1
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
1.2.2 空间中的平面与空间向量
课程标准
学习目标
1.理解平面的法向量
2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平
行关系
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的
一些定理
1.了解空间向量的有关概念
2.掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向
量的概念
知识点01 平面的法向量
1.平面的法线
与平面垂直的直线叫作平面的法线。
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方
向”。
2.平面的法向量：如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记
作n⊥α，此时，我们把向量n 叫作平面α 的法向量.
注意：
（1）平面α 的一个法向量垂直于平面α 内的所有向量.
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
3.平面法向量的性质
2
（1）如果直线垂直于平面α，则直线l 的任意一个方向都是平面α 的一个法向量.
（2）如果n 是平面α 的一个法向量，则对任意的实数λ ≠0，空间向量λn 也是平面α 的一个法向量，而且
平面α 的任意两个法向量都平行
（3）如果n 为平面α 的一个法向量，A 为平面α 上一个已知的点，则对于平面α 上任意一点B，向量⃗AB
一定与向量n 垂直，即 ⃗AB∙n=0，从而可知平面α 的位置可由n 和A 唯一确定.
【即学即练1】（22-23 高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面
内有一点
，平面
的一个法向量
为
，则下列四个点中在平面
内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即学即练2】（23-24 高二上·吉林延边·期末）已知平面
的一个法向量为
，直线的方向向
量为
，若
，则实数
（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点02 直线与平面的位置关系
如果v 是直线l的一个方向向量，n 是平面α 的一个法向量
（1）n// v ⟺l⊥α
（2）n⊥v ⟺l //α ，
l
或⊂α
【即学即练3】（23-24 高二下·甘肃·期中）已知平面α外的直线l的方向向量为⃗v =(1,0,2)，平面α的一个
法向量为⃗n =(6,1,−3)，则（ ）
A．l与α斜交
B．l⊥α
C．l //α
D．⃗v //⃗n
【即学即练4】（23-24 高二上·山东济南·阶段练习）直线l的方向向量⃗a =(1,2,3)，平面α的一个法向量⃗
n=(k −1,k ,k +1)，若l⊥α，则k =（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
知识点03 平面与平面的位置关系
如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量：
（1）n1⊥n2 ⟺α1⊥α2；
3
（2）n1//n2 ⟺α1//α2,或α1与α2重合
【即学即练5 】（22-23 高二下· 江苏连云港· 阶段练习）已知平面α , β的法向量分别为⃗
a=（1，−1,2）,⃗n=（5，−1,−3），则这两个平面的位置关系为（ ）
A．平行
B．相交但不垂直
C．相交垂直
D．不能确定
【即学即练6】（2024 高三·全国·专题练习）已知平面α 内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α 的
一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ .
难点：空间中的动点问题
示例1：（23-24 高二上·重庆·期中）如图，设ABCD−A1B1C1 D1为正方体，动点P在对角线B D1上，记
|D1 P|
|D1B|
= λ．
(1)证明：AP⊥B1C；
(2)当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
4
【题型1：直线的方向向量】
例1 ．（23-24 高二上·山西·阶段练习）已知直线l 的一个方向向量⃗m=(3,−2,1)，且直线l 经过
A (a,2,−1)和B (−2,3,b)两点，则a+b=（ ）
变式1．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1，E，F，G
分别为AB，C D1, AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
变式2．（23-24 高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点A (2,3,2),B (−1,0,−1)，下列向量中是该直线
的方向向量的为（ ）
A．⃗a=(−1,1,1)
B．⃗a=(1,−1,1)
C．⃗a=(1,1,−1)
D．⃗a=(1,1,1)
变式3．（23-24 高二上·陕西咸阳·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是⃗m=(1,−2,3)，⃗n=(2,1,0)，
这两条异面直线所成的角为（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
变式4 ．（23-24 高二上· 湖北孝感· 期末）如图，在空间直角坐标系D−xyz中，正四棱柱
ABCD−A
' B
'C
' D
'的底面边长为4，高为2，O 为上底面中心，E，F，G 分别为棱AD、AB、C
' D
'的中
点.若平面OEF与平面OBG的交线为l，则l 的方向向量可以是（ ）
A．(2,1,−1)
B．(2,−1,1)
C．(2,1,−2)
D．(2,−1,2)
变式5．（2024 高二上·全国·专题练习）若直线l1,l2
的方向向量分别为⃗a=(1,2,−2),⃗b=(−2,3,2)，则
（ ）
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1,l2相交但不垂直
D．不能确定
变式6．（多选）（23-24 高二上·广东江门·期末）如图，在四面体ABCD中，E，F ，G，H分别是
AB，BC ，CD，DA的中点，M是EG和FH的交点，O为空间中任意一点，则（ ）
5
A．E，F ，G，H四点共面
B．⃗EG⋅⃗FH =0
C．⃗EH为直线BD的方向向量
D．⃗OM = 1
2 (⃗OA +⃗OB+⃗OC +⃗OD)
变式7 ．（多选）（23-24 高二上· 河南焦作· 期中）已知空间直角坐标系O−xyz中，点
A (1,0,1),B (−1,−1,2),C (0,1,2)，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的一个方向向量的坐标为(2,1,−1)
B．直线AC与平面xOy的交点坐标为(2,1,0)
C．点B关于平面yOz的对称点为B
' (1,−1,2).
D．∠BAC为钝角
【方法技巧与总结】
空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：
①是非零向量；
②向量所在的直线与l 平行或重合.
【题型2：异面直线所成角】
例2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形ABCD，∠DAB =π
3 ，将△DAC沿对角线AC折起，使以
A ,B ,C , D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．3
5
B．√3
2
C．3
4
D．√3
4
变式1．（23-24 高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，
F分别为母线BC、AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
变式2．（2024·全国·模拟预测）在正三棱柱ABC −A1B1C1中，已知AB = A A1=1，则异面直线A C1与
B1C所成角的余弦值为（ ）
6
A．1
4
B．√2
4
C．√2
3
D．3
4
变式3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，A A1为圆柱的一条母线，B为圆柱
下底面圆周上一点，OA =1，∠AOB = 2π
3 ，△A A1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角
的余弦值为（ ）
A．√3
6
B．√2
4
C．√3
4
D．√2
3
变式4．（23-24 高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC进行翻折，点E，F满足⃗
AD =3⃗AE，⃗CB =3⃗CF，O是原正方形ABCD的中心，当∠EOF = 2π
3 ，直线AD与BC所成角的余弦值
为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
变式5．（多选）（23-24 高二上·福建福州·期末）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O.点A，B，M 是底
面圆周上三个不同的点，且OA ⊥OB.已知|OA|=|OP|=1，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P−ABM体积的最大值为2+√2
6
B．当PM ⊥OA时，直线PM与OB所成角为45°
C．存在点M，使得直线PM与AB所成角为30°
D．当直线PM与OB成60°角时，PM与OA所成角为60°
变式6．（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）正四面体P−ABC的棱长为2√3，点M 为平面ABC内的动
点，且满足PM =3，则直线PM 与直线AB 的所成角的余弦值的取值范围为 .
变式7．（23-24 高二下·浙江·开学考试）已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与
7
BC所成角的余弦值为
.
变式8．（23-24 高三上·四川成都·期末）在棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD为平行四边形，
|A A1|=3，|BD|= 4，⃗A B1⋅⃗BC −⃗A D1⋅⃗DC =5，设异面直线A A1与BD的夹角为θ，则cosθ = .
【方法技巧与总结】
求异面直线所成角的方法
1.基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线a 与b 上分
别取点A，B 和C，D，则⃗AB与⃗CD可分别作为a 与b 的方向向量，则cos θ=|⃗AB⃗∙CD|
|⃗AB⃗||CD|
，根据条件可
以把⃗AB与⃗CD用基表示，再进行计算.
2.坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线
角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．
【题型3：平面法向量的概念】
例3．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）ν
→为直线l的方向向量，⃗n1和⃗n2分别为平面α与β的法向量（α与β不
重合，l⊄α），下列说法：①⃗n1∥⃗n2⇔α ∥β；②⃗n1⊥⃗n2⇔α ⊥β；③ν
→
∥n⃗1⇔l∥α；④
ν
→
⊥n⃗1⇔l∥α．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式1.（23-24 高二上·全国·期中）已知⃗v为直线l的方向向量，⃗n1和⃗n2分别为平面α与β的法向量(α与β不重
合），那么下列说法中：
①⃗n1//⃗n2⇔α // β；
②⃗n1⊥⃗n2⇔α ⊥β；
③⃗v //⃗n1⇔l //α；
④⃗v ⊥⃗n1⇔l //α．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式2 ．（23-24 高二上· 浙江绍兴· 期末）已知平面α ⊥平面β ,α , β的法向量分别为⃗
n1=(1,2,3),⃗n2=(0, x ,2)，则实数x =（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
变式3．（22-23 高二上·全国·阶段练习）设直线l的方向向量⃗v =(x ,1,2)，平面α 的法向量⃗n=(−1,1,2)，若
l⊥α，则x =（ ）
A．−1
B．0
C．5
D．4
变式4．（23-24 高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点P(0,3,−1)，向量⃗u=(2,−1,1)，则
过点P且以⃗u为法向量的平面方程为（ ）
A．2 x−y + z =−4
B．x +2 y −z =7
C．x−y +2 z =−5
D．−x +2 y + z =5
变式5．（23-24 高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面
直角坐标系中，过点A (−3,4)的直线l的一个法向量为(1,−2)，则直线l的点法式方程为：
8
1×(x +3)+(−2)×( y −4)=0，化简得x−2 y +11=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点
M (1,2,3)的平面的一个法向量为⃗m=(1,−4,2)，则该平面的方程为（ ）
A．x−4 y +2 z +1=0
B．x−4 y −2 z +1=0
C．x + 4 y −2 z +1=0
D．x + 4 y −2 z−1=0
变式6．（多选）（22-23 高二下·福建漳州·期中）设α ，β是不重合的两个平面，⃗m,⃗n分别为平面α ，β
的法向量，⃗a为直线l的方向向量，则下列结论错误的是（ ）
A．⃗a//⃗m⇒ l //α
B．⃗a⊥⃗m⇒l //α
C．⃗m//⃗n⇒ α // β
D．⃗m⊥⃗n ⇒ α // β
变式7．（多选）（2024 高二上·全国·专题练习）给出下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．若直线l的方向向量⃗a=(1,−1,2)，直线m的方向向量⃗b=(2,1,−1
2 )，则l 与m 垂直
B．若直线l的方向向量⃗a=(0,1,−1)，平面α的法向量⃗n=(1,−1,−1)，则l⊥α
C．若平面α , β的法向量分别为⃗n1=(0,1,3),⃗n2=(1,0,2)，则α ⊥β
D．若平面α经过三点A(1,0,−1),B(0,1,0),C(−1,2,0)，向量⃗n=(1,u,t )是平面α的法向量，则u+t =1
【方法技巧与总结】
平面的法向量的定义及应用
1.平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α 的所有共面向量.
2.直线与平面垂直的判定，必须证直线与平面内的两条相交直线垂直，至于两直线与已知直线是否有公共
点，并不重要.
【题型4：平面法向量的求解】
例4．（22-23 高二上·湖北荆州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，以D为原点，
{⃗DA ,⃗DC ,⃗D D1}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A B1C的一个法向量是（ ）
A．(1,1,1)
B．(−1,1,1)
C．(1,−1,1)
D．(1,1,−1)
变式1．（23-24 高二上·广东茂名·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E 为棱D D1的中点，
以A 为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE 的一个法向量为（ ）
A．(1,0,−2)
B．(0,1,2)
C．(0,2,−4)
D．(−2,1,4)
变式2．（多选）（22-23 高二上·广东惠州·期末）已知空间中⃗AB =(2,1,0)，⃗AC =(−1,2,1)，则下列结论
正确的有（ ）
A．⃗AB⊥⃗AC
B．与⃗AB共线的单位向量是(1,1,0)
C．|⃗BC|=√11
D．平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
变式3．（多选）（23-24 高二上·四川眉山·期中）已知空间中三点A (0,1,0)、B (2,2,0)、C (−1,3,1)，则
9
下列结论正确的有（ ）
A．⃗AB与⃗AC
是共线向量
B．⃗AB的单位向量是(
2√5
5
,−√5
5 ,0)
C．⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是−√55
11
D．平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
变式4．（多选）（23-24 高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在圆台OO
'中，AB , A
' B
'分别为圆O ,O
'的
直径，AB// A
' B
' , AB =3 A
' B
' =12，圆台OO
'的高为2,C为内侧´
A
' B
'上更靠近B
'的三等分点，以O为坐
标原点，下底面垂直于AB的直线为x轴，OB ,OO
'所在的直线分别为y , z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，则（ ）
A．O
'的坐标为(0,0,2)
B．C的坐标为(−√3,1,2)
C．⃗AC =(−√3,6,2)
D．平面ABC的一个法向量为(2,1,√3)
变式5．（23-24 高二上·辽宁抚顺·期中）在△ABC中，A (1,−2,−1),B (0,−3,1),C (2,−2,1)．向量⃗n为
平面ABC的一个法向量，则⃗n的坐标为 ．
变式6．（2024 高三·全国·专题练习）已知向量⃗a、⃗b是平面α内的两个不共线的向量，⃗a=(1,0,0)，⃗
b=(√2,1,−2)，求平面α的一个法向量⃗n的坐标．
变式7．（23-24 高二上·新疆·阶段练习）在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB = 4，BC =3，C C1=2.以
D 为原点，以{
1
3⃗DA , 1
4⃗DC , 1
2⃗D D1}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系O−xyz，求平面
AB D1的法向量.
【方法技巧与总结】
求平面法向量的步骤
1.设出平面的法向量为n=（x，y，z）.
2.找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标a=（a1， a2， a3）， b=（b1， b2， b3）.
3.根据法向量的定义建立关于x，y，z 的方程组{
na=0
nb=0
4.解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一
个最简单的作为平面的法向量）
【题型5：利用法向量研究平行与垂直问题】
例
5 ．（2024· 山东菏泽· 二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
A1 D∩A D1= E ,C D1∩C1 D = F，则下列结论中正确的是（ ）
10
A．B B1//平面AC D1 B．平面BDC1⊥平面AC D1
C．EF ⊥平面BD D1B1 D．平面AB B1 A1内存在与EF平行的直线
变式1．（23-24 高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗
DM = λ⃗DA1(0< λ<1)，⃗CN = μ⃗C D1(0< μ<1)，若MN //平面A A1C1C，则线段MN的长度的最小值
为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．√2
3
D．√3
3
变式2．（多选）（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P 为线段A1C1的
中点，Q 为线段BC1上的动点（不包括端点），则（ ）
A．存在点Q，使得PQ // BD
B．存在点Q，使得PQ⊥平面A B1C1 D
C．三棱锥Q−APD的体积是定值
D．二面角Q−A1C1−D的余弦值为1
3
变式3．（24-25 高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E、F 分别是
棱BC、C C1的中点，动点P 在正方形BC C1B1（包括边界）内运动，若P A1//平面AEF，则线段P A1
长度的最小值是 ．
11
变式4．（24-25 高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，∠ABC =90°，BC =2，
C C1= 4，点E 在线段B B1上，且E B1=1，D , E , F分别为C C1、C1B1、C1 A1的中点.求证：
(1)平面A1B1 D⊥平面ABD；
(2)平面EGF //平面ABD.
变式5．（24-25 高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = AC = A A1=3，
BC =2，D 是BC的中点，F 是C C1上一点，且CF =2．
(1)求证：B1 F ⊥平面ADF；
(2)若⃗C1 P= 1
3⃗C1 A1，判定直线PF与平面AD B1的位置关系，并证明．
变式6．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱ABC −A1B1C1中，∠BAC =π
2
，AB = AC =2，A A1=3，
(1)如图1，点E 为棱C1 A上的动点，点F 为棱BC 上的动点，且AE
A C1
= CF
BC ，求线段EF长的最小值；
(2)如图2，点M 是棱AB 的中点，点N 是棱B1C1的中点，P 是BC1与B1C的交点，在线段A1 N上是否存
在点Q，使得PQ//面A1CM？
12
变式7．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，E在棱D D1上运动，F在线
段B1 D1上运动，直线DF与平面ACE交于点G．
(1)当E , F为中点时，证明：DF ⊥平面ACE；
(2)若DF ⊥平面ACE，求DG
DF
的最大值及此时DE的长．
【方法技巧与总结】
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①
证明两平面的法向量为共线向量；②转
化为线面平行、线线平行问题
【题型6：空间向量中的动点问题】
例6．（23-24 高二上·辽宁鞍山·期中）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M , N分别是
棱A1B1, A1 D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE =CF，点P在线段CM上运动，下列说法正
确的是（ ）
13
A．三棱锥N −CME的体积不是定值
B．直线B1 D1到平面CMN的距离是√2
2
C．存在点P，使得∠B1 P D1=90
∘
D．△PD D1面积的最小值是5√5
6
变式1．（多选）（23-24 高二上·重庆·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点
P满足⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AD，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则（ ）
A．存在点P，使得A1 P⊥平面BC C1B1
B．存在点P，使得A1 P⊥平面BDC1
C．当A1 P =√5时，CP的最小值为2√2−1
D．当A1 P =√5时，CP的最大值为2√2+1
变式2．（多选）（23-24 高二上·浙江绍兴·期中）如图，点E 是正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱D D1的
中点，点M 在线段B D1上运动，则下列结论 正确的是（ ）
A．直线AD与直线C1 M始终是异面直线
B．存在点M，使得B1 M ⊥AE
C．四面体EMAC的体积为定值
D．H 为线段A A1的中点，MH //平面ACE
14
变式3．（23-24 高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平
面ABCD，AF ∥DE，∠BAD =60°，DE = DC =2 AF．
(1)求证：AC ⊥平面BDE；
(2)线段CE上是否存在点P，使得AP∥平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理
由．
变式4．（23-24 高二上·河南焦作·阶段练习）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，MD⊥平面
ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD = NB =1，E 为BC 的中点.
(1)证明：MN //平面ABCD；
(2)在线段AN 上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN?如果存在，求出线段AS 的长度；若不存在，请说明
理由.
变式5 ．（23-24 高二上· 四川绵阳· 期中）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD =π
3
，
AB =2 AD =2CD = 4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到
△AC D
'的位置，使得二面角B−AC −D
'为直二面角（如图2）．
(1)求证：BC ∥平面PO D
'；
(2)线段P D
'上是否存在点Q，使得平面OCQ⊥平面AB D
'?若存在，求出PQ
P D
' 值；若不存在，请说明理由．
变式6．（23-24 高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2, E , F ,G分别是
A A1,BC ,C1 D1的中点．
15
(1)用空间向量法证明：B1 D⊥平面EFG；
(2)在直线DB上是否存在点P，使得B1 P//平面EFG？若存在，请指出P的位置；若不存在，请说明理由．
变式7 ．（22-23 高二下· 湖南长沙· 期中）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，
A A1=2 AB =2 AC =2,∠A1 AB =∠A1 AC =∠BAC =60
∘，设⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b,⃗AA1=⃗c.
(1)试用向量⃗a,⃗b,⃗c表示⃗BC1
，并求|⃗BC1|.
(2)在平行四边形B B1C1C内是否存在一点O，使得A1O⊥平面B B1C1C？若存在，试确定点O的位置；
若不存在，请说明理由.
一、单选题
1 ．（2024· 四川成都· 模拟预测）已知直线l的方向向量是⃗a=(3,2,1)，平面α的一个法向量是⃗
n=(1,−1,−1)，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
2．（23-24 高二上·全国·期中）若直线l的方向向量为⃗a=(1,−2,3)，平面α的法向量为⃗n=(−3,6,−9)，则
（ ）
A．l⊥α
B．l //α
C．1⊂α
D．l与α位置关系不确定
3．（23-24 高二上·山东威海·期末）设⃗v1，⃗v2分别是空间中的直线l1，l2的方向向量，A ∈l1，B∈l2.记甲：
16⃗
v1，⃗v2，⃗AB不共面，乙：l1与l2异面，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）设平面α和β的法向量分别为⃗m=(1,2,−3),⃗n=(−2,k ,6)．若α ⊥β，
则k =（ ）
A．4
B．−4
C．10
D．−10
5．（22-23 高二下·福建龙岩·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑
A −BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC =90°，BD = AB =CD.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则
平面ACD的一个法向量为（ ）
A．(0,1,0)
B．(0,1,1)
C．(1,1,1)
D．(1,1,0)
6．（23-24 高二上·全国·课后作业）在如图所示的坐标系中，ABCD−A1B1C1 D1为正方体，给出下列结
论：
①直线D D1的一个方向向量为(0,0,1)；
②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；
③平面AB B1 A1的一个法向量为(0,1,0)；
④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（2024·广东梅州·模拟预测）直三棱柱ABC −A1B1C1中，∠BAC =120°，AB = AC = A A1，则异面
直线B A1与A C1所成角的余弦值为（ ）
A．3
4
B．−3
4
C．√2
2
D．√7
4
8．（22-23 高二上·北京丰台·阶段练习）已知点Pn(1,2,3)是法向量为⃗n=(1,1,1)的平面ABC内的一点，则
下列各点中，不在平面ABC内的是（ ）
A．(3,2,1)
B．(−2,5,4)
C．(−3,4,5)
D．(2,−4,8)
二、多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．已知向量a＝（9，4，－4），b＝（1，2，2），则a 在b 上的投影向量为（1，2，2）
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B．若对空间中任意一点O，有⃗OP= 1
6⃗OA + 1
3⃗OB+ 1
2⃗OC则P，A，B，C 四点共面
C．已知{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底
D．若直线l 的方向向量为e＝（1，0，3），平面α 的法向量n＝（－2，0，2
3
），则直线l⊥α
10．（23-24 高二上·江苏·阶段练习）已知空间中三点A(0,1,1)，B(2,2,1)，C(2,1,0)，则（ ）
A．|⃗BC|=2
B．⃗BC
方向上的单位向量坐标是(0,−√2
2 ,−√2
2 )
C．⃗n=(1,−2,2)是平面ABC 的一个法向量
D．⃗AC在⃗BC上的投影向量的模为√2
11．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知空间中三点A (0,1,0)、B (2,2,0)、C (−1,3,1)，则下列结
论不正确的有（ ）
A．⃗AB与⃗AC是共线向量
B．⃗AB的单位向量是(
2√5
5
,−√5
5 ,0)
C．⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是√55
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D．平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
三、填空题
12．（2024 高二上·全国·专题练习）如图，PA ⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E 为CD的中点，
F 是AD上一点，当BF ⊥PE时，AF
FD
＝ .
13．（23-24 高二上·北京石景山·期末）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2, A A1= 4 , E为
棱C C1上的一个动点，给出下列四个结论：
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①A1B1⊥BE；
②三棱锥E−B1B D1的体积为定值；
③存在点E，使得AC ∥平面B D1 E；
④存在点E，使得B1 D⊥平面B D1 E.
其中所有正确结论的序号是 .
14．（23-24 高二上·山东聊城·期中）如图，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E , F分别为PD，
PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA = AB =2，若OG//平面EFC，则AG=
.
四、解答题
15 ．（23-24 高二上· 青海海东· 阶段练习）如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1 D1中，
AA ₁=2 AB =2BC =2，M 是棱CC ₁上任意一点.
(1)求证: AM ⊥BD;
(2)若M 是棱C C1的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的正切值.
16．（23-24 高二上·广东江门·期中）长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =1，A A1= AD =2.点E为AB中
点.
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(1)求证：A1 D⊥平面ABC1 D1；
(2)求证：B D1//平面A1 DE.
17．（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
18．（23-24 高二上·四川泸州·期末）如图所示，在几何体PABCD中，AD⊥平面PAB，点C在平面PAB
的投影在线段PB上(BC < PC)，BP =6，AB = AP =2√3，DC =2，CD //平面PAB.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD.
(2)若平面BCD与平面PCD的夹角的余弦值为√7
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，求线段AD的长.
19 ．（23-24 高二上· 四川南充· 阶段练习）如图，直三棱柱ABC −A1B1C1中，AC ⊥BC，
AC = BC =C C1，M , N分别为AC，B1C1的中点．
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(1)求证：MN //平面AB B1 A1；
(2)线段C C1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？若存在，求CQ
C C1
；若不存在，说明理由．
