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5.2.3简单复合函数的导数 -B提高练
一、选择题
1．（2021·广东揭阳市高二期末）函数 的导函数 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合
函数的求导法则有 .故选：B.
2．（2020·四川省眉山车城中学高二期中）已知函数 ，则 （
）
A．1 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，可得 ，解得 .故选：B.
3．（2021·江苏徐州市·高三期末）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、
航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：
贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为时该放射性同位素的含量.已
知 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为 贝克时衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
【答案】D
【详解】由 得 ，因为 时，该放射性同位素的瞬时变
化率为 ，即 ，解得 ，
则 ，当该放射性同位素含量为 贝克时，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 .故选：D.
4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】B
【详解】设切点坐标是(x，x＋1)，依题意有
0 0
由此得x＋1＝0，x＝－1，a＝2.
0 0
5．（多选题）（2021·江苏高二）以下函数求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【详解】对A， ，故A正确
对B， ，故B错；对C，所以C正确对D， ，故D错；故选：AC
6．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得
，则称 是 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】在A中，若 ，则 ，则 ，这个方程显然有解，故A符合要求；
在B中，若 ，则 ，即 ，此方程无解，故
B不符合要求；在C中，若 ，则 ，由 ，令 ， （
），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；
在D中，若 ，则 ，由 ，可得 ，故D符合要求．故选：
ACD．
二、填空题
7．（2020·陕西彬州市高二月考）已知y＝ ，则y′＝________ ．
【答案】【详解】y＝ ＝ ＝- ln(1＋x2)，所以y′＝－ ·(2x)＝ .
8．（2020·洛阳市第一高级中学高二月考）函数 的图像在点 处的切线的
斜率为_________.
【答案】
【详解】因为函数 ，所以 ，则在点 处的切线的斜率
.
9．（2020·广东湛江市·湛江二十一中高二开学考试）若函数 ， ，
则 __________.
【答案】3
【详解】由 ，得 ，
， ， 。
10．（2020·广东中山市）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值
依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格
有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的
因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数
在 处偏导数的全过程：
， ，所以 ，
，由上述过程，二元函数 ，则
______.
【答案】【详解】根据题意，得到 ， ，
则 ， ，因此 .
三、解答题
11．设函数f (x)＝aexln x＋.
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
【详解】(1)由f (x)＝aexln x＋，
得f ′(x)＝(aexln x)′＋＝aexln x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，
∴b＝2.将x＝1代入导函数f ′(x)中，
得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1.
12．（2020·江苏高二专题练习）已知函数 ，记 为 的导数，
.
（1）求 ；
（2）猜想 的表达式，并证明你的猜想.
【详解】解：（1）因为 ，则 ， ，
（2）猜想： .
下面用数学归纳法证明：
①当 时， ，结论成立；
②假设 （ 且 ）时，结论成立，即 .
当 时，.
所以当 时，结论成立.
所以由①②可知对任意的 结论成立.
