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1998 年新疆高考理科数学真题及答案
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）sin330°等于（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16
4．（4分）两条直线Ax+By+C＝0，Ax+By+C＝0垂直的充要条件是（ ）
1 1 1 2 2 2
A．AA+BB＝0 B．AA﹣BB＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
C． D．
5．（4分）函数f（x） （ x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A．x（x≠0） B． （x≠0） C．﹣x（x≠0） D． （x≠0）
6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范
围是（ ）
第1页 | 共25页A． * B．
C． D．
7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°
8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． i B． i C．± i D．± i
9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S，那么（ ）
0
A．2 B．S C．2S＝S+S′
0 0
D．S2＝2S'S
0
10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，
那么水瓶的形状是图中的（ ）
A． B．
第2页 | 共25页C． D．
11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名
护士．不同的分配方法共有（ ）
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
12．（4分）椭圆 1的焦点为F和F，点P在椭圆上，如果线段PF的中点在y轴
1 2 1
上，那么|PF|是|PF|的（ ）
1 2
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这3个
点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin
15．（4分）在等比数列{a}中，a＞1，且前n项和S满足 S ，那么a的取值范围
n 1 n n 1
是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1， ）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
16．（5分）已知圆C过双曲线 1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，
则圆心到双曲线中心的距离是 ．
17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为 （用数字作答）．
第3页 | 共25页18．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，
1 1 1 1
有AC⊥BD．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
1 1 1
19．（5分）关于函数f（x）＝4sin （x∈R），有下列命题：
①由f（x）＝f（x）＝0可得x﹣x必是π的整数倍；
1 2 1 2
②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos ；
③y＝f（x）的图象关于点 对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x 对称．
其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（共6小题，满分70分）
20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C ．求
sinB的值．以下公式供解题时参考：
sinθ+sin∅＝2sin cos ，
sinθ﹣sin∅＝2cos sin ，
第4页 | 共25页cosθ+cos∅＝2cos cos ，
cosθ﹣cos∅＝﹣2sin sin ．
21．（12分）如图，直线l和l相交于点M，l⊥l，点N∈l．以A，B为端点的曲线段C
1 2 1 2 1
上的任一点到l的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM| ，|
2
AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀
箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知
流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问
当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽
略不计）．
23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，∠ABC＝
1 1 1 1 1
90°，BC＝2，AC＝2 ，且AA⊥AC，AA＝AC．
1 1 1 1
（1）求侧棱AA与底面ABC所成角的大小；
1
（2）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的大小；
1 1
（3）求顶点C到侧面AABB的距离．
1 1
第5页 | 共25页24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位
长度后得曲线C．
1
（1）写出曲线C的方程；
1
（2）证明曲线C与C关于点A（ ， ）对称；
1
（3）如果曲线C与C有且仅有一个公共点，证明s t且t≠0．
1
25．（12分）已知数列{b}是等差数列，b＝1，b+b+…+b＝145．
n 1 1 2 10
（1）求数列{b}的通项b；
n n
（2）设数列{a}的通项a＝log （1 ）（其中a＞0，且a≠1），记S是数列{a}
n n a n n
的前n项和．试比较S与 logb 的大小，并证明你的结论．
n a n+1
第6页 | 共25页1998年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）sin330°等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵
故选：B．
2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：法一：由题设知 y ，
又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．
法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1．
所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选B．
故选：B．
3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（ ）
A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4
C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16
【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为：
第7页 | 共25页ρ2＝4ρcosθ，
化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，
即y2+（x﹣2）2＝4．
故选：B．
4．（4分）两条直线Ax+By+C＝0，Ax+By+C＝0垂直的充要条件是（ ）
1 1 1 2 2 2
A．AA+BB＝0 B．AA﹣BB＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
C． D．
【解答】解：直线Ax+By+C＝0的方向向量为（﹣B，A），直线Ax+By+C＝0的方
1 1 1 1 1 2 2 2
向向量为（﹣B，A），
2 2
两条直线Ax+By+C＝0，Ax+By+C＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，
1 1 1 2 2 2
即：（﹣B，A）（﹣B，A）＝0 可得AA+BB＝0
1 1 2 2 1 2 1 2
故选：A．
5．（4分）函数f（x） （ x≠0）的反函数f﹣1（x）＝（ ）
A．x（x≠0） B． （x≠0） C．﹣x（x≠0） D． （x≠0）
【解答】由y 得x 且y≠0，所以反函数f﹣1（x） 且x≠0 故选则B
6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范
围是（ ）
A． * B．
C． D．
【 解 答 】 解 ： ∵ ⇒ ⇒
第8页 | 共25页故选：B．
7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°
【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，
设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周
长为2π，
该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°
故选：C．
8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A． i B． i C．± i D．± i
【解答】解：∵﹣i＝cos isin ，其立方根是 cos isin
，k∈0，1，2，
即 i， i， i，
故选：D．
9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S，那么（ ）
0
A．2 B．S C．2S＝S+S′
0 0
D．S2＝2S'S
0
【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，
根据相似比的性质可得： ，可得：
第9页 | 共25页消去r，可得2
故选：A．
10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，
那么水瓶的形状是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，
其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；
由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，
每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
第10页 | 共25页其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．
故选：B．
11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名
护士．不同的分配方法共有（ ）
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C1C2C1C2＝540种．
3 6 2 4
故选：D．
12．（4分）椭圆 1的焦点为F和F，点P在椭圆上，如果线段PF的中点在y轴
1 2 1
上，那么|PF|是|PF|的（ ）
1 2
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
【解答】解：由题设知F（﹣3，0），F（3，0），
1 2
如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF 的中点坐标为（ ， ）
1
∵线段PF的中点M在y轴上，
1
∴ 0
∴x＝3
将P（3，y）代入椭圆 1，得到y2 ．
∴|PF| ，
1
|PF| ．
2
∴ ．
故选：A．
第11页 | 共25页13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这3个
点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
【解答】解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，
则O′是△ABC的中心，则O′A＝r＝2，又因为∠AOC＝θ ，
OA＝OC知OA＝AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，
故 OA＞O′A． 所 以 O′A＜OA＜ 2O′A． 因 为 OA＝R， 所 以 2 ＜R＜ 4 ．
因此，排除A、C、D，得B．
解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB＝2rsin60°＝2 ．
因为∠AOB＝θ ，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R＝OA＝AB＝2 ．
第12页 | 共25页解法三：因为正三角形ABC的外径r＝2，故高AD r＝3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC ，所以BC＝BO＝R，BD BC R．
在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2 R2+9，所以R＝2 ．
故选：B．
14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin
【解答】解：设Rt△ABC中，C ，则A与B互余且A为最小内角．
又由已知得sin2B＝sinA，即cos2A＝sinA，1﹣sin2A＝sinA，
解得sinA 或sinA （舍）．
故选：B．
15．（4分）在等比数列{a}中，a＞1，且前n项和S满足 S ，那么a的取值范围
n 1 n n 1
是（ ）
A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1， ）
【解答】解：由题意知 S ，
n
∴a2＝1﹣q，
1
∵a＞1，|q|＜1，∴1＜a2＜2，
1 1
∴ ．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
第13页 | 共25页16．（5分）已知圆C过双曲线 1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，
则圆心到双曲线中心的距离是 ．
【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，
所以圆C的圆心的横坐标为4．
故圆心坐标为（4，± ）．
∴它到中心（0，0）的距离为d ．
故答案为： ．
17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为 17 9 （用数字作答）．
【解答】解：（x+2）10（x2﹣1）＝x2（x+2）10﹣（x+2）10
∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数
∵（x+2）10展开式的通项为T ＝Crx10﹣r2r＝2rCrx10﹣r
r+1 10 10
∴令r＝0，2分别得x10，x8的系数为1，180
故展开式中x10的系数为180﹣1＝179，
故答案为179
18．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 A C ⊥ B D
1 1 1 1
时，有AC⊥BD．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情
1 1 1
形．）
第14页 | 共25页【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣ABCD是直棱柱，
1 1 1 1
∴BD⊥AA，若AC⊥BD
1 1 1 1 1 1
则BD⊥平面AACC
1 1 1 1
∴BD⊥AC，
1 1
又由BD∥BD，
1 1
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到AC⊥BD
1 1 1
故答案为：BD⊥AC．
19．（5分）关于函数f（x）＝4sin （x∈R），有下列命题：
①由f（x）＝f（x）＝0可得x﹣x必是π的整数倍；
1 2 1 2
②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos ；
③y＝f（x）的图象关于点 对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x 对称．
其中正确的命题的序号是 ② ．（把你认为正确的命题序号都填上）
【解答】解：函数f（x）＝4sin 的最小正周期T＝π，
由相邻两个零点的横坐标间的距离是 知①错．
利用诱导公式得f（x）＝4cos
＝4cos 4cos ，知②正确．
由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，
第15页 | 共25页将x 代入得f（x）＝4sin 0，
因此点（ ，0）不是f（x）图象的一个对称中心，
故命题③错误．
曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x 时y＝
0，点
（ ，0）不是最高点也不是最低点，
故直线x 不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
故答案为：②
三、解答题（共6小题，满分70分）
20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C ．求
sinB的值．以下公式供解题时参考：
sinθ+sin∅＝2sin cos ，
sinθ﹣sin∅＝2cos sin ，
cosθ+cos∅＝2cos cos ，
cosθ﹣cos∅＝﹣2sin sin ．
【解答】解：由正弦定理和已知条件a+c＝2b得sinA+sinC＝2sinB．
第16页 | 共25页由和差化积公式得2sin cos 2sinB．
由A+B+C＝π得sin cos ，
又A﹣C 得 cos sinB，
所以 cos 2sin cos ．
因为0 ，cos 0，
所以sin ，
从而cos
所以sinB ．
21．（12分）如图，直线l和l相交于点M，l⊥l，点N∈l．以A，B为端点的曲线段C
1 2 1 2 1
上的任一点到l的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM| ，|
2
AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
【解答】解：法一：如图建立坐标系，
以l为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
1
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为
2
C的端点．
第17页 | 共25页设曲线段C的方程为
y2＝2px（p＞0），（x≤x≤x，y＞0），
A B
其中x，x分别为A，B的横坐标，p＝|MN|．
A B
所以M（ ，0），N（ ，0）．
由|AM| ，|AN|＝3得
（x ）2+2px＝17，①
A A
（x ）2+2px＝9．②
A A
由①，②两式联立解得x ．再将其代入①式并由p＞0解得
A
因为△AMN是锐角三角形，所以 x，故舍去
A
所以p＝4，x＝1．
A
由点B在曲线段C上，得x＝|BN| 4．
B
综上得曲线段C的方程为
y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
解法二：如图建立坐标系，
分别以l、l为x、y轴，M为坐标原点．
1 2
作AE⊥l，AD⊥l，BF⊥l，垂足分别为E、D、F．
1 2 2
设A（x，y）、B（x，y）、N（x，0）．
A A B B N
依题意有
x＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，
A
y＝|DM| ，
A
由于△AMN为锐角三角形，故有
x＝|ME|+|EN|
N
第18页 | 共25页＝|ME| 4
x＝|BF|＝|BN|＝6．
B
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{（x，y）|（x﹣x）2+y2＝x2，x≤x≤x，y＞0}．
N A B
故曲线段C的方程为y2＝8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．
22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀
箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知
流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问
当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽
略不计）．
【解答】解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y ，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），
得b （0＜a＜30）．①
第19页 | 共25页于是y
，
当a+2 时取等号，y达到最小值．
这时a＝6，a＝﹣10（舍去）．
将a＝6代入①式得b＝3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab＝30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2 ，
所以 ab≤30，
当且仅当a＝2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b2＝18．解得b＝3，a＝6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣ABC的侧面AACC与底面ABC垂直，∠ABC＝
1 1 1 1 1
90°，BC＝2，AC＝2 ，且AA⊥AC，AA＝AC．
1 1 1 1
（1）求侧棱AA与底面ABC所成角的大小；
1
（2）求侧面AABB与底面ABC所成二面角的大小；
1 1
（3）求顶点C到侧面AABB的距离．
1 1
第20页 | 共25页【解答】（1）解：如图作AD⊥AC，垂足为D，由面AACC⊥面ABC，得AD⊥面ABC，
1 1 1 1
所以∠AAD为AA与面ABC所成的角．
1 1
因为AA⊥AC，AA＝AC，
1 1 1 1
所以∠AAD＝45°为所求．
1
（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连AE，则由AD⊥面ABC，得AE⊥AB．
1 1 1
所以∠AED是面AABB与面ABC所成二面角的平面角．
1 1 1
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2 ，
所以DE＝1，AD＝AD ，tan∠AED ．
1 1
故∠AED＝60°为所求．
1
（3）解法一：由点C作平面AABB的垂线，垂足为H，
1 1
则CH的长是C到平面AABB的距离．
1 1
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又AE⊥AB，知HB∥AE，且BC∥ED，
1 1
所以∠HBC＝∠AED＝60°
1
所以CH＝BCsin60° 为所求．
解法二：连接AB．
1
根据定义，点C到面AABB的距离，即为三棱锥C﹣AAB的高h．
1 1 1
由 得 ，
即
第21页 | 共25页所以 为所求．
24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位
长度后得曲线C．
1
（1）写出曲线C的方程；
1
（2）证明曲线C与C关于点A（ ， ）对称；
1
（3）如果曲线C与C有且仅有一个公共点，证明s t且t≠0．
1
【解答】（1）解：曲线C的方程为 y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s．
1
（2）证明：在曲线C上任取一点B（x，y）．设B（x，y）是B关于点A的对称点，
1 1 1 2 2 2 1
则有 ， ，所以x＝t﹣x，y＝s﹣y．
1 2 1 2
代入曲线C的方程，得x和y满足方程：
2 2
s﹣y＝（t﹣x）3﹣（t﹣x），即y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s，可知点B（x，y）
2 2 2 2 2 2 2 2 2
在曲线C上．
1
反过来，同样可以证明，在曲线C上的点关于点A的对称点在曲线C上．
1
因此，曲线C与C关于点A对称．
1
（ 3 ） 证 明 ： 因 为 曲 线 C与 C 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 ， 所 以 ， 方 程 组
1
有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2﹣3t2x+（t3﹣t﹣s）＝0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一
个根．
第22页 | 共25页所以t≠0并且其根的判别式△＝9t4﹣12t（t3﹣t﹣s）＝0，即
所以 且t≠0．
25．（12分）已知数列{b}是等差数列，b＝1，b+b+…+b＝145．
n 1 1 2 10
（1）求数列{b}的通项b；
n n
（2）设数列{a}的通项a＝log （1 ）（其中a＞0，且a≠1），记S是数列{a}
n n a n n
的前n项和．试比较S与 logb 的大小，并证明你的结论．
n a n+1
【解答】解：（1）设数列{b}的公差为d，由题意得
n
解得
所以b＝3﹣2．
n n
（2）由b＝3﹣2，知
n n
S＝log（1+1）+log（1 ）++log（1 ）
n a a a
＝log[（1+1）（1 ）（1 ）]， logb ＝log ．
a a n+1 a
因此要比较S与 logb 的大小，可先比较（1+1）（1 ）（1 ）与
n a n+1
的大小．
取n＝1有（1+1） ，
第23页 | 共25页取n＝2有（1+1）（1 ） ，
由此推测（1+1）（1 ）（1 ） ．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，S logb ．
n a n+1
当0＜a＜1时，S logb ．
n a n+1
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n＝1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n＝k（k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1 ）（1 ） ．
那么，当n＝k+1时，
（1+1）（1 ）（1 ）（1 ） （1 ）
（3k+2）．
因为 ，
所以 （3k+2） ．
因而（1+1）（1 ）（1 ）（1 ） ．
这就是说①式当n＝k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．
由此证得：
第24页 | 共25页当a＞1时，S logb ．
n a n+1
当0＜a＜1时，S logb ．
n a n+1
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