文档内容
111公式章 1 节 1课时同步练
5.1.1~5.1.2 变化率问题和导数的概念
一、单选题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x 处的增量Δ x（ ）
0
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零
【答案】D
【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。
解:函数在某点处横坐标的增量可正可负，不确定，但不可为0，
故选D
2．设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】自变量 由 改变到
当 时，
当 时，
故选D
3．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则 等于（ ）
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
【答案】C
【解析】 ＝2＋Δx.
故选C.4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④ 中，平均变化率最大的是
（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
【答案】B
【解析】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k＝
1 2
2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝ 在x＝1附近的平
3
均变化率k＝－ ＝－ .∴k＞k＞k＞k，
4 3 2 1 4
故选B.
5．已知曲线 和这条曲线上的一点 ，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝ (Δx＋1)2，
故选C.
6．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点 及邻近一点 ，则 ＝（ ）
A．3 B．－3 C．－3－ D．－ －3
【答案】D【解析】 ，
.
故选D.
7．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为（ ）
A．6 B．18 C．54 D．81
【答案】B
【解析】因为 ＝ ＝ ＝18＋3Δt，
所以 ＝18.
故选B.
8．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【解析】由平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是：
.
故选B.
9．已知点P(x，y)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x)＝0，则点P的坐标为（ ）
0 0 0
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
【答案】B
【解析】结合函数的解析式有：则 ,
令 可得： ，
把x＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.
0
∴P点坐标为(－1，－2).
故选B.
10．f(x)在x＝x 处可导，则 （ ）
0
A．与x，Δx有关 B．仅与x 有关，而与Δx无关
0 0
C．仅与Δx有关，而与x 无关 D．与x，Δx均无关
0 0
【答案】B
【解析】由定义知函数 在 处的导数，只与 有关
故选
11．设函数 在 处存在导数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ．
故选A ．
12．函数y＝x2在区间[x, x+△x]上的平均变化率为k，在[x﹣△x，x]上的平均变化率为k，则k 与k 的
0 0 1 0 0 2 1 2
大小关系是（ ）A．k＞k B．k＜k C．k＝k D．k 与k 的大小关系不确定
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【解析】由题意结合函数的解析式有：
，
，
则 ，因为Δx可大于零，所以k>k.
1 2
故选A.
二、填空题
13．已知函数y＝x3－2，当x＝2时， ________.
【答案】
【解析】
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
故填
14．在x＝2附近， 时，函数 的平均变化率为________．
【答案】
【解析】 ，
故填15．函数 在x＝1附近，当 时的平均变化率为________．
【答案】
【解析】
故填
16．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
故 ，
令 可得： ，
即在t＝ 时的瞬时速度为1.
故填
17．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.【答案】
【解析】由函数f(x)的图象知， ,
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为： .
故填
18．已知函数f(x)＝ ，则f′(2)＝________.
【答案】
【解析】
故填
三、解答题
19．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
【解析】函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 .函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 .
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 .
20．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.
【解析】因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞).
21．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s).
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；
（3）求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.
【解析】（1） .
当Δt→0时， →3，
所以v＝3.
0
（2） .
当Δt→0时， ，所以t＝2时的瞬时速度为－1.
（3） .
22．求y＝x2＋ ＋5在x＝2处的导数.
【解析】
