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5.3.1函数的单调性(2) -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）已知函数 的单调递减区间为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得 的解集为 ，所以不等式 的解集为
，
所以 ，故选：B
2．（2020·全国高二课时练习（文））已知函数 ，则 是 的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】由题意可得： 恒成立，所以函数 在 上递增，
又 ，所以函数 是奇函数，
当 时，即 ，所以 ，即 ；
当 时，即 ，所以 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.
3．（2021·全国高二课时练）若函数 恰好有三个不同的单调区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得 ， 函数 恰好有三个不同的单调区间，
有两个不同的零点，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：D.
5．（多选题）（2020·全国高二课时练）已知函数 ，若 ，则下列结论正
确的是( )
A．
B．
C．
D．当 时，
【答案】AD
【详解】令 ，在(0，+∞)上是增函数，∴当 时， ，
∴ 即 ；故A正确；令 ，
，
时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减．
与 无法比较大小；故B错误；因为令 ， ，时， ， 在 单调递减， 时， ， 在
单调递增， 当 时， ， ，
， ．当 时， ，
， ， ；故C错误；因为
时， 单调递增，又因为A正确，
故D正确；故选：AD．
6．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
【答案】AC
【详解】由 知函数的定义域为 ， ，
当 时， ， ，
故 在 单调递增，A正确；由 ，当 时， ，
当 ，所以 只有0一个零点，B错误；
令 ， ，故曲线 在点 处切线的斜率为
，C正确；
由函数的定义域为 ，不关于原点对称知， 不是偶函数，D错误；故选：AC
二、填空题
7．（2021·天津河西区·高二期末）函数 的单调递增区间是________.
【答案】
【详解】 ， ，令 ，即 ，解得 ，
的单调递增区间是 .
8．（2021·陕西省黄陵县中学高二期末）若函数 的单调递减区间为
，则 _________．
【答案】
【详解】由题意 ，所以 的两根为 和3，
所以 ，所以 ， ．
9．（2021·安徽淮南市高二期末）已知函数 ．若函数 在 上单
调递减，则实数 的最小值为________ ．
【答案】6【详解】 ， ，可得 ，
令 ，若函数 在 上单调递减，即
当 时， 单调增， ，
所以函数 在 上单调递增， ，所以 .
10．（2021·陕西西安市高二期末）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足
， ，则 的解集为_________.
【答案】
【详解】设 ，因为 ，
所以 是 上的减函数，
因为 ，所以 ，
因此 .
所以 的解集为 .故答案为：
三、解答题
11．（2021·安徽省舒城中学高二期末）已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
，所以函数 在点 处的切线的斜率为
，
又 ，
所以函数 在点 处的切线方程为
（2）因为 在 上是单调增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上为单调递减函数，所以当 时， 取得最大值0，
所以 .
12．（2021·浙江高二期末）已知函数
（1）若 ，试求 在 点处的切线方程；
（2）当 时，试求函数 的单调增区间；
（3）若在定义域上恒有 成立，求实数 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，， ，
由切线过点 ，所以切线方程为 ，
即切线方程为 .
(2) 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ，
当 即 时， 恒成立，则函数 的单调增区间为 ，
当 即 时， 时， ，函数 的单调增区间为 ，
当 即 时， 时， ，则函数 的单调增区间为 .
综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区
间为 .
(3)函数定义域为 ，
恒成立即 恒成立，
当 时， 必成立， ，令 ，
则
，
在 上 ，在 上 ，
在 单调递减， 上单调递增，
，故 .
