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5.2.2 等差数列的前n 项和
课程标准
学习目标
（1）探索并掌握等差数列前n 项和公式；
（2）理解等差数列的通项公式与前n 项和公式
的关系；
（3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差
关系，会求等差数列前n 项的最值。
（1）经历等差数列前n 项和公式的推导，提升数
学抽象和逻辑推理的核心素养；
（2）通过等差数列前n 项和公式的运用，达成逻
辑推理和数学运算的核心素养；
（3）在利用等差数列前n 项和公式解决实际问题
的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素
养；
知识点01 等差数列的前n 项和
1、等差数列的前n 项和公式
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
选用公式
2、等差数列前n 项和公式的推导
对于公差为d 的等差数列，
①
②
由①＋②得
n 个＝
，
由此得等差数列前n 项和公式
，
代入通项公式
得
.
【即学即练1】（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）（多选）数列
为等差数列，
为其前n
项和，已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 等差数列的前n 项和性质
1、片段和性质：设等差数列
的公差为
，
为其前n 项和，等差数列的依次
项之和，
，
，
…组成公差为
的等差数列；
2、前n 项和与n 的比值：
数列
是等差数列⇔
(a，b 为常数)⇔数列
为等差数列，公差为
；
3、奇偶项和性质：若S 奇表示奇数项的和，
表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数
时，
，
，
；
②当项数为奇数
时，
，
，
.
4、两等差数列前n 项和比值：在等差数列
，
中，它们的前
项和分别记为
，则
【即学即练2】（2023 秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列
中，已知
，
，则
（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
知识点03 等差数列前n 项和的最值
1、等差数列的前n 项和与二次函数的关系
将等差数列前n 项和公式
，整理成关于n 的函数可得
.
当
时，
关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点
在其相应的二次函数的
图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线
上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2、求等差数列的前n 项和Sn的最值的解题策略
（1）将
配方，若
，则从二次函数的角度看：
当
时，Sn有最小值；
当
时，
有最大值．
当n 取最接近对称轴的正整数时，
取到最值．
（2）邻项变号法：
当
，
时，满足
的项数n 使
取最大值；
当
，
时，满足
的项数n 使
取最小值。
【即学即练3】（2024·重庆·高二巴蜀中学校考期末）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
则数列
的最大项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型一：等差数列前n 项和与基本量】
例1．（2023·全国·高二期末）记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
的公差为（
）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中期末）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2023·江苏·高二专题练习）在等差数列
中，
（1）已知
，
，
，求
和
；
（2）已知
，
，求
；
（3）已知
，
，
，求
．
变式1-3．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知数列
是等差数列，
（1）求
的通项公式
（2）记
的前
项的和为
，若
，求
的值．
【方法技巧与总结】
，
，
，
，
知三求二
（1）在等差数列
中，
，
或
，两个公式共涉及
，
，
，
及
五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前
项和；、
（2）依据方程的思想，在等差数列前
项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。
【题型二：等差数列的片段和性质】
例2．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为40，前
项和为420，
则前
项和为（ ）
A．140 B．180 C．220 D．380
变式2-1．（2024·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
变式2-2．（2023·广东东莞·高二校考阶段练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
则
．
变式2-3．（2024·河北邢台·高二博野中学校联考期末）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
【方法技巧与总结】
等差数列的依次k 项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d 的等差数列．
【题型三：等差数列前n 项和与n 的比值】
例3．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．2022 D．2023
变式3-1．（2023·四川眉山·高三校考开学考试）在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
（ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
变式3-2．（2023·新疆·高二校联考期末）已知等差数列
的首项为
，前
项和为
，若
，且
，则
的取值范围为 ．
变式3-3．（2023·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
【方法技巧与总结】
由数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数列为等差数列，重新构造新的等差数列。
【题型四：两个等差数列前n 项和的比值】
例4．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二统考期末）设等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2024·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期末）已知等差数列
，
的前
项和分别
为
，
，若
，则
.
变式4-2．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）已知两个等差数列
，
的前n 项和分别为
，
. 若
则
.
变式4-3．（2023·福建南平·高二南平第一中学校考阶段练习）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
，
，若
，则
【方法技巧与总结】
在等差数列
，
中，它们的前
项和分别记为
，则
，注意结合公式
来解决问题。
【题型五：等差数列奇数项与偶数项的和】
例5．（2022·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和
分别为24 和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
变式5-1．（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知等差数列
的项数为
其中奇数项
之和为
偶数项之和为
则
( )
A． B． C．
D．
变式5-2．（2022·河南·高二校考期末）在等差数列
中，已知公差
，且
，
则
.
变式5-3．（2022·高二课时练习）一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中，偶数项的和与奇数项的和
之比为32 27
∶
，求公差d．
【方法技巧与总结】
解题过程中要注意确定等差数列的项数，根据项数选择合适的公式。
若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，＝.
【题型六：含绝对值的等差数列前n 项和】
例6．（2023·福建三明·高二校考阶段练习）已知
为等差数列
的前n 项和，若
.
（1）求数列
的通项公式
与
；
（2）求数列
的前50 项和
.
变式6-1．（2022·广东·高二校联考阶段练习）等差数列
的前
项和为
．已知
，
为整数，且
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，设数列
的前
项和为
，求
的值．
变式6-2．（2024·吉林长春·高二校考期末）已知
为等差数列,
,
.
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和.
变式6-3．（2023·湖北·高二校考阶段练习）设单调递减的等差数列
的前
项和为
.
（1）求数列
的通项公式
及前
项和
；
（2）设数列
的前
项和为
，求
.
【方法技巧与总结】
已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n 项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：
①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【题型七：等差数列前n 项和的最值】
例7．（2024·甘肃兰州·高二西北师大附中校考期末）设
是等差数列
的前
项和，且
，
，则使得
取最小值时的
为（ ）
A．6 B．7 C．6 或7 D．8
变式7-1．（2024·天津宁河·高二统考期末）已知等差数列
的前
项和为
，若
，公差
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．（2023·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
取得最大值时，n 的值是（ ）
A．23 B．13 C．14 D．12
变式7-3．（2023·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）（多选）已知等差数列
中，当且仅
当
时，
仅得最大值.记数列
的前k 项和为
，（ ）
A．若
，则当且仅当
时，
取得最大值
B．若
，则当且仅当
时，
取得最大值
C．若
，则当且仅当
时，
取得最大值
D．若
，
，则当
或14 时，
取得最大值
【方法技巧与总结】
1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n 配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意
n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【题型八：等差数列前n 项和的实际应用】
例8．（2024·江苏盐城·高二校联考期末）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中提出
了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项
之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7 项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100 项
为（ ）
A．4951 B．4 953 C．4955 D．4957
变式8-1．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活
动，共收到了5000 元.他们第1 天只收到了20 元，从第2 天起，每一天收到的捐款都比前一天多15 元，这
次募捐活动一共进行了（ ）
A．20 天 B．25 天 C．30 天 D．35 天
变式8-2．（2023·陕西西安·高二西安市黄河中学校考阶段练习）已知从冬至日起，小寒大寒立春雨水
､
､
､
､
惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种这十二个节气的日影长减等寸（减等寸：以相等的尺寸减少）
､
､
､
､
､
､
.若雨
水的日影长为95 寸，冬至小寒大寒立春的日影长之和为
､
､
､
480 寸，则冬至的日影长为（ ）
A．135 寸 B．130 寸 C．125 寸 D．120 寸
变式8-3．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）有12 个砝码，总质量为
，它们的质量
从小到大依次构成等差数列，且最重的3 个砝码质量之和是最轻的3 个砝码质量之和的4 倍．用这些砝码
称一个质量为
的物体，则需要的砝码个数至少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【方法技巧与总结】
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列
的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式
，或是求前
项和
，还是求项数
。
一、单选题
1．（2022·高二单元测试）设等差数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（
）
A． B． C． D．
2．（2023·高二课时练习）已知等差数列
的公差
，
，那么
（ ）
A．80 B．120 C．135 D．160
3．（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
则
（ ）
A．
B． C．
D．
4．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知数列
的前
项和
，若
，则
（ ）
A．578 B．579 C．580 D．581
5．（2023·湖南岳阳·高二统考期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国
演义》，假设他读完这两本书共需40 个小时，第1 天他读了10 分钟，从第2 天起，他阅读的时间比前一
天增加10 分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（ ）
A．第20 天 B．第21 天 C．第22 天 D．第23 天
6．（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，都有
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知等差数列
的前n 项和为
，
，
，则使
取得最大值时n 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．（2024·广东东莞·高二统考期末）已知数列
的前n 项和
，则下列说法正确的是（
）
A．
的最大值为
B．
是等差数列
C．
是递减数列 D．
10．（2024·湖南衡阳·高二统考期末）已知
均是公差不为0 的等差数列，
且
，记
的前
项和分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
为递增数列 D．
11．（2023·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列
是公差为d 的等差数列，
是其前n 项和，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
或
为
的最大值 D．
12．（2023·河北·高二校联考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
，若
，则下列命题正确的是（ ）
A．数列
是递增数列 B．
是数列
中的最小项
C．
和
是
中的最小项 D．满足
的
的最大值为25
三、填空题
13．（2023·高二课时练习）等差数列
共有
项，所有的奇数项之和为
，所有的偶数项之和为
，则
等于 ．
14．（2023·安徽安庆·高二校考阶段练习）等差数列
中，其前
项和为100，其前
项和为500，则其
前
项和为 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
.
16．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为
和
，且
，则使得
为整数的正整数n 的集合是 .
四、解答题
17．（2023·山东泰安·高二山东省泰安第二中学校考阶段练习）在等差数列
中，
（1）已知
，
，求
与
；
（2）已知
，求
.
18．（2023·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前
项和
．
19．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知在等差数列
中，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
的前
项和
，则当
为何值时
取得最大，并求出此最大值．
20．（2023·河南信阳·高二校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
21．（2023·陕西榆林·高二校联考阶段练习）已知各项都为正数的数列
的前
项和为
, 且满足
.
（1）求数列
的通项公式;
（2）若
，求数列
的前
项和
.
22．（2024·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列
满足
，
，记
．
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）设数列
的前n 项和为
，求数列
的前n 项的和
．
