文档文本内容
7.2.2 单位圆与三角函数线
课程标准
学习目标
会用单位圆中的三角函数线表示任意角的正
弦、余弦、正切。
（1）了解三角函数线的意义，能用三角函数线
表示一个角的正弦、余弦、正切；
（2）能利用三角函数线解决一些简单的三角函
数问题。
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足
的点做成的集合，角
的终边与单位
圆相交于点
，如图，
则
，
，
，则角
的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角
的终边与单位圆的交点
作
轴的垂线，垂足为
；
（2）角
的终边（或其反向延长线）与直线
交于点
。
3、正弦线的定义：
为角
的正弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
4、余弦线的定义：
为角
的余弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
【即学即练1】（2023·高一课时练习）已知角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则
的终边在
（ ）
A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上
知识点02 正切线
1、正切线的定义：
为角
的正切线
当角
的终边在第二、三象限或
轴的负半轴上，终边与直线
没有交点，但终边的反向延长线
与
有交点，而且交点的纵坐标也正好是角
的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
轴上的垂足；正切线由切
点指向切线与
的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点
）在前，终点（比如点
）在后，写为
【即学即练2】（2023·江苏·高一专题练习）如图，在单位圆中，角α 的正弦线、正切线完全正确的是（
）
A．正弦线为
，正切线为
B．正弦线为
，正切线为
C．正弦线为
，正切线为
D．正弦线为
，正切线为
【题型一：三角函数线的作法】
例1．（2023·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
.
变式1-1．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
.
变式1-2．（2022·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
变式1-3．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【方法技巧与总结】
三角函数线的画法
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
轴的垂线，得到垂足，
从而得正弦线和余弦线；
（2）作正切弦时，过点
引
轴的垂线，交
的终边（
为第一或第四象限角）或
终边的反向延
长线（
为第二或第三象限角）于点
，即可得到正切线
【题型二：利用三角函数线比较大小】
例2．（2023·高一课时练习）如果
、
分别是角
的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2022·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2022 上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）（多选）已知
，那么下列命题正确的是
（ ）
A．若角
、
是第一象限角，则
B．若角
、
是第二象限角，则
C．若角
、
是第三象限角，则
D．若角
、
是第四象限角，则
【方法技巧与总结】
画出三角函数线，通过比较三角函数线的大小从而确定三角函数值的大小
【题型三：利用三角函数线解三角不等式】
例3．（2023·湖北·高一校考阶段练习）若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
变式3-1．（2023·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
（1）
且
；
（2）
．
变式3-2．（2020·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2023·高一课时练习）求函数
的定义域．
【方法技巧与总结】
利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤
（1）用边界值定出角的终边位置；
（2）根据不等式（组）定出角的范围；
（3）求交集，找单位圆中公共的部分；
（4）写出角的表达式。
【题型四：利用三角函数线求三角值的范围】
例4．（2023·高一课时练习）已知
是
的一个内角，且
，则
的取值范围是 （
）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2021·高一课时练习）若
，则
的取值范围是 ．
变式4-2．（2023·高一课时练习）已知
，则
的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
通过三角函数的定义域确定三角函数线的范围，从而确定三角函数值的取值范围。
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）有三个命题：①
和
的正弦线长度相等；②
和
的正切线长度相同；③
和
的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
2．（2023·广西北海·高一校考期中）在
上，使不等式
成立的x 的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高一专题练习）使
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·高一课时练习）利用正弦线比较
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·北京·高一北京四中校考期中）若
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·高一课时练习）在
上，利用单位圆，得到
成立的
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·全国·高一专题练习）若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·辽宁葫芦岛·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
10．（2023·北京·高一北师大二附中校考期中）已知
，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若
、
是第一象限角，则
B．若
、
是第二象限角，则
C．若
、
是第二象限角，则
D．若
、
是第四象限角，则
11．（2022·高一课时练习）[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
12．（2023·江西九江·高一校考期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交
于点
．已知点
在圆O 上，点T 的坐标是
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，则
D．若
，则
三、填空题
13．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知角
，则
的大
小关系为 ．
14．（2023·江苏·高一专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断：
①
；②
；③
；④
．
其中判断正确的有 （填序号）．
15．（2020·高一课时练习）设
，
，
，则a､b､c 的大小顺序为 (按
从小到大的顺序排列).
16．（2023·全国·高一专题练习）在
内，使
成立的
的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2022·高一课时练习）已知
,利用正弦线和余弦线比较
和
的大小.
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知点
在第一象限，在
内，求
的取值范围．
19．（2023·高一课时练习）利用三角函数线说明
（1）当
时，求证：
；
（2）若
，则
.
20．（2023·全国·高一随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
（1）
；
（2）
．
21．（2023·全国·高一专题练习）根据条件利用单位圆写出
的取值范围：
（1）
；
（2）
．
22．（2023·全国·高一课时练习）利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.
（1）求满足不等式
的x 的集合；
（2）求函数
的定义域.
