极大值，
故可取
与
中的较大者作为函数的最大值，故C 项正确，D 项错误.
故选：BC.
题型08 求（不含参）函数的最值
【典例8】（2025 高三·全国·专题练习）设m 为实数，函数
，直线
是曲线
的切线，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设切点为
，写出切线方程
，化简得到
，构造函数
，利用导数求出最小值即可.
【详解】
定义域为
，
设切点为
，由
，得
，
故切线方程为
，
又直线
是曲线y = f (x)的切线，
所以
，即
．
考虑函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
故答案为：
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）函数
的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
1
【分析】求导判断函数单调性，进一步可求得函数的最值.
【详解】
，令
，令
，得
，
令
，得
或
，所以函数
在
上单调递增，
在
，
上单调递减，所以
的极小值为
，极大值为
．
又当
时，
，当
时，
，所以
的最小值为
，最大值为1．
故答案为：
，1.
【变式2】（25-26 高三上·上海·单元测试）若
是
的极值点，则
在
上
的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据题意求出参数
的值，再利用导数判断函数在
上的单调性，进而可以求出最大值.
【详解】
，依题意
，解得
此时
，
令
得
；令
得
或
所以
在
单调递减，在
和
单调递增；
所以
是
的极小值点.
因为
，所以
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增
因为
且
所以
在
的最大值为
故答案为:
【变式3】（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
，
的最大值为 .
【答案】
【分析】求得函数的导数，结合导数求得函数的极值点和极值，以及端点的函数值，即可求解.
【详解】因为
，故
的驻点为
，
，
因为
，故驻点
，
而
，
，
，
，
所以
．
故答案为：
.
【变式4】（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ 的等腰三角形，圆锥的底面半径为
，圆锥内
有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意，作出圆锥和内接圆柱的轴截面，设圆锥底面半径为，利用相似三角形求出圆锥的高，
得到圆锥的体积的表示式，
，
，利用导数，求得体积的最大值即可.
【详解】
如图，圆锥的轴截面是底角为
的等腰三角形
，圆锥的底面半径为
，则圆锥的高为
，
设圆锥内接圆柱
的底面半径为
，高为
，
由
可得，
解得
则圆柱的体积为：
，
，由
，得
，当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减.
故当
时，
.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决圆锥体积的最值问题，属于难题.
解题思路是，借助于轴截面中的相似三角形，将圆锥的体积用底面半径的解析式表示，再运用函数求导
求出其最大值.
题型09 求含参函数的最值
【典例9】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中
，求函数
在区间
上的最小值
．
【答案】
【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域
的大小关系，从而判断函数的单调性，
得到最值.
【详解】函数y = f (x)的定义域为
，
，
，
令
，得
或
（舍），
当
，即
时，当
时，f
′ (x)>0，则
在
上单调递增，
所以函数y = f (x)在区间
上的最小值为
，
当
，即
时，当
时，f
′ (x)<0，则
在
上单调递减，当
时，
f
′ (x)>0，
在
上单调递增，
所以函数y = f (x)在区间
上的最小值为
，
当
，即
时，当
时，f
′ (x)<0，则
在
上单调递减，
所以函数y = f (x)在区间
上的最小值为
，
综上
.
【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法
导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路：
首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行
讨论；
其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，
如果
都在定义域内，则讨论个零点
的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在
零点，需讨论判别式
和
分类讨论.
【变式1】（24-25·青岛·高二·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求函数
在
上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性求最值即可；
（2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
由
，得
，所以
；由
，得
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
所以
的最小值为
，无最大值．
（2）由（1）知，函数
在
上单调递减，在
单调递增，
当
，即
时，
在
单调递减，
；
当
时，即
在
单调递减，
单调递增，
．
当
时，
在
单调递增，
；
综上所述
.
【变式2】（24-25 高二下·全国·课前预习）当
时，求函数
在
上的最值．
【答案】最大值为
，最小值为
【分析】先利用导数判断函数的单调性，进而利用单调性求最值即可.
【详解】由题意得，
，
令
，得
，
．
所以，在
上f
′ (x)>0，则
在
上单调递增；
在
上f
′ (x)<0，则
在
上单调递减；
在
上f
′ (x)>0，则
在
上单调递增.
因为
，
，
，
．
所以
．
．
【变式3】（23-24 高二下·湖南益阳·期中）已知
（a 为常数）在
上有最大值3，
则此函数
在
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
【详解】由题意可知：
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
上单调递增，则
上单调递减，
则函数的最大值为
，
此时
，且
，
，
可知当
时，函数
取得最小值为
.
故选：A.
题型10 已知函数最值求参数
【典例10】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
，若函数
在
上存在最小值，则a 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】AD
【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出
的取值范围.
【详解】
，
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
或
时，
，故
在
上单调递增，
函数
在
处取得极小值，在
处取得极大值．
令
，解得
或
，
函数
在
上存在最小值，且
为开区间，
，解得
．
故选：AD.
【变式1】（2024·上海静安·二模）已知实数
，记
．若函数
在区间
上的最小值为
，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
【详解】当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
时，
取得最小值
，
解得，
．
故答案为：3．
【变式2】（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数
，在
上的最小值为
，
则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】由题有
，根据条件得到
有两根为
，
且有
，
，从而转化成求解方程，令
，将问题转化成求方程
的解，构造函数
，再利用函数的单调性及
，即可
解决问题.
【详解】易知函数
的定义域为
，
因为
，所以
，
令
，因为
在开区间
上有最小值
，
则
在
上必有两根，即有
，
又
在
上的两根为
，且
，
由
的图象可知，
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又
在开区间
上有最小值
，则必有
，且
，
令
，得到
，所以
，
整理得到
，令
，
则
，易知
在区间
上单调递减，
又
，所以，当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，所以
在
上有且只有一根
，
由
，解得
，
故答案为：
.
【变式3】（23-24 高二下·河南·阶段练习）已知
，若函数
有最小值，则实
数
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】考虑
，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合
时，若
，不合要求，若
，
在
上单调递减，进而得到不等式，求出答案.
【详解】当
时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，且
，
当
时，
，
若
，
在
上单调递增，此时
没有最小值，
若
，
在
上单调递减，
要想函数有最小值，则
，解得
，
故实数
的最大值为
.
故答案为：
【变式4】（24-25 高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x [
∈－1，2]的最大值为3，最小值为
－29，求a，b 的值．
【答案】a＝2，b＝3 或a＝－2，b＝－29．
【分析】由题设知a≠0，求出导函数，讨论a>0 或a<0，判断函数的单调性，进而确定函数的最值，由最值
即可求解.
【详解】由题设知a≠0，否则f(x)＝b 为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0 时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3．
又f(－1)＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3<f(－1)，
∴f（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2．
②当a<0 时，同理可得，当x＝0 时，f(x)取得极小值b，
也就是函数在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29．
又f(－1)＝－7a－29，f（2）＝－16a－29>f(－1)，
∴f（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2．
综上可得，a＝2，b＝3 或a＝－2，b＝－29．
【点睛】思路点睛：已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求
导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中
注意分类讨论思想的应用．
题型11 不等式恒成立问题
【典例11】（24-25 河北·衡水·高二期末）已知
，
，若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知：
，利用导数求
，根据二次函数性质求
，即可
得结果.
【详解】由题意可知：
，
因为
，则
，
注意到
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，则
，
又因为
，由二次函数性质可知
，
可得
，即实数
的取值范围是
.
故选：C.
【变式1】（25-26 高三上·上海·期末）若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值
范围为 .
【答案】
【分析】令
，
，首先利用导数说明
的单调性，即可得到
，再对
分类讨论，当
时显然成立，当
时，利用导数说明函数的单调性即可得.
【详解】令
，
设
，则
对任意的
恒成立，
所以
在
上单调递增，从而
.
①若
，则当
时，
恒成立，符合题意.
②若
，
，易知
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
.
因为
，
，所以
，
，所以
.
因为
在
上单调递增，其图象是一条连续的曲线，
且
，所以存在唯一的
，使得
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
，不符合题意，舍去.
综上，实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高二下·山东·期中）若
，则实数a 的取值范围为
【答案】
【分析】不等式
可化为
，故考虑构造函数
，利用导数
研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得
，由已知可得
，再利用导数
求得函数
的最小值，可得
的取值范围.
【详解】不等式
可化为
，
设
，则
，即
在R 上单调递增，
因为
，所以
恒成立，
根据对数函数的性质可得，
时显然不成立，所以
，
所以
，所以
恒成立.
令
，则
,
当
时
，即
单调递减；当
时
，即
单调递增.
所以
，
所以只需
，即
，又
，
所以
的取值范围为
.
故选：B
【变式3】（24-25 高二下·浙江·期中）已知
，对任意
都有
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知条件得
恒成立，构造函数
，由单调性转化为
恒成立，再次构造函数
，由其单调性及最值转化为
恒成立，从而得结
果.
【详解】因为
，即
，
令
，令
，即
，所以
，
令
，即
，所以
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
依题意有
，又
，
所以
在
恒成立，
令函数
，令
，即
，所以
，
令
，即
，所以
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，故
，
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题关键是通过已知条件转化为
恒成立，构造函数构造函数
，利用导数求其单调性并由单调性转化为
恒成立，再次构造函数
，
根据其单调性及最值可得结果.
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，函数
，若恒有
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】根据已知应用参数分离得出
，再设
，根据函数单调性得出函数最
大值即可求参.
【详解】因为
，即
，即
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
.
题型12 不等式有解问题
【典例12】（2025 高三·全国·专题练习）函数
，若存在
，使
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数求最值，进而得
的取值范围.
【详解】若存在
，使得
有解，即
．
设
，
，则
．
令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
．
故
的取值范围为
．
故选：A
【变式1】（24-25 高三·全国·专题练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围 ．
【答案】
【分析】分离参数得
，设
，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为
，由
，即
，
即
，设
，
根据题意知存在
，使得
成立，即
成立，
由
，可得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得最小值，最小值为
，所以
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高二下·天津东丽·阶段练习）已知
，
，若
，
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出
在区间
上的最小值和
在
上的最小值，由题意知
，即可
求出
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
∴当
时，
，
在区间
上单调递减，
∴
在区间
上的最小值为
；
又∵
，
∴由二次函数知识，
在
上的最小值为
，
若
，
，使
成立，等价于
，即
，
∴实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
；
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为
，
，
令f
'( x)=0，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）依题意，存在
，使得
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，因此
，
故
的取值范围为
．
【变式4】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为
，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成
在
上存在实数解问题，故可转化成求函数
在
得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当
时，
，
∴
，由f
′ (x)>0，得
，由f
′ (x)<0，得
，
所以函数
的单调增区间为
，单调减区间为
；
（2）原条件等价于：
在
上存在实数解．
化为
在
上存在实数解，
令
，
则
，
∴在
上，
，得
，故ℎ(x)在
上单调递增，
∴ℎ(x)的最小值为
，
∴
时，不等式
在
上存在实数解．
题型13 函数的零点问题
【典例13】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，求函数
在区间
上零点的个数．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)答案见解析
【分析】（1）求出导函数，利用导函数的符号得单调区间.
（2）分
和
两种情况讨论，根据函数的单调性研究零点个数.
【详解】（1）定义域为(0,+ ∞)，且
，
令
，得
．
当x 变化时，f
′ (x)，
的变化情况如下表：
x
f
′ (x)
+
0
极大值
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）由（1）可知
的最大值为
，
①当
时，
在区间(0,1)上单调递增，在区间
上单调递减．
又f (1)=0，故
在区间
上只有一个零点．
②当
时，
，
，
则
，所以
在区间
上无零点．
综上，当
时，
在区间
上只有一个零点，
当
时，
在区间
上无零点．
【变式1】（2024 高二上·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】对函数
求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的
零点个数.
【详解】
．
令
，
，则
，故
在
上单调递增．因为
，
，所以存在唯一的
，
使得
，即
，即
，所以
，
所以当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增，
所以
，
所以函数
的零点个数为1．
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选）关于函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
有两个极值点
B．
的图象关于
对称
C．
有三个零点
D．
是
的一个零点
【答案】ACD
【分析】利用函数对称性的定义可判断B 选项；利用导数与极值的关系可判断A 选项；数形结合可判断C
选项；利用三角恒等变换计算
的值，可判断D 选项.
【详解】对于B 选项，函数
的定义域为
，
，
所以，
，故函数
的图象关于
对称，故B 错误；
对于函数
，求导可得：
，
对于ACD 选项，令
，解得
，可得下表：
极大值
极小值
则
，
，
所以，函数
有两个极值点，故A 正确，
作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
有三个零点，故C 正确，
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式3】（2024 高二上·全国·专题练习）已知曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求a，b；
(2)若函数
有两个零点，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用导函数与切线斜率的关系求解；
（2）将题设等价转化为曲线
与直线
有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关
系确定函数
的图象，即可数形结合求实数m 的取值范围.
【详解】（1）
，
，
所以
,解得
.
（2）
，
函数
有两个零点，
相当于曲线
与直线
有两个交点，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
时，
取得极小值
，
又
时，
,
时，
，
所以实数m 的取值范围为
．
【变式4】（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
．
(1)求函数的单调区间；
(2)求
的零点个数．
(3)
在区间
上有两个零点，求m 的范围？
【答案】(1)
的单调减区间为
；单调增区间为
，
(2)1 个
(3)
【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；
（2）结合(1)问的单调性，求出函数
的值域，结合零点存在定理即可求解.
（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出
在区间
上的值域然后数形结合即可求解.
【详解】（1）由题可得
，
令
，解得
或
，
令f
′ (x)<0，解得
，
令
，解得
或
，
所以
的单调减区间为
；单调增区间为
，
.
（2）因为
的单调减区间为
，单调增区间为
，
，
由于
，则
在
上无零点；
由于
，则
在
上无零点；
由于
，则
在
上存在唯一零点；
综上，函数
在
上存在唯一零点.
（3）若
在区间
上有两个零点，
则函数
与
在区间
上有两个交点；
由(1)知，
在
上单调递增，
上单调递减；
，
，
，
所以函数
与
在区间
上有两个交点，则
，
即
在区间
上有两个零点，则
的范围为
一、单选题
1．（24-25 高二上·陕西西安·期末）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值为
，无极小值
B．函数
的极小值为
，无极大值
C．函数
的极大值为0，无极小值
D．函数
的极小值为0，无极大值
【答案】A
【分析】利用导数来求得
的极值.
【详解】
的定义域为
，
，
在
递增；在
递减，
所以
的极大值为
，没有极小值.
故选：A
2．（23-24 高二下·四川遂宁·期中）函数
的导函数f
′ (x)的图象如图所示，则（ ）
A．
是函数
的极小值点
B．3 是函数
的一个极值点
C．
在
处的切线的斜率大于0
D．
的单减区间为
【答案】D
【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极
值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得.
【详解】因
，当
时，
，
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
对于A，由上分析知
是函数
的极大值点，故A 错误；
对于B，由上分析知，3 不是函数
的极值点，故B 错误；
对于C，由上分析知，
，即
在
处的切线的斜率小于0，故C 错误；
对于D，由上分析知，
的单减区间为
,故D 正确.
故选：D.
3．（23-24 高二下·湖北·期中）若函数
的极小值点为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
求导后，对
分类讨论，利用函数单调性与极值点的关系即可求解.
【详解】因为
，
所以
.
若
，当
时，f
′ (x)>0，当
时，f
′ (x)<0，当
时，f
′ (x)>0，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
此时1 是
的极大值点，矛盾，故
不符合题意；
若
，则
，等号成立当且仅当
，此时
在
上单调递增，
即此时
没有极值点，故
不符合题意；
若
，当
时，f
′ (x)<0，当
时，f
′ (x)>0，当x>1时，f
′ (x)<0，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在(1,+ ∞)上单调递增，
此时1 是
的极小值点，故
符合题意；
综上所述，符合题意的
的取值范围是
.
故选：B.
4．（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
在区间
上的最大值、最小值分别为
，则
（ ）．
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】D
【分析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间和最值，进而求得答案．
【详解】因为
，函数
极值点可能为
，又
，
而
，
，
，所以
，
，
所以
，
故选：D．
5．（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
在区间
上存在最值，则实数a 的取值范
围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，结合题中条件得
即
，解不等式即得答案
【详解】因为
，
因为函数
，
在(1,2)上单调递增，
所以题中问题等价于
即
解得
，
故选：D.
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意构造函数
，得到
，表示出
，再借助导数求出
的最小值即可.
【详解】∵
，
，
∴
，
令
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
∴
，
∴
的最小值为
，
故选：B.
7．（23-24 高二下·河南开封·期末）已知函数
有两个不同的极值点
，
，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出
的范围即可.
【详解】因为函数
，所以
，
令
，由题意得
在
上2 个解
，
，
故
，解得：
，经检验适合题意；
故选：C.
8．（24-25 高二上·全国·课后作业）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用导数求出函数的最小值，由
，即可求出
的取值范围.
【详解】设
，则
恒成立，
，
，
所以，当
时，f
′ (x)<0；当x∈(0,+∞)时，f
′ (x)>0，
∴f (x)在
上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增，
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故选：B.
二、多选题
9．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
，
为奇函数
B．当
时，
单调递增
C．
，使得
恰有一个极值点
D．当
时，
存在三个零点
【答案】ABD
【分析】利用奇偶性定义判断A；利用导数得到单调性可判断B；根据极值的定义判断C；求出函数零点判
断D.
【详解】对于A 选项，函数定义域为R,
，
，
为奇函数,A
正确；
对于B 选项，当
时，
，
单调递增，B 正确；
对于C 选项，若
恰有一个极值，则
有一个解，可得
，此时
恒成
立，
单调递增，
无极值点，故不存在
，使得
恰有一个极值，C 错误；
对于D 选项，
，存在三个零点0，
，
，故D 正确.
故选：ABD.
10．（2024·全国·模拟预测）设函数
，记
的极小值点为
，极大值点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性，一一判断各选项，即可得答案..
【详解】由题知
的定义域为(0,+ ∞)，
，
令f
′ (x)<0，解得
，即
在
上单调递减，
令
，解得
或
，即
在
和
上单调递增，
又因为记
的极小值点为
，极大值点为
，
根据单调性可得
，
则
，故A 正确，B 错误；
令f
′ (x)<0，解得
，即
，故C 正确；
，故D 正确．
故选：ACD．
11．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导数，若方
程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
，
B．函数
的极大值与极小值之和为6
C．函数
有三个零点
D．函数
在区间
上的最小值为1
【答案】AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出
，
的值，可判断A 的真假；用导数分析函数的单调性，求出极
值，可判断B 的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C 的真假；求函数在区间端点处
的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D 的真假.
【详解】由题意，点(0,3)在函数
的图象上，故
；
又
.
由
，即
.故A 正确；
所以
，所以
.
由
或
.
所以
在
和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
所以
的极大值为
；极小值为
，
所以极大值与极小值之和为：
，故B 正确；
因为函数的极小值
，所以三次函数只有一个零点，故C 错误；
又
，
，
所以函数
在
上的最小值为
，故D 错.
故选：AB
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
上有极值点，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，由
在区间
上有零点，且在零点两侧导数值异号.列出不等式求解即
可.
【详解】因为函数
在区间
上有极值点，所以
在区间
上
有零点，且在零点两侧导数值异号.
①当
在区间
上只有一个符合题意的零点时，
或
或
解得
.
②当
在区间
上有两个不同的零点时，
解得
.
综上，实数
的取值范围是
.
13．（2024 高二上·全国·专题练习）已知
，
，若存在
，
，使得
成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意转化为
，转化为利用导数求
的最大值，并求二次函数
的
最大值.
【详解】因为
，
所以
.
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
所以
.
，
时，
，
若存在
，
，
使得
成立，只需
即可，
所以
的取值范围为
故答案为：
14．（24-25 高三上·山东泰安·阶段练习）若函数
的图象上恰好有两对关于
轴对称的
点，则正实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意转换为关于x 的方程
有两个不等的正实数根，构造函数
，
求导函数
，得到导函数的零点，确定函数的单调区间，然后由函数零点个数确定参数的范围.
【详解】
关于y 轴对称的曲线为
，
函数
的图象上恰好有两对关于y 轴对称的点，
关于x 的方程
有两个不等的正实数根，
即函数
恰好有两个零点，
，令
，其中
，
因为
，对称轴
，
函数
在
上有一个零点，记为
，
当
，
，
；当
时，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
或
时，
，
要使函数
在
上有两个零点，则需
，即
，
又
，即
，所以
，
又函数
在
上单调递增，且
，
，
，
由
，得
，
又
，
，
，
则正实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：本题讨论函数图象上点关于
对称，通过将函数图象对称后变成函数交点个数，将两
个函数作差构造新的函数，转化成根据函数零点个数求参数问题．利用导数确定函数的单调性及最值，从
而得到不等关系即可得出结果.
四、解答题
15．（24-25 高三上·上海·期中）已知
.
(1)求函数
的导数；
(2)求函数
的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
和
,单调递减区间为
,函数的极大值为19,极小值为
.
【分析】（1）根据导数运算法则求解；
（2）令
求其解，分区间判断导数的正负，列表确定函数单调性及极值.
【详解】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
,
所以
,
令
,可得
或
,
当
变化时,
的变化情况如下表,
−2
4
3
正
0
负
0
正
单调递增
极大值19
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
,
函数的极大值为19,极小值为
.
16．（24-25 高三上·甘肃天水·阶段练习）已知
在
处取得极值.
(1)求实数
的值；
(2)求
在区间
上的最大值.
【答案】(1)1
(2)9
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得
，即可求出参数的值，再检验即可；
（2）求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，由于
在
处取得极值，
故
，即
，解得
，
经检验，当
时，
在
处取得极值，故
.
（2）由（1）得
，则
，
由
得
或
；由
得
.
故
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
所以
在区间
上的单调递增区间为
，单调递减区间为
又
，
，所以函数
在区间
上的最大值为9.
17．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最大值是
，求a 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【分析】（1）求导，根据导函数的正负，结合分类讨论即可求解，
（2）根据（1）问中函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）依题意，函数
的定义域为
，
∴
，
．
当
时，
在
上恒成立，
即函数
在
上单调递增；
当
时，令
，则
；
令
，则
；令
，则
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增；在
上单调递减．
（2）若
，由（1）可知，函数
在
上单调递增，不存在最大值，与题意不符，
∴
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴若要使得函数在
上存在最大值，则
，即
，
且此时最大值为
．
令
，解得
，
∴a 的值为
．
18．（24-25 高三上·上海松江·期中）已知函数
.
(1)求函数
在
上的单调减区间；
(2)若函数
在区间
上有且只有两个极大值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由
的取值范围求出
的取值范围，依题意可得
，解得即可.
【详解】（1）因为
，
由
，则
，
令
，解得
，
所以函数
在
上的单调递减区间为
；
（2）由
，则
，
因为函数
在区间
上有且只有两个极大值点，
所以
，解得
，
即实数
的取值范围
.
19．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)设函数
，若存在
，对任意的
，总有
成立，求实数
的取
值范围.
【答案】(1)
的单调增区间为
，单调减区间为
.
(2)
【分析】（1）先求出
，再求出其导数f
′ (x)，讨论其符号后可得
的单调区间.
（2）原不等式等价于
，利用导数可求
，利用二次函数的性质可得
，从而得
到
的取值范围.
【详解】（1）
，
令
，则
，故
且
.
当
时，f
′ (x)>0，故
在
为增函数；
当
时，f
′ (x)<0，故
在
为减函数.
故
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（2）
，
因为
，故
，
所以
在
上为增函数，故
，
图像的对称轴为
，
故当
时，
.
因为存在
，对任意的
，总有
成立，
故
，即
，故
