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第01 讲 条件概率与事件的独立性
课程标准
学习目标
1.了解条件概率的概念，掌握求条件概率
的两种方法，能利用条件概率公式解决一
些简单的实际问题；
2.结合古典概型，会利用乘法公式计算概
率，结合古典概型，会利用全概率公式计
算概率．了解贝叶斯公式；
3.理解两个事件相互独立的概念，掌握相
互独立事件同时发生的概率乘法公式.
1.掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实
际问题；
2.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公
式计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公
式与贝叶斯公式计算概率．
3.会判断事件的独立性，并能利用公式求解实际问题.
知识点01 条件概率
1.条件概率的定义
（1）一般地，当事件B 发生的概率大于0 时(即P(B)>0)，已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称
为条件概率，记作P(A|B).
（2）条件概率的求法：
（1）定义法：
；
2
（2）缩小样本空间法：
．
2．条件概率的性质
（1）任何事件的条件概率都在0 和1 之间，即0≤P(B|A)≤1．
（2）P(A|A)＝1.
（3）如果B 与C 是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
（4）设B与B 互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A).
【即学即练1】
1.（多选）下面几种概率不是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率
C．有10 件产品，其中3 件次品，抽2 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学途中遇到红灯的
概率
2.若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
知识点02 乘法公式与全概率公式
1．乘法公式
(1)公式：P(BA)＝P ( A ) P ( B | A ) ．
(2)公式的推导依据：P(B|A)＝，即根据事件A 发生的概率，以及已知事件A 发生的条件下事件B 发生
的概率，可以求出A 与B 同时发生的概率．
2．全概率公式
(1)公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(
)P(B|
)．
(2)公式的推导：
一般地，如果样本空间为Ω，而A，B 为事件，则BA 与B 是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋
)＝BA＋B
，如图所示，
从而P(B)＝P(BA＋B
)＝P(BA)＋P(B
)．
由乘法公式可得全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(
)P(B|
)．
3．全概率公式的推广
若样本空间
中的事件
，
，…，
满足：
3
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．
则对
中的任意事件
，都有
，且
．
4．贝叶斯公式(选学)
（1）定义：一般地，当
且
时，有
（2）贝叶斯公式的推广：若样本空间
中的事件
满足：
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．
则对
中的任意概率非零的事件
，都有
，
且
（3）利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算
，即
；
第二步：计算
，可利用
求解；
第三步：代入
求解．
【即学即练2】
1．已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝( )
A. B. C. D.
2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为
5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )
A．0.012 3
B．0.023 4
C．0.034 5
D．0.045 6
知识点03 独立性与条件概率的关系
1、当P(B)＞0 时，事件A 与事件B 相互独立的充要条件是P(A|B)＝P ( A ) ．
这就是说，此时事件A 发生的概率与已知事件B 发生时事件A 发生的概率相等．也就是事件B 的发生，
4
不会影响事件A 发生的概率．
2、判断事件是否相互独立的方法：
（1）定义法：事件
，
相互独立的充要条件是
．
（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当
时，可用
判断．
【即学即练3】(多选)下列说法正确有( )
A．对事件A 和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A 与B 相互独立
B．若事件A，B 相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)
C．如果事件A 与事件B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)
D．若事件A 与B 相互独立，则B 与B相互独立
题型01 条件概率的计算
角度1 公式法
【典例1】（23-24 高二下·河南·月考）从装有2 个白球、3 个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一
个球，
表示事件“两次取出的球颜色相同”，
表示事件“两次取出的球中至少有1 个是红球”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知事件A，B，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）现有4 名男生，2 名女生.从中选出3 人参加学校组织的社会实
践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）现有4 名男生，2 名女生.从中选出3 人参加学校组织的社会实
践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
角度1 缩小样本空间法
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【典例2】（23-24 高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家
庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】小赵、小钱、小孙、小李到4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4 个人去的景点不
完全相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P(B|A)＝( )
A．
B．
C．
D．
【变式3】从1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取两个数，事件
“有一个数是奇数”，
“另一个数
也是奇数”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 条件概率的性质及应用
【典例3】在一个袋子中装有10 个球，设有1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸2 个，
求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
【变式1】已知事件A，B，C 满足A，B 是互斥事件，且
，
，
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·湖北武汉·二模）设
，
为任意两个事件，且
，
，则下列选项必成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
【变式3】（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式4】A、B 是一个随机试验中的两个事件，且
，则下列错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 乘法公式的应用
【典例4】（2025 高二·全国·专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．
若第一次摸出红球的概率为
，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为
，则第一次摸出
红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知
，且
相互独立，则
（ ）
A．0.18
B．0.9
C．0.3
D．无法求解
【变式2】（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8 个球中，有2 个白球，6 个红球，每次任取一个球，
取出后不再放回，则经过2 次取球恰好将2 个白球全部取出的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·山东青岛·期中）已知事件
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·安徽合肥·一模）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查
发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某
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地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸
检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495%
B．0.9405%
C．0.99%
D．0.9995%
题型04 全概率公式的应用
【典例5】现有甲、乙两盒，甲盒中有3 个红球，2 个白球，乙盒中有2 个红球，1 个白球，先从甲盒
中采用不放回抽样取3 个球放入乙盒，再从乙盒中取1 个球，求取到的是红球的概率．
【变式1】（23-24 高二下·广东东莞·期中）袋中装有10 个球，其中3 个黑球、7 个白球，从中依次取两球
（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·江苏淮安·月考）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般
的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司
的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则
该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155
B．0.175
C．0.01
D．0.096
【变式3】（23-24 高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有
、
、
三条路线可选择，选路线
堵车
的概率为
，选路线
堵车的概率为
，选路线
堵车的概率为
，若李先生从这三条路线中等可能
的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.9
【变式4】（23-24 高二下·浙江丽水·期中）某学校有
，
两家餐厅，王同学第1 天午餐时随机地选择一
家餐厅用餐．如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为0.6；如果第1 天去
餐厅，那么第2 天
去
餐厅的概率为0.4．计算王同学第2 天去
餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24
B．0.36
C．0.5
D．0.52
题型05 贝叶斯公式的应用
【典例6】（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：
，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
称为
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的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知
三个地区分别有
的人患了流感，且这三
个地区的人口数之比是
，现从这三个地区中任意选取1 人，若选取的这人患了流感，则这人来自
地区的概率是（ ）
A．0.25
B．0.27
C．0.48
D．0.52
【变式1】某批产品来自
，
两条生产线，
生产线占
，次品率为4%；
生产线占
，次品率
为
，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自
生产线的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B 存在如下
关系：
.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患
病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试
剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取
该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占
45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
（1）求这件产品是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【变式4】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为
0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
题型06 相互独立事件的判断
【典例7】（23-24 高二上·广东·月考）现有同副牌中的5 张数字不同的扑克牌，其中红桃1 张、黑桃2 张、
梅花2 张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件
“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花
色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立
B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立
D．甲与乙相互独立
【变式1】袋内有个白球和
个黑球，从中有放回地摸球，用
表示“第一次摸得白球”，如果“第二次
摸得白球”记为
，“第二次摸得黑球”记为
，那么事件
与
，
与
间的关系是（ ）
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A．
与
，
与
均相互独立
B．
与
相互独立，
与
互斥
C．
与
，
与
均互斥
D．
与
互斥，
与
相互独立
【变式2】)下列事件中，A，B 是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2 白，2 黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20 岁”，B＝“人能活到50 岁”
【变式3】掷一枚质地均匀的骰子，记事件
“出现的点数不超过3”，事件
“出现的点数是3 或6”．
则事件A 与B 的关系为（ ）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 对立
C．事件A 与B 独立
D．事件A 包含于B
【变式4】在一次试验中，随机事件A，
满足
，则（ ）
A．事件A，
一定互斥
B．事件A，
一定不互斥
C．事件A，
一定相互独立
D．事件A，
一定不相互独立
题型07 相互独立事件的概率问题
【典例8】（23-24 高二下·江苏扬州·月考）第33 届夏季奥林匹克运动会即将于2024 年在巴黎举办，其中
游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛
和半决赛中获胜的概率分别为
和
，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和
，丙在预赛和半决赛
中获胜的概率分别为
和
．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·北京·期中）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别
为0.8 与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（
）
A．0.06
B．0.38
C．0.56
D．0.94
【变式2】（23-24 高二下·安徽·月考）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为
，且两人约定连续3 次平局时停止游戏，则第7 次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式4】甲、乙、丙3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，
甲、乙两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自能
否被选中互不影响．
(1)求3 人同时被选中的概率；
(2)求恰好有2 人被选中的概率；
(3)求3 人中至少有1 人被选中的概率．
【变式5】一个袋子中有3 个白球，2 个红球，每次从中任取2 个球，取出后再放回，求：
(1)第1 次取出的2 个球都是白球，第2 次取出的2 个球都是红球的概率；
(2)第1 次取出的2 个球1 个是白球、1 个是红球，第2 次取出的2 个球都是白球的概率．
题型08 概率的综合问题
【典例9】（23-24 高二下·江苏常州·月考）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3 个盒子，Ⅰ号盒中有2 个白球和3
个黑球；Ⅱ号盒中有2 个白球和2 个黑球；Ⅲ盒中有3 个白球和1 个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1 个球放入
Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1 个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1 个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3 个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
【变式1】（23-24 高二下·安徽·月考）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为
，
，
．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为
，若从该市中小学生中，随机抽取1 名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率；
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
【变式2】（23-24 高二下·江苏常州·月考）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：
①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第
一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；
③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则
不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为
，在三分线处投篮命中率为
，假设学生甲每次投进与否
互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·辽宁大连·期中）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概
率分别是0.6，0.8 和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达
优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·重庆·月考）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加
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一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖
品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为
，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概
率为
，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为
；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关
姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为
．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一
共获得2 枝“黑玫瑰”奖品的概率．
一、单选题
1．（24-25 高二上·湖北·开学考试）掷两枚质地均匀的骰子，设
“第一枚出现小于4 的点”，
“第
二枚出现大于3 的点”，则
与
的关系为（ ）
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．相等
2．（23-24 高二下·广东湛江·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·黑龙江大庆·阶段练习）天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是
，乙地降雨概率是
.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ）
A．0.28
B．0.42
C．0.46
D．0.56
4．（23-24 高二下·云南保山·阶段练习）已知随机事件
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·江苏南通·期末）甲箱中有2 个红球和2 个黑球，乙箱中有1 个红球和3 个黑球．先从甲
箱中等可能地取出2 个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1 个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个
红球”为
，“从乙箱中取出的球是黑球”为
，则（ ）
12
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二上·甘肃·期中）2020 年1 月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工
作的意见》（简称“强基计划），明确从2020 年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲乙两人
､
､
通过强基计划的概率分别为
，
，那么甲乙两人中恰有
､
1 人通过的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情
况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为
，但统计分析结果显示患病率为
，
医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为
，则该
地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二下·福建泉州·期末）某学校有
两家餐厅，王同学第1 天选择
餐厅就餐的概率是
，若
第1 天选择
餐厅，则第2 天选择
餐厅的概率为
；若第1 天选择
餐厅就餐，则第2 天选择
餐厅的
概率为
；已知王同学第2 天是去
餐厅就餐，则第1 天去
餐厅就餐的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知
分别为随机事件
的对立事件，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．若
，则事件
与事件
相互独立
D．若
，则
13
10．（23-24 高二下·陕西西安·期末）一个箱子中装有大小､形状均相同的8 个小球，其中白球5 个､黑球3
个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1 个球，第二次再从箱子中随机取出2
个球，分别用
，
表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用
，
表示事件“第二
次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24 高二下·河北·阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有
机会获得奖品.学校设置了3 个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子
放有2 个红球，2 个黄球，2 个绿球，黄色箱子放有2 个黄球，1 个绿球，绿色箱子放有1 个黄球，2 个绿
球.参与者先从红色箱子中随机抽取1 个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中
随机抽取1 个小球，如此重复，抽取3 个小球，抽奖结束.若抽取的3 个小球颜色全不相同为一等奖，3 个
小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为
B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为
C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为
D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
三、填空题
12．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且
，
，则
的一个可能的值为 ．
13．（24-25 高二上·广东广州·阶段练习）某专业技术的考试共两个单项考试，考生应依次参加两个单项考
试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考.据调查，这两项
考试的合格率依次为
，
，且各项考试是否通过互不影响，则一位考生通过这项专业技术考试至多需要
补考一次的概率为 .
14．（24-25 高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全
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厂的
、
、
，如果各车间的次品率依次为
、
、
.现在从待出厂产品中检查出个次品，
则它是由甲车间生产的概率是 ．
四、解答题
15．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4 人，女生2 人
(1)若安排这6 名同学站成一排照相，要求2 名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若从中挑选2 人参加学校举办的文艺汇演活动，
①求男生甲被选中的概率；
②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
16．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占
该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转
站随机运送一件快递．
(1)求客户满意的概率；
(2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
17．（23-24 高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3 个白球和2 个红球，乙袋中有2 个白球和3 个红球.先随机
取一只袋，再从该袋中先后随机取2 个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
18．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为了迎接学校百年华诞，学生们积极报名参加志愿者活动，
为此学生会在报名的学生中组织了志愿者面试活动，面试有两道题，两道题都答对者才能成为志愿者．假
设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生报名并进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是
，答对第二题的概率分别是
．
(1)求甲同学能通过面试成为志愿者的概率；
(2)求甲、乙两位同学生中有且只有一位学生能通过面试成为志愿者的概率；
(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过面试成为志愿者的概率．
19．（24-25 高二上·吉林长春·期中）班级组织象棋比赛，共有16 人报名，现将16 名同学随机分成4 组且
每组4 人进行单循环比赛，规则如下：每场比赛获胜的同学得3 分，输的同学不得分，平局的2 名同学均
得1 分，三轮比赛结束后以总分排名，小组总分排名前两位的同学获奖．若出现总分相同的情况，则以抽
签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人获胜的概率均为
．若甲、乙、丙、丁4
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位同学分到一组且赛程如下表．假设甲、乙、丙3 名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为
．丁
同学与任意一名同学比赛时胜、负、平的概率分别为
．每场比赛结果相互独立．
第一轮
甲—乙
丙—丁
第二轮
甲—丙
乙—丁
第三轮
甲—丁
乙—丙
(1)求丁同学的总分为5 分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2 名同学是平局，求甲同学获奖的概率.
