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第四章 数列复习与小结 -B提高练
一、选择题
1．（2021·四川南充高二期末）已知等比数列 满足 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ,所以 ,故 .
2．（2020·全国高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设1≤i<j<k≤12．若
1 2 12
k–j=3且j–i=4，则称a，a，a 为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a，a，a 为原位小三和弦．
i j k i j k
用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ；
．
故个数之和为10．3．（2020·北京高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，
则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，故数列 中的正项只有有限项： ，
.故数列 中存在最大项，且最大项为 .
4．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{a}的前n项和S，公差d≠0， ．记b=S，
n n 1 2
b =S –S ， ，下列等式不可能成立的是（ ）
n+1 2n+2 2n
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
【答案】D
【详解】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可
得， ，A正确；对于B，由题意可知， ，
，∴ ， ， ， ．
∴ ， ．根据等差数列的下标和性质，由
可得 ，B正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；对于D，
， ，
．当 时， ，∴
即 ；当 时， ，∴ 即 ，所以
，D不正确．
5. （多选题）（2021·山东济南市·高二期末）若数列 满足 ， ，
，则称数列 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物
理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】按照规律有， ， ， ， ， ， ， ， ，
故A对C错
…
故B对，故D错，故选：AB
6. （多选题）（2021·浙江省桐庐中学高二期末）设 为数列 的前 项和，若 ( )等
于一个非零常数，则称数列 为“和等比数列”．下列命题正确的是（ ）．
A．等差数列可能为“和等比数列”
B．等比数列可能为“和等比数列”
C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”
D．若正项数列 是公比为 的等比数列，且数列 是“和等比数列”，则
【答案】ABD
【详解】若等差数列的公差为 ，则 是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A
对
若等比数列的公比为 ，则 是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对
若数列 满足 ，则 是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它
是“和等比数列”，C错；正项数列 是公比为 的等比数列，∴ ，
则 ，故数列 是首项为 ，公差为
的等差数列，又数列 是“和等比数列”，
则又 为非零常数，则 ，即 ，即 ，D对
故选：ABD．
二、填空题
7．（2021·北京大兴区高二期末）在等比数列{a }中，a= ，a=-4，则公比q=______________；
n 1 4
_________________．
【答案】﹣2，
【解析】q= = =﹣2，|a|+|a|+…+|a |= = .
1 2 n
8．（2020·江苏高考真题）设{a}是公差为d的等差数列，{b}是公比为q的等比数列．已知数列
n n
{a+b}的前n项和 ，则d+q的值是_______．
n n
【答案】
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，
依题意 ，即 ，通过对比系数可知 ，故 .
9．（2020·全国高考真题）数列 满足 ，前16项和为540，则
______________.
【答案】
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
， .
10．（2021·江苏苏州高二期末）已知集合 ， ．
将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得
成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】设 ，则由 得
所以只需研究 是否有满足条件的解，
此时 ， ，
为等差数列项数，且 .
由
得满足条件的 最小值为 .
三、解答题
11．（2020·全国高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【详解】
（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，，
.
12．（2020·浙江高考真题）已知数列{a}，{b}，{c}中，
n n n
．
（1）若数列{b}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{a}的通项公式；
n n
（2）若数列{b}为等差数列，且公差 ，证明： ．
n
【详解】
（1）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，
所以 .
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所
以 .
所以 （ ）.
所以 ，又 ， 符合，
故 .
（2）依题意设 ，由于 ，所以 ，
故
.
又 ，而 ，
故
所以
.
由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
