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5.1.1变化率问题 -B提高练
一、选择题
1．（2021·天津河西区高二期末）设函数 ，当自变量 由1变到1.1时，函数的平均
变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
A【详解】 ，
所以函数 在区间 上的平均变化率为 .
2．（2021·全国高二课时练）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段
上的平均速度分别为 ，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
C【详解】由题意得， ，由题图易知 ，
∴ .
3．（2021·全国高二课时练习）某质点的运动规律为 ，则在时间 内，质点的位
移增量等于（ ）
A． B． C． D．
A【详解】位移增量 .
4．（2021·山东泰安一中高二月考）两个学校 、 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A． 比 节能效果好
B． 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D． 与 自节能以来用电量总是一样大
A【详解】由图象可知，对任意的 ，曲线 在 处的切线比曲线
在 处的切线要“陡”，所以， 比 节能效果好，A正确，C错误；
由图象可知， ，则 的用电量在 上的平均变化率比 的
用电量在 上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线 和曲线 不重合，
D选项错误.
5．（2020·全国高二专题练）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位： ）与融化时间t（单位：
h）近似满足函数关系： （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开
始到结束的平均融化速度为 .那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的（ ）.A． B． C． D．
C【详解】平均融化速度为 ，反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致．
6. （多选题）（2021·全国高二课时练）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物
在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，
甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是( )
A. 在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B.在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D. 在 , 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
ACD【详解】A.在 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；
B.甲、乙两人在 时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率相不相同，所以甲、乙两人血管
中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变
化率都是 ，故C正确；D在 时间段，甲的平均变化率是 ，在
时间段，甲的平均变化率是 ，显然不相等，故④正确.
二、填空题
7．（2021·陕西宝鸡市高二期末）函数 在区间 上的平均变化率为 _________.
【答案】【详解】函数 在区间 上的平均变化率为： .
8．（2020·全国高一课时练习）已知曲线 上两点 ，当
Δx＝1时，割线AB的斜率为________.
【答案】
【解析】由函数的解析式有： ，
则 ，
当Δx＝1时，割线AB的斜率为 .
9．（2020·浙江高二专题练）某堆雪在融化过程中，其体积 （单位： ）与融化时间 （单位：
）近似满足函数关系： （ 为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化
开始到结束的平均融化速度为 ．那么 ， ， ， 中，瞬时融化速度等于
的时刻是图中的__________．
【答案】【详解】由题意，可得平融化速度为 ，反映的是 图象与坐标轴交点连线的斜
率，观察可知 处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致．
10．（2021·全国高课二时练）函数 与 在区间 上增长较快的是
________．
【答案】
【详解】在 上取 ， ，
，因为 ，所以 ，
，
所以 ，所以函数 在区间 上的增长速度慢于函数 的增长速
度，故增长较快的为 ．
三、解答题
11．（2020·全国高二课时练）（1）计算函数 从 到 的平均变化率，其中
的值为：①2；②1；0.1；④0.01
（2）思考：当 越来越小时，函数 在区间 上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【详解】（1）因为
所以 .①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， .
（2）当 越来越小时，
由（1） 得，
函数 在区间 上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．
12．（2021·全国高二专题练）巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地
有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样
是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
【详解】从A处到B处高度的平均变化率为 ,
从B处到C处高度的平均变化率为 ,
由 ,知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭.
故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.
