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7.2.1 三角函数的定义
课程标准
学习目标
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应
用；
（2）会判断三角函数在各象限的符号。
（1）理解并掌握任意角的三角函数定义，
会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽
象、数学运算核心素养；
（2）借助任意角的三角函数定义，掌握三
角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑
推理等核心素养。
知识点01 任意角的正弦、余弦、正切的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x , y)，则：
叫做
的正弦函数，记作
.即
；
叫做
的余弦函数，记作
.即
；
叫做
的正切函数，记作
.即
。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义
设点
（不与原点重合）为角α 终边上任意一点，
点P 与原点的距离为：
，则：
，
，
.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
【即学即练1】已知角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
【即学即练2】已知点
是角
终边上一点，
，则
__________．
知识点02 正弦、余弦与正切在各象限的符号
1、正弦、余弦、正切在各象限的符号
（1）当且仅当
的终边在第一、二象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第三、四象限，或
轴负半轴上时，
；
（2）当且仅当
的终边在第一、四象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第二、三象限，或
轴负半轴上时，
；
（3）当且仅当
的终边在第一、三象限，
；
当且仅当
的终边在第二、四象限，
。
上述结果可用下图直观表示：
2、对三角函数值符号的理解：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，
从原点到角的终边上任意一点的距离
的值总是正值，根据三角函数定义值：
正弦值的符号取决于纵坐标
的符号；
余弦值的符号取决于横坐标
的符号；
正切值的符号是由
、
的符号共同决定的，即
、
同号为正，异号为负。
3、记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第
二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
【即学即练3】若
，则
是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【题型一：利用定义求三角函数值】
例1．（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）若角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2022·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知角
的终边与单位圆的交点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）已知角
的终边落在直线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（2023·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角
的终边上有一点
的坐标是
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求一个三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离。
当已知坐标含参数时一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需要分类讨论。
【题型二：利用三角函数值求参数】
例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知
是角
的终边上一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2023·山东烟台·高一校考阶段练习）已知角
的顶点为坐标原点，始边为
轴的正半轴，若角
终边有一点
，且
，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
变式2-3．（2023·全国·高一课时练习）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用三角函数的定义及三角函数值列方程，解方程后需结合三角函数值的符号对结果进行检验取舍。
【题型三：求特殊角的三角函数值】
例3．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2023·全国·高一专题练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）（多选）已知角
的终边经过点
,则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2023·上海静安·高一校考期中）
是
成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【方法技巧与总结】
求特殊角的三角函数值需要注意符号的正负。
【题型四：确定三角函数的符号】
例4．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）（多选）下列函数值符号为正的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2023·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知角
的终边位于第二象限，则点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式4-2．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）已知角
的终边经过点
，则下列各式一定为
正的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（2023·江西九江·高一统考期末）（多选）若
为第四象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判断三角函数值在各象限符号的攻略
（1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
（2）关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
（3）注意：用弧度制给出角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误。
【题型五：由三角函数符号确定角的范围】
例5．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知点
是第二象限的点，则
的终边位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式5-1．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知
，且
，则
为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-2．（2023·四川眉山·高一校考期中）（多选）已知
，则
可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-3．（2023·全国·高一专题练习）（多选）若
，则
可能在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧与总结】
准确结合正弦、余弦、正切在各个象限的符号关系进行判断。
【题型六：圆上的动点与旋转点问题】
例5．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）点
从
出发，沿着单位圆的边界顺时针运动
弧长到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考期末）单位圆上一点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，则
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（2023·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知O 为坐标原点，点P 的初始位置坐标为
，线段
绕点O 顺时针转动
后，点P 所在位置的坐标为 .
变式5-3．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）（多选）如图，A，B 是在单位圆上运动的两个
质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且
.质点A 以
的角速度按顺
时针方向运动，质点B 同时以
的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1 后，扇形AOB 的面积为
B．经过2 后，劣弧
的长为
C．经过6 后，质点B 的坐标为
D．经过
后，质点A，B 在单位圆上第一次相即
【方法技巧与总结】
解题的关键在于确定动点运动后的坐标位置。
一、单选题
1．（2023·北京·高一清华附中校考期末）若点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·四川眉山·高一校考期末）已知角
的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角
的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x 轴非负半
轴重合，若角
的终边所在直线的方程为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3 D．5
4．（2022·浙江绍兴·高一统考期末）若点
在角
的终边上，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．
D．
5．（2022·广东茂名·高一统考期末）已知角
的终边经过点
，且
，则
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·河北保定·高一校联考期中）已知角
终边上有一点
，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）在下列各选项中，角
为第二象限角的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上一点P 从点
（0，1）出发，逆时针方向运动
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）
A．
B．（
） C．（
，
） D．（－
，
）
二、多选题
9．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）若角
的终边经过点
，且
，则
（
）
A．0 B．1 C．
D．2
10．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·江苏南京·高一期末）已知
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C． D．
12．（2023·广东深圳·高一校考期末）若角
的终边经过点
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是钝角 B．
是第二象限角 C．
D．点
在第四象限
三、填空题
13．（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）已知角
的终边经过点
，其中
，则角
的
余弦值为 .
14．（2023·上海静安·高一校考期中）角
的顶点在直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，点
是角
终边上一点，若
，则
．
15．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）如图所示，角
的终边与单位圆（圆心在原点，半径
1）交于第二象限的点
，则
．
16．（2023·高一课时练习）若
为第一象限角，则在
中，能确定为正
值的有 .
四、解答题
17．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列各式的符号：
（1）
；
（2）
．
18．（2023·全国·高一随堂练习）已知角
的终边在函数
的图象上，求
，
和
．
19．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知角
的终边经过点
，求
的值；
（2）已知角
终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为
，求
的值．
20．（2023·高一单元测试）已知角
的顶点为原点O，始边与x 轴的非负半轴重合．若角
的终边过点
，且
，
（1）判断角
的终边所在的象限；
（2）求
和
的值．
21．（2022·甘肃天水·高一统考期中）已知
，且
有意义．
（1）试判断角
所在的象限；
（2）若角
的终边与单位圆相交于点
，求
的值及
的值．
22．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系
中，单位圆
与x 轴的
正半轴及负半轴分别交于点A，B，角
的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P．
（1）如图，若
，求点P 的坐标；
（2）若点P 的横坐标为
，求
的值．
