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5.3.1函数的单调性(1) -A基础练
一、 选择题
1．（2021·全国高二课时练）函数 的导函数 的图象如图，函数 的一个单调
递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可知，当 ， ， 时， ，
当 时， ， 函数 在 上单调递减，在 ， ，
上单调递增， 函数 的一个单调递减区间是 .故选：B．
2．（2021·全国高二课时练）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A选项，函数 为偶函数，在 上递增，在 上递减；
对于B选项，函数 在 上递减；对于C选项， 在 上恒成立，则函数
在其定义域 上递增；对于D选项，函数 在 上递减.故选：C．
3.函数 的单调递增区间为 ( )
A． B．C． 和 D． 和
【答案】B
【 解 析 】 由 ， 得 ， 令 ， 即 ， 得
，解得 ，即 的单调递增区间为 ．故选B．
4．（2021·全国课时练习）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函
数），下面四个图象中 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由函数 的图象可知：当 时， ， ，此时 单调递增；当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递增．故选：C
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知函数 的定义域为R，其导函数 的图象如图
所示，则对于任意 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由题中图象可知，导函数 的图象在x轴下方，即 ，且其绝对值越来越小，
因此过函数 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
由此可得 的大致图象如图所示．A选项表示 与 异号，即 图象的割线斜率 为负，故A正
确；B选项表示 与 同号，即 图象的割线斜率 为正，故B
不正确； 表示 对应的函数值，即图中点B的纵坐标， 表示当
和 时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有
，故C不正确，D正确．故选:AD．
6．（多选题）（2021·湖北高二期末）已知函数 ， ，则下列说法正确的有（
）
A． 是奇函数
B． 是周期函数
C．曲线 在点 处的切线方程为
D．在区间 上， 单调递增
【答案】AC
【详解】解：对A， 的定义域为 关于原点对称，
，故 是奇函数，即A正确；
对B，若 是周期函数，则存在非零常数 ，使 ，
，易知：不存在非零常数 ，使 ，故 不是周期函数；故B错误；
对C， ， ，
又 ，故 在点 处的切线方程为：
，
即 ，故C正确；对D， ，当 ，
故 ，故在 上， 单调递减.故选：AC.
二、 填空题
7．（2020·山东泰安一中高二期中）函数 的单调增区间为___________
【答案】
【详解】 ， ，∴ 在 上恒成立，所以函数的单调增区间为
8．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练）函数y＝x2－4ln x 的单调递减区间是________．
【答案】（0， ）
【详解】∵y′=2x﹣ ，令y′＜0，解得：0＜x＜ ．
9．（2021·全国高二课时练）已知 满足 为其导函数，且导函数
的图象如图所示，则 的解集是_________．【答案】
【详解】解：由 的导函数 的图象知： 在 上单调递减，在 上单调递
增，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
综上所述： 的解集为 ．故答案为： .
10．（2020·上海高二课时练习）若函数 在区间 上是增函数，则实数a
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】 函数 的对称轴为 ，且函数开口向上，
，故答案为： .
三、解答题
11．（2021·全国高二课时练）求下列函数的单调区间．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【详解】（1）易知函数的定义域为 ．，令 ，解得 （舍去），用 分割定义域，得下表：
x
- +
∴函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）易知函数的定义域为 ．
，令 ，得 或 ，
当x变化时， 的变化情况如下表：
x
- + -
∴ 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
（3）易知函数的定义域为 ．
，令 ，得 或 ，当x变化时， 的变化情况如下表：
x
+ - - +
∴函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 ．
12．（2020·福建三明一中高二月考）已知函数 .（1）若 在区间 上为增函数，求a的取值范围.
（2）若 的单调递减区间为 ，求a的值.
【详解】（1）因为 ，且 在区间 上为增函数，
所以 在 上恒成立，即 在(1，+∞)上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，即a的取值范围是
（2）由题意知 .因为 ，所以 .
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ，
又已知 的单调递减区间为 ，
所以 ，
所以 ，即 .
