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5.3.1函数的单调性(2) -A基础练
一、 选择题
1．（2021·江苏高二课时练）函数 的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，令 ，解得：
或 ， 的单调减区间为 .故选：D.
2．（2021·全国高二课时练）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝ x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)
的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )
A． B．－ C． D．－ 或
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a
＝0，f(－1)＝ ；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝
－ .故选D3．（2021·全国高二课时练）已知函数 在R上是单调函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知， ，因为 在R上是单调函数，且 的
图象开口向下，所以 在R上恒成立，故 ，即 ．
4．（2021·全国高二课时练）函数 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 为奇函数，舍去A, 舍去
D; ，
所以舍去C；因此选B.5．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二月考）设函数 ，下列条件
中，使得 有且仅有一个零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】 ，求导得 ，当 时， ， 单调递
增，当 时， ；当 时， ；由零点存在性定理知，函数
有且只有一个零点，故A，C满足题意；当 时，令 ，即 ，解得
， ，当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
故当 ，函数 取得极大值 ，
当 ，函数 取得极小值
又当 时， ；当 时， ；
要使函数 有且只有一个零点，作草图
或则需 ，即 ，即 ，
B选项， ，满足上式，故B符合题意；
则需 ，即 ，即 ，
D选项， ，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC
6．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知 为函数 的导函数，且
，若 ，方程 有且只有一个
根，则a的取值可能是（ ）
A．e B．1 C． D．
【答案】ACD
【详解】由 ，得 ，
，
∴ ，∴ ，则 ，则 ，
∴ ，方程 ，即 ，
时方程显然无解； 时，对于任意 ，函数 与 有一个交点，满足题意；
时，则 ，令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ．
∴ 在 时的图象如图：
由图可知， 时，方程 有一根，综上， 的取值范围为 ，故选：ACD．
二、 填空题
7．（2021·山西高二期末）函数 的单调递减区间为___________ ．
【答案】
【详解】 ，令 ，解得 ，所以函数 的单调递减区间为
．
8．（2021·贵州安顺市·高二期末（文））函数 是R上的单调函数，则m的
范围是_________.
【答案】【详解】 是R上的单调函数，则导函数恒大于等于
，则 ， ，故答案为：
9．（2021·全国高二课时练）已知函数 与 的图象如图所示，则函数 的单
调递减区间为___________．
【答案】 、
【详解】由图象可知，不等式 的解集为 ，
， ，由 ，可得
，解得 .因此，函数 的单调递减区间为 、
．故答案为： 、 .
10．（2021·江苏高二）已知函数f（x）＝sinx+ +lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范
围______．
【答案】【详解】由f（x）＝sinx+ +lnx，得 ，
∵当x＞0时， ，cosx∈[﹣1，1]，∴当x＞0时， ，∴f（x）在（0，+∞）上单
调递增，∴由f（1﹣a）＜f（2a），得 ，∴ ，
∴a的取值范围为 ．
三、 解答题
11．（2021·平罗中学高二期末（文））已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
（2）求函数 的单调区间.
【详解】
（1）当 时， ， ，切点 ，
， ，
所以切线方程为 ，即 .
（2） ，
① ，当 ，即 时， ，函数 单调递增；
当 ，即 ，或 时， ，函数 在每个区间上单调递减；
② ，当 ，即 时， ，函数 单调递减；当 ，即 ，或 时， ，函数 在每个区间上单调递增；
综上所述， 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；
时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
12．（2021·安徽省舒城中学高二期末）已知 .
（1）当 时，求 的单调区间
（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.
【详解】
（1）当 时，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增
（2）由函数 ，
可得 有一个零点 ，
要使得 有3个零点，即方程 有2个实数根，
又由方程 ，可化为 ，
令 ，即函数 与 图象 有两个交点，
令 ，得 ，的单调性如表：
1
－ － 0 ＋ ＋
↘ ↘ 极小值 ↗ ↗
所以函数 在 处取得极小值2e，
当 时， ，又 ， 的大致图象如图，
由函数 与 图象有两个交点，根据图象可得
所以要使得 有3个零点，则实数 的取值范围为
