文档文本内容
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2.2.2 不等式的解集
课程标准
学习目标
1、掌握不等式组的解集.
2、掌握用绝对值不等式的解法.
1、绝对值不等式的本质与去绝对值符号的原则.
2、借助数轴理解绝对值不等式，是数形结合.
3、掌握不等式组和绝对值不等式的运算法则，选择
相对应的运算方法。
知识点01 不等式(组)的解集
一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的
解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
注：(1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质．
(2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集．
(3)不等式的解与解集的区别与联系
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所
有值，不等式的解是不等式解集中的一个；
②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式
的解。
(4)不等式组中若有一个不等式的解集为
，则不等式组的解集是
；每一个不等式的解集均不是
，
2
不等式组的解集也可能是
.
【即学即练1】（2024·福建厦门·高一厦门一中校考开学考试）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式（1），得 .
（2）解不等式（2），得 .
（3）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解为 .
知识点02 绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|>3，|x－1|≤2 都是绝对值不等式．
注：①数轴上表示数a 的点与原点的距离称为数a 的绝对值，记作|a|.
②绝对值不等式|x|>m(m>0)的几何意义为数轴上与原点的距离大于m 的点．
（2）绝对值不等式的解集
①当m>0 时，关于x 的不等式|x|>m 的解为x>m 或x<－m，因此解集为
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
②关于x 的不等式|x|≤m 的解为－m≤x≤m，因此解集为[－m，m].
【即学即练2】（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）求下列绝对值不等式的解集：
（1）
（2）
．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）解下列不等式：
（1）
；
（2）
.
知识点03 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
一般地，如果实数a，b 在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB 的长为AB＝|a－
b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
如果线段AB 的中点M 对应的数为x，则由AM＝MB 可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a<b 时，有a<x<b，
3
从而x－a＝b－x，所以x＝.
当a≥b 时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上
，
两点的坐标分别为
，
，则
为
（ ）.
A．0
B．
C．
D．
知识点04 绝对值不等式解集的几何意义
不等式
解集的几何意义
数轴上与原点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与原点的距离大于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离大于
的所有数的集合
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上，
．
（1）若A 与C 关于点B 对称，求x 的值；
（2）若线段
的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围．
难点：求含参一元一次不等式（组）的解集
示例：已知关于x 不等式≥1－(a 为常数)，当a＝4 时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4 的解集相同，
求b 的值．
【题型1：一元一次不等式(组)的解法】
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（一）求一元一次不等式(组）的解集
例1．（2024·上海·高一专题练习）不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集：
（1）3x>2x-6； （2）
变式2．（2024·高一课时练习）解不等式组
.
变式3．（2024·高一课时练习）解不等式组
变式4．（2024·上海·高一专题练习）不等式组
的解集为 .
变式5.（2024·高一课时练习）设不等式组
的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6.（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考开学考试）在一元一次不等式组
的解集中，整
数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（二）求含参一元一次不等式（组）的解集
例2.（2024·高一课时练习）关于x 的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是（ ）
A．可能为∅
B．可能为R
C．可能为(
1
a ,+∞)
D．可能为(−∞, 1
a)
变式1．（2024·上海奉贤·高一校考阶段练习）设
，解关于
的不等式
，下列说法正确的是
（ ）
5
A．该不等式的解集为
；
B．该不等式的解集为
；
C．该不等式的解集可能为
；
D．该不等式的解集不可能为
.
变式2.（2024·全国·高一专题练习）不等式组¿有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．−1<a<3
B．a<−1或a>3
C．−3<a<1
D．a<−3或a>1
变式3.（2024·全国·高一专题练习）设m 为实数，解关于x 的不等式m( x +2)< x +m.
变式4.（2024·浙江绍兴·高一校考开学考试）若
，则关于
的不等式组
，整数解的
个数是
【方法技巧与总结】
1.解一元一次不等式（组）的基本步骤
(1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3 时不等号的方向是否改变．
(2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定
它们的交集，最后写出不等式组的解集．
2.求解含参不等式的问题，一定要讨论x 的系数的取值范围
【题型2：含有一个绝对值号不等式的解法】
例3．（2023 春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
变式1．（2024·高一课时练习）求下列绝对值不等式的解集：
（1）
（2）
．
变式2．（2023 春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题
，命题
，则
A 是B 的什么条件（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．非充分非必要条件
变式3．（2024·全国·高一专题练习）不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
且
D．
或
变式4.（2024·广西钦州·高一校考开学考试）不等式
的解为 .
变式5．（2024·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2 恒成立，则实数m 的取值范围是
．
变式6．（2024·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式
成立的充分非必要
条件是
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2024·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）不等式
的解集为
．
【方法技巧与总结】
绝对值不等式的常见类型及其解法
(1)如果c>0，那么|x|<c⇔－c<x<c，|x|>c
x<
⇔
－c 或x>c.
注：含绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解法
①|x|<a⇔
(2)|x|>a⇔
(2)如果c>0，那么|ax＋b|<c⇔－c<ax＋b<c，|ax＋b|>c
ax
⇔
＋b<－c 或ax＋b>c.
(3)形如n<|ax＋b|<m(m>n>0)的不等式等价于⇔n<ax＋b<m 或－m<ax＋b<－n.
(4)求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法
(5)求形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．
(6)求形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法
①等价转化法：
|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，
|f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或f(x)>g(x)．
(这里g(x)可正也可负)
②分类讨论法：
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|f(x)|<g(x)⇔或
|f(x)|>g(x)⇔或
【题型3：含有两个绝对值号的不等式的解法】
例4．（2024·高一课时练习）请写出一个满足不等式
的
值： .
变式1．（2024·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）解下列不等式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
变式3．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3 的最小整数解是（ ）
A．0
B．－1
C．1
D．2
变式4．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）．
A．充分不必要条件；
B．必要不充分条件；
C．充要条件；
D．既不充分也不必要条件．
变式5．（2023 春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围．
【方法技巧与总结】
(4)对于形如|x－a|＋|x－b|>c 和|x－a|＋|x－b|<c 的不等式，一般以x＝a，x＝b 为分界点，将数轴分为几
个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值的不
等式．
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【题型4：根据不等式的解集求参数】
例5.（2024·全国·高一专题练习）若1 是关于
的不等式
的解，则实数
的取值范围是 .
变式1．（2024·高一单元测试）不等式组
的解集是
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组
解为
，
则
的值为 .
变式3．（2024·高一课时练习）如果不等式组
的解集是
，那么
的值为 .
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式组
的解集是(5，22)，则a＝
，b＝ .
变式5.（2024·高一课时练习）已知关于x 的不等式
的解集为
，则
．
变式6.（2024·上海·高一专题练习）设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组
的解集中有且
仅有4 个整数，则a 的取值范围是 .
【题型5：数轴上两点间的距离及中点坐标公式】
例6．（2024·全国·高二专题练习）已知数轴上，
，求线段
的长以及线段
的中点M 的坐
标．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点
，
，则在数轴上满足条件
的点
的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）在数轴上，已知
，
，原点
为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）设数轴上点A 与数3 对应，点B 与数x 对应，已知线段
的中点到
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原点的距离不大于5，求x 的取值范围．
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知数轴上三点
，
，
.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数
的值；
（2）若
中点到线段
中点的距离大于1，求实数
的取值范围.
【方法技巧与总结】
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相
应点的坐标；
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
一、单选题
1．（2024 高一上·辽宁抚顺·期中）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高一·全国·专题练习）足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加
油，现有A、B 两个出租车队，A 队比B 队少 3 辆车.若全部安排乘A 队的车，每辆车坐 5 人，车不够，
每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有
的车未坐满.则A 队有出租车（ ）
A．11 辆
B．10 辆
C．9 辆
D．8 辆
3．（2024 高一上·重庆·期中）不等式组
的解集为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于x 的不等式组
的整数解共有4 个，则a 的最小值为
（ ）
10
A．1
B．2
C．2.1
D．3
5．（2024 高一上·上海普陀·期中）不等式
＜
的解集是（ ）
A．(－7，+∞)
B．(－∞，7)
C．(－7，3) (3
∪
，+∞)
D．(－∞，3) (3
∪
，7)
6．（2024 高一·全国·专题练习）已知命题
，命题
，则A 是B 的什么条件
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
7．（2024 高一上·湖南长沙·期中）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
8．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）不等式
的最小整数解为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 高一·全国·课后作业）已知
时，
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[5,+ ∞)
10．（2024 高三上·河南信阳·阶段练习）已知不等式
成立的一个必要不充分条件是
，
则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2024 高一·安徽宣城·强基计划）直线
经过
，
两点，则不等式
的解集为
12．（2024 高一上·全国·课前预习）数轴上的中点坐标公式：一般地，如果实数a，b 在数轴上对应的点分
别为A，B，即A（a），B（b），如果线段AB 的中点M 对应的数为x，则x= .
13．（2024 高一上·上海·期中）若关于
的不等式组
的解集非空，则满足条件的最大整数
.
14．（2024 高一上·上海宝山·期中）若关于
的不等式
解集为
，则关于
的不
等式
的解集为 .
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15．（2024 高一上·浙江绍兴·开学考试）若
，则关于
的不等式组
，整数解的个数
是
16．（2024 高一上·上海·期中）已知关于
的不等式
恰有3 个整数解，则实数
的取值范围
是 .
17．（2024 高一上·上海黄浦·期中）若“
”是“
”的充分非必要条件，则实数
的取
值范围是 ．
三、解答题
18．（24-25 高一上·上海·随堂练习）解关于
的不等式
，其中
．
19．（2024 高二下·河南郑州·期中）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集．
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（2024·陕西榆林·模拟预测）已加
．
(1)解不等式
；
(2)令
，若
的图象与
轴所围成的图形的面积为
，求实数
的值．
21．（2024 高一·全国·课后作业）如果关于
的不等式组
的解集
，且关于
的分式
方程
有非负数解，则所有符合条件的整数
的值之和是
A．
B．0
C．3
D．5
22．（2024 高一·全国·课后作业）为了抓住某艺术节的商机，某商店决定购进A，B 两种艺术节纪念品．若
购进A 种纪念品8 件，B 种纪念品3 件，需要950 元，购进A 种纪念品5 件，B 种纪念品6 件，需要800 元．
（1）求购进A，B 两种纪念品每件分别需要多少钱；
（2）若该商店决定购进A，B 两种纪念品共100 件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品
的资金不少于7500 元，但不超过7650 元，则该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20 元，每件B 种纪念品可获利润30 元，在第（2）问的各种进货方
案中，哪一种方案可获利润最大？最大利润是多少元？
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23．（2024 高一·全国·课后作业）对x，y 定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝
(其中a，b 均为非零
常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝
＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝
1.
（1）求a，b 的值；
（2）若关于m 的不等式组
恰好有3 个整数解，求实数p 的取值范围．
