文档文本内容
7.3.1 正弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1 ）掌握
的周期性、奇偶
性、单调性和最值；
（2）会用正弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题；
（3）会利用五点作图法画出正弦函数的图象。
（1）了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点
法”“几何法”作出正弦函数的图象，重点提升
直观想象核心素养；
（2）理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周
期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象
与性质解决相关问题，重点提升数学运算核心素
养。
知识点01 正弦函数的性质
1、定义域与值域：定义域为
，值域为
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
2、奇偶性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
3、周期性：对于函数y=f ( x)，定义域为I，当x∈I 时，都有f ( x+T )=f ( x)，其中T 是一个非零的
常数，则y=f ( x)是周期函数，T 是它的一个周期；对于一个周期函数
，如果在它的所有周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小整数就称为
的最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周
期；函数
的最小正周期为
.
4、单调性：在
上单调递增，在
上单调递减（k ∈Z ）；
5、正弦函数的零点：正弦函数
的零点是
【即学即练1】（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
轴对称 D．
的值域为
【答案】AD
【解析】对于A 中，由正弦型函数的性质，可得
的最小正周期为
，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以
不是奇函数，所以B 错误；
对于C 中，由
不是函数
的最值，
所以
的图象不关于
轴对称，所以C 错误；
对于D 中，由
，可得
，
所以函数
的值域为
，所以D 正确.故选：AD.
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程
；对称中心
（k ∈Z ）
3、五个关键点：
,
,
,
,
4、注意事项：（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平
滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练3】（2023·高一课时练习）利用“五点法”作出函数
的简图.
【答案】简图见解析
【解析】取值列表：
0
0
1
0
－1
0
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示.
【题型一：五点作图法画正弦函数图象】
例1．（2024·全国·高一专题练习）用“五点法”作出下列函数
，
的简图：
【答案】作图见解析
【解析】列表
0
0
1
0
0
0
描点，连线，如图所示：
变式1-1．（2023·河南·高一校考阶段练习）用五点法作出函数
在一个周期内的图象
【答案】答案见解析
【解析】列表如下
描点连线，可得函数图象如下：
变式1-2．（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数在区间
上的图象：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析
【解析】（1）按五个关键点列表：
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示
（2）按五个关键点列表：
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示
（3）按五个关键点列表：
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示
变式1-3．（2023·高一课时练习）作出函数
，
的大致图像．
【答案】图见解析
【解析】函数
，
其图如下所示：
变式1-4．（2024·高一课时练习）作出函数
的大致图像.
【答案】图象见解析
【解析】列表
x
0
0
1
0
-1
0
作图：先作出
的图像，又原函数是偶函数,图像关于y 轴对称，即可作出
的图像.
【方法技巧与总结】
“五点法”作函数
的图像
（1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数
的五点；
（2）描点：将函数
的五点在坐标系中描出来；
（3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。
【题型二：与正弦函数有关的零点问题】
例2．（2023·山东东营·高一统考期末）方程
的实数解的个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】方程
的实数解的个数为函数
与
的图象的交点个数，
如图所示：
由图可知函数
与
的图象只有一个交点，
且此时
，即方程
的实数解为
，
故方程
的实数解的个数为1，故选：A.
变式2-1．（2023·江西赣州·高一校考期中）函数
零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】画出函数
和
的图象，其中
，如图,
由图可知，
当
时，
，两函数图象没有交点；
当
时，两函数图象有3 个交点；
当
时，
，两函数图象没有交点，
综上，函数
和
的图象有3 个交点，
所以，函数
零点的个数为3．故选：C.
变式2-2．（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）设
为常数，且满足
，且
的
的值只有一个，则实数
的值为（ ）
A．0 B．1 C．1 或2 D．0 或2
【答案】D
【解析】因为
，列表：
1
0
1
2
1
描点、连线，函数图象如下图所示：
因为
，且
的的值只有一个，
所以
与
在
上只有1 个交点，
结合图象可知
或
.故选：D
变式2-3．（2022·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）已知函数
，则方程
在
的解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由
，则
或
且
，而
，
所以
，在
上有2 个解，
上无解，
所以
在
上有6 个解，则
有2 个解，
所以共有8 个解.故选：C
变式2-4．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知
，函数
在
零点的个数最大值为 ．
【答案】14
【解析】令
可得
，则有
，
设
是相邻的两个零点，则有
或
函数
在
上有且仅有两个零点，
在
上有且仅有两个零点，
在
上有且仅有两个零点，
在
上有且仅有两个零点，
在
上有且仅有两个零点，
在
上有且仅有两个零点，
因为
，
所以
在
可能没有零点，
可能有1 个零点，可能有2 个零点，不可能有3 个零点，
所以零点的个数最大值为
个，
【方法技巧与总结】
图象法研究正弦函数的零点问题的解题思路
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数
就是函数
的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则
函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【题型三：由正弦函数图象解不等式】
例3．（2024·全国·高三专题练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，解得
，故选：B．
变式3-1．（2024·北京东城·高一统考期末）已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是定义在
,
上的偶函数，当
时，
单调递减，
，
所以
时，函数单调递增，
,
所以
的解集
,
,
，
的解集
，
当
时，
的解集
,
,
，
时的解集
,
,
，
则不等式
可转化为
或
，
解得
或
或
．故选：C．
变式3-2．（2023·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）函数
的定义域为
．
【答案】
【解析】∵函数
，
∴
，得
，解得
，
∴函数的定义域为
．
变式3-3．（2023·高一课时练习）观察正弦函数的图像，可得不等
的解集为 ．
【答案】
【解析】画出
的图像如下图所示，
由图可知，不等
的解集为
.
变式3-4．（2024·重庆·高一重庆一中校考期末）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的定义域满足
，
故
，由于
，所以
，
故
，解得
，
故函数的定义域为
，故选：C
【方法技巧与总结】
用正弦函数图象解三角不等式的步骤
1、作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象；
2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【题型四：正弦函数的周期性及应用】
例4．（2023·高一课时练习）函数
的最小正周期为（ ）．
A．
B．
C．
D．没有周期性．
【答案】A
【解析】
的图象如下：
是由
位于
轴上方部分不变，下方部分沿着
轴翻折后得到，
故
的最小正周期为
.故选：A
变式4-1．（2024·高二课时练习）在下列函数中，不是周期函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由
，
的最小正周期为
；
对于B，
，
的最小正周期为
；
对于D，由，由
，
的最小正周期为
；
所以选项A,B,D 均为周期函数,故排除选项A,B,D 故选：C
变式4-2．（2019 上·江西宜春·高一上高二中校考阶段练习）下列函数的最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,
定义域为
,所以最小正周期为
.
对于B,
不是周期函数,所以B 错误.
对于C,
是将
的图像在
轴以下的部分翻折到
轴上方，
所以
的最小正周期为
.
对于D,由
的图像与性质可知
的最小正周期为
.
综上可知,最小正周期为
的是C 故选:C
变式4-3．（2024·高一课时练习）函数
的周期是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
又
．
同理，
均不是函数
的周期，所以
的周期是
．故选D
变式4-4．（2023·高一课时练习）定义在R 上的函数
既是奇函数又是周期函数，若
的最小正周
期为
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
既是奇函数又是周期函数,且
的最小正周期为
，
，
又
当
时，
，
，
.故选：D.
【方法技巧与总结】
正弦函数
的最小正周期为
，含绝对值的三角函数可利用图象变换方法画出具体的函数的图象，
从图象上判断函数的周期性。
选择题中还可根据周期函数的定义验证选项是否符合周期定义。
【题型五：正弦函数的奇偶性及应用】
例5．（2023·山东滨州·高一校考阶段练习）下列函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，选项中函数的定义域为
，关于原点对称.
对于A 中，函数
，则
，
所以函数
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B 中，函数
，
所以函数
为偶函数，不符合题意；
对于C 中，函数
，
所以函数
为偶函数，不符合题意；
对于D 中，函数
，又
的定义域为R，
所以函数
是奇函数，符合题意.故选：D.
变式5-1．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项，
的定义域为R，且
，
故
为奇函数，A 错误；
B 选项，
的定义域为R，且
，
故
为奇函数，B 错误；
C 选项，
的定义域为R，
且
，故
为偶函数，C 正确；
D 选项，
的定义域为R，
且
，故
不是偶函数，D 错误.故选：C
变式5-2．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数
【解析】（1）
的定义域为R，
，
因为
，所以
为偶函数.
（2）由
得
，解得定义域为
，关于原点对称，
又
，
所以
为奇函数.
（3）由
，即
，解得
，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.
变式5-3．（2024·山东济宁·高一统考期末）若函数
是定义在
上的任意奇函数，则下列函数一定为
偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，令
，
，
故
，即
是奇函数，故A 错误，
对于B，令
，而
，
故
是偶函数，故B 正确，
对于C，令
，
，
显然当
时，
不是偶函数，故C 错误，
对于D，令
，而
，
故
，即
是奇函数，故D 错误，故选：B
变式5-4．（2023·全国·高一专题练习）若
为偶函数，则实数
.
【答案】1
【解析】函数
的定义域为
，
由函数
是偶函数，得
，
恒成立，
即
，整理得
，
于是
对
恒成立，
显然
，解得
，所以
.
变式5-5．（2023·全国·高一专题练习）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
.
【答案】2
【解析】
，
令
，易知
，
，即
为奇函数，
所以
结合奇函数性质有
.
【方法技巧与总结】
结合诱导公式化简三角函数，根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性，需注意优先考虑函数的定义域。
【题型六：利用单调性比较大小】
例6．（2022·宁夏固原·高一校考期末）（多选）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
所以
正确.
所以
正确.
所以
错误.
所以
错误.故选：AB
变式6-1．（2023·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）
，
，
的大小顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由正弦函数的单调性可知：
在
上单调递增，
又易知
，所以
.故选：B
变式6-2．（2024·湖南株洲·高一校考期末）设
，
，
，则
，
，三者的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
上单调递增，
，且
，
所以
，即
，故选：C.
变式6-3．（2023·四川眉山·高一校考期中）令
，
，判断a 与b 的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法判断
【答案】B
【解析】因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
，故选：B
变式6-4．（2022·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）若
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在
上单调递增，所以
，即
.
又因为
，所以
.
综上：
.故选：C.
【方法技巧与总结】
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，根据正弦函数的单调性确定三角函数值的大小。
【题型七：正弦函数的值域问题】
例7．（2023·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考期中）函数
最大值为（
）
A．2 B．5 C．8 D．7
【答案】A
【解析】
时，
，所以
，
所以函数
最大值为2.故选:A.
变式7-1．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数
的最大值及取最大值时x 的值分别为（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】当
，即
时，
取最大值；
当
，即
时，
取最小值；故选：D.
变式7-2．（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解法一：
因为
，所以
∴
或
，∴
或
故
的值域为
解法二：由
，得
，易知
，
所以
，则
，解得
或
故
的值域为
．故选：B．
变式7-3．（2023·高一课时练习）函数
的值域是 .
【答案】
【解析】先对函数进行化简，
然后结合正弦函数的值域，
的值域为
，故答案为：
.
变式7-4．（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知
.
（1）若
，求
在
上的值域；
（2）若
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意可知
，
令
,当
时，
由
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
令
，
由
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
所以
.
（2）由（1）可知：
，
令
，则
，
令
，
由
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
.
【方法技巧与总结】
通常将正弦函数
当做整体，可利用换元法（令
）将含有正弦函数的表达式简化，再结合
基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有：
1、形如
型：可利用正弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论
2 、形如
型：可利用换元思想，设
，转化为二次函数
求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．
3、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式
法
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考阶段练习）下列关于函数
，
的单调性的叙述，正
确的是（ ）
A．在
上单调递增，在
上单调递减
B．在
上单调递增，在
上单调递减
C．在
及
上单调递增，在
上单调递减
D．在
上单调递增，在
及
上单调递减
【答案】C
【解析】
，
当
时，函数y 单调递增；当
时，函数y 单调递减；
当
时，函数y 单调递增．故只有C 正确．故选：
2．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】C
【解析】正弦函数在
上单调递增，
，则
，
所以
时不能得到
，而
时一定有
，
“
”是“
”的必要不充分条件.故选：C
3．（2024·陕西西安·高一校联考期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】要使
有意义，需满足
，
即
，解得
，故选：A.
4．（2023·山东济南·高一济南三中校考期末）函数
的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
，所以
的最大值是2，故选：C
5．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）
的最大值为（ ）
A．
B．2 C．
D．无最大值
【答案】D
【解析】令
，则
（
且
），
当
时，
，
，
即
；
当
时，
，
，
即
；
故函数
，函数无最大值.故选：D.
6．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）方程
的实数解个数为（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】B
【解析】方程
的实数解个数，
即函数
交点的个数，
如图，作出函数
的图象，
由图可知，函数
的图象有个交点，
所以方程
的实数解个数为个.故选：B.
7．（2023·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由诱导公式知：
，
，
在
上单调递增，
，即
.故选：D.
8．（2023·高一课时练习）设
为常数，且满足
，且
的
的值只有一个，则实数
的
值为（ ）．
A． B． C．
D．或
【答案】D
【解析】因为
，列表：
描点、连线，函数图象如下图所示：
因为
，且
的
的值只有一个，
所以
与
在
上只有个交点，
结合图象可知
或
.故选：D
二、多选题
9．（2021·高一课时练习）关于正弦函数y=sin x 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．关于原点对称 B．有最大值1 C．与y 轴有一个交点 D．关于y 轴对称
【答案】ABC
【解析】正弦函数y=sinx 的图象如图所示．
根据
的图象可知A，B，C 均正确，D 错误．故选：ABC
10．（2023·全国·高一专题练习）函数
与直线
（为常数）公共点个数可能是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3 E．4
【答案】ABC
【解析】作出
的图象（实线部分），
所以函数
与直线
（为常数）公共点个数可能是0，1，2.故选：ABC.
11．（2022·广东深圳·高一校考阶段练习）若
，则m 的值可能是（ ）
A．－3 B．1 C．－2 D．5
【答案】ACD
【解析】因为
，所以
，
当
时，
，
当且仅当
，即
，即
时取等号，所以
；
当
时，
，
，即
，
当且仅当
，即
，即
时取等号，所以
；
综上：
的取值范围为
或
，故选：ACD
12．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）关于函数
，下列选项正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．
在区间
单调递减
C．
在
有3 个零点 D．
的最大值为
【答案】BD
【解析】对于A，
，
即
不是
的最小正周期，故A 错误；
对于B，当
时，
，
在区间
单调递减，故B 正
确；
对于C，当
时，
，
由此可知
在
有无数个零点，故C 错误；
对于D，注意到
，
即
是以
为周期的一个周期函数，
故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可，
由C 选项分析可知，当
时，
，
此时
，当且仅当
时，等号成立，
综上所述，
的最大值为
，故D 正确.故选：BD.
三、填空题
13．（2021·高一课时练习）函数
的最小正周期是 ．
【答案】
【解析】函数
的最小正周期
，
函数
的图象是函数
在x 轴上方的不动，
将x 轴下方的图象关于x 轴翻折得到的，
于是得函数
的最小正周期是函数
的最小正周期的一半，即
，
所以函数
的最小正周期是
.
14．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）函数
的零点个数为
．
【答案】7
【解析】依题意求函数
的零点个数，可以转化为求函数
与
的交点个数，
，
如图，对于函数
，当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
所以在
轴非负半轴上两个函数图像有4 个交点，
当
时，
；当
时，
；
所以在
轴负半轴上两个函数图像有3 个交点，
综上，函数
的零点个数为7.
15．（2023·高一课时练习）函数
的值域是 ．
【答案】
【解析】∵
，
所以
时，
，当
时，
，
所以函数
的值域是
.
16．（2023·广东广州·高一校考期末）若函数
存在最大值和最小值，记
，侧
．
【答案】16
【解析】
，令
则
，
即
为奇函数，由此
故
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
（1）
，
；
（2）
，
.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析
【解析】（1）列表：
描点、连线、绘图，如图所示.
（2）列表：
1
－1
描点连线如图.
18．（2022·高一课时练习）已知函数
.
（1）画出函数在
上的图象.
（2）这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由.
（3）指出函数的单调区间.
【答案】（1）答案见解析；（2）是周期函数，最小正周期为
（3）单调递增区间为
，单调递减区间为
【解析】（1）
.
函数在
上的图象如下：
（2）由图象，可知该函数是周期函数，最小正周期为
.
（3）由图象，可知单调递增区间为
，
单调递减区间为
.
19．（2023·全国·高一随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值范围：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
（3）
；（4）
【解析】（1）
即
，
当
时，
或
，
故由正弦函数的图象可得
解得
.
（2）
即
，
当
时，
或
，
故解得
（3）
即
，故
当
时，
或
，
故
，解得
.
（4）
即
，故
当
时，
或
，
故
，解得
20．（2024·高一课时练习）不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）
与
;
（2）
与
．
【答案】（1）
;（2）
【解析】（1）
，
，
，
在区间
上单调递增，
所以
.
（2）
，
，
，
在区间
上单调递减，
所以
.
21．（2023·北京·高一北师大二附中校考期中）已知函数
（1）求
的值；
（2）求
的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．
【答案】（1）
（2）
，
或
，
，
，
【解析】（1）
；
（2）
，
因为
，所以当
时，
，
此时
或
当
时，
，
此时
，
.
22．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知函数
.
（1）求函数
的值域；
（2）求不等式
的解集；
（3）若关于
的方程
在
恰有4 个不同的解,求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）因为函数
，
设
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
又当
时，
，
当
时，
，
所以
，即函数
的值域为
.
（2）由（1）知，
可化为
，
解得
或
（舍去），解得
，
所以
的解集为
.
（3）对于
，因为
，所以
由正弦函数的性质可知，当
或
时，
与
的图象有两个交点，
当
时，
与
的图象有三个交点，
当
时，
与
的图象只有一个交点，
对于
，由（1）可知其可转化为
，
结合（1）中
的信息作出
与
的大致图象，
要使得
在
恰有4 个不同的解，
结合图象可知，当
且
时，对应的交点横坐标满足
，
此时
与
的图象共有四个交点，满足题意；
当
时，对应的交点横坐标为
，显然不满足题意；
当
时，对应的交点横坐标满足
，
此时
与
的图象共有三个交点，不满足题意；
当
时，对应的交点横坐标为
，显然不满足题意；
综上，
.
