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选择性必修第二册 期末模块检测试卷 能力提升B 卷
解析版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1．已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，若 ，则 （
）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】D
【分析】
设数列 是公差为 ， ，根据等差数列的通项公式及前 项和公式计算可得；
【详解】
解：设数列 是公差为 ， ，首项为 ，因为
所以 ，所以 ，所以
所以
故选：D
2．在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】
根据已知分析数列的周期性，可得答案．【详解】
解：∵ ， ，∴ ， ， ， .
∴该数列是周期数列，周期 .
又 ，∴ ，
故选：A.
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，
13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人
们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若 是“斐波那契数列”，则
的值为（ ）.
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】
由已知数列的特点依次求出 ， ， ， 的值，发现这些数依次为
，进而可求出答案
【详解】
由题设可知，斐波那契数列 为：
其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：
，
，
，
，
，则
.
故选：B.
4．已知数列 满足 ，设 ， 为数列 的前n
项和.若 对任意 恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
先求出 的通项，再利用裂项相消法可求 ，结合不等式的性质可求实数t的最小值.
【详解】
时， ，
因为 ，
所以 时， ，
两式相减得到 ，故 时不适合此式，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；所以t的最小值 ；
故选：C.【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和
法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两
项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
5．已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =
A． B．7 C．6 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由等比数列的性质知，aaa，aaa，aaa 成等比数列，所以aaa＝
1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6
故答案为
考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．
6．定义：如果函数 在区间 上存在 ，满足
， ，则称函数 是在区间 上的一个
双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
∵函数 是区间 上的双中值函数，
∴区间 上存在 ，满足
∴方程 在区间 有两个不相等的解，
令 ，
则 ，
解得
∴实数 的取值范围是 .
故选:A．
7．若函数 满足 ，则 的值为（ ）．
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】
求导得到 ，取 带入计算得到答案.【详解】
，则 ，
则 ，故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， （其中 为 的
导函数），若 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 ，结合已知条件有偶函数 在 上单调减， 上单调
增，再由 即可求解集.
【详解】
由 ，而 知： 在 上单调减，
而 ，即 ，又 知： ，
∴在 上有 ，又 是定义在 上的偶函数，则 在 上为偶函数，
∴ 在 上单调增，即 ，可得 ，
综上，有 ，故选：A
【点睛】
思路点睛：由 与 组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构
造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.
二、多选题
9．设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【答案】BD
【分析】
设等差数列 的公差为 ，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列 的公差为 ，依次分析选项：
是等差数列，若 ，则 ，故B正确；
又由 得 ，则有 ，故A错误；
而C选项， ，即 ，可得 ，
又由 且 ，则 ，必有 ，显然C选项是错误的.
∵ ， ，∴ 与 均为 的最大值，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
10．已知正项数列 的前 项和为 ，若对于任意的 ， ，都有 ，则下
列结论正确的是（ ）A．
B．
C．若该数列的前三项依次为 ， ， ，则
D．数列 为递减的等差数列
【答案】AC
【分析】
令 ，则 ，根据 ，可判定A正确；由 ，可判定B错
误；根据等差数列的性质，可判定C正确； ，根据 ，可判定D错误.
【详解】
令 ，则 ，因为 ，所以 为等差数列且公差 ，故A正确；
由 ，所以 ，故B错误；根
据等差数列的性质，可得 ，所以 ， ，
故 ，故C正确；
由 ，因为 ，所以 是递增的等差数列，故D错
误.
故选：AC.
【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据 的符号，判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据 或 与1的大小关系，进行判定；
3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 有两个不同的零点
C． D．若 在 上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
求得函数的导数 ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；
根据函数的单调性和 ，且 时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，
得到 ，再结合作差比较，得到 ，可判定C正确；分离参数得到
在 上恒成立，令 ，利用导数求得函数 的单
调性与最值，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，所以当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，所以A正确；
由当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上只有一个零点，
当 时，可得 ，所以函数在 上没有零点，
综上可得函数在 只有一个零点，所以B不正确；
由函数 在 上单调递减，可得 ，
由于 ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以C正确；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻
辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出
最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
12．已知等比数列 首项 ，公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，函数
，若 ，则（ ）
A． 为单调递增的等差数列 B．
C． 为单调递增的等比数列 D．使得 成立的 的最大值为6
【答案】BCD
【分析】
令 ，利用 可得 ，
，B正确；由 可得A错误；由
可得C正确；由 ， ， 可推出
， 可得D正确.
【详解】
令 ，则 ，
， ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ， ， ，B正
确；， 是公差为 的递减等差数列，A错误；
， 是首项为 ，公比为 的递增
等比数列，C正确；
， ， ，
时， ， 时， ， 时， ， ，
时， ，又 ， ，所以使得 成立的
的最大值为6，D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
三、填空题
13．求和： ___________ ．
【答案】
【解析】
易知该数列的通项 ，故该数列的前n项和
为
14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学
新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个
音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频
率为 ，第七个音的频率为 ，则 ______．
【答案】
【分析】
将每个音的频率看作等比数列 ，利用等比数列知识可求得结果.
【详解】
由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，
可以将每个音的频率看作等比数列 ，一共13项，且 ，
最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
， ，
，
．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.
15．已知 是 ， 的等差中项， 是 ， 的等比中项，则
______.
【答案】
【分析】
由题意得 ， ，消去 ，可得 ，化简得 ，得 ，则有
【详解】
由题设可知：
由 是 ， 的等差中项，则 ①，
是 ， 的等比中项，则 ②，
则有①②可知： ③，
， ，
则将③式变形得： ，
即 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：此题考查等差中项、等比中项的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关
键是由已知条件得 ， ，消去 ，可得
，再利用三角函数恒等变换公式化简可得结果，考查转化思想和计算能力，
属于中档题
16．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．
设该药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，甲、乙两人服用该药物后，血管中药
物浓度随时间 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：
① 在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在 , 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两
人在 时刻的切线的斜率不相等，即两人的 不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬
时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是
，故③正确；④在 时间段，甲的平均变化率是 ，在 时间
段，甲的平均变化率是 ，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是
.
四、解答题
17．设数列 的前n项和为 ，从条件① ，② ，③
中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列 的前n项和为 ，
，____.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n和 .
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）若选①可得 为常数数列，即可求出 ；若选②利用 可得
，即可得 为常数数列，即可求出 ；若选③利用 可得
，即可得到数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；
（2）利用错位相减法求和；
【详解】
选条件①时，
（1） 时，整理得 ，
所以 .
（2）由（1）得： ，设 ，其前 项和为 ，
所以 ①，
②，
① ②得： ，
故 ，
所以 .
选条件②时，
（1）由于 ，
所以 ①，当 时， ②，
① ②得： ，
，
整理得 ，
所以 .
（2）由（1）得： ，
设 ，其前 项和为 ，
所以 ①，
②，
① ②得： ，
故 ，所以 .
选条件③时，
由于 ， ①
②
① ②时， ，整理得 （常数），
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以 .
（2）由（1）得： ，
设 ，其前 项和为 ，
所以 ①，
②，
① ②得： ，
故 ，
所以 .
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
18．已知 为等差数列， 为等比数列， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；（2）对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意可得出关于 、 的方程
组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，推导出：当 为正奇数时，
，当 为正偶数时， ，利用裂项相消法可求出 ，利
用错位相减法可求得 ，进而可求得数列 的前 项和 .
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ，则 ，可得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，整理得 ，解得 ，
所以 ；
（2）设数列 的前 项和中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
对任意的正整数 ，，
，①，
由① 得 ，②，
① ②得
，
化简得 .
因此，数列 的前 项和为 .
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和.
19．已知函数 ( )．（1）若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意转化为 有两个变号零点，再参变分离后得 ，利用图象求 的取值
范围；（2）首先构造函数 ( )，求函数的二次导数，分析函数的单调性，
并求函数的最值，并证明不等式.
【详解】
（1） 的定义域为 ， ，
若函数 有两个极值点，则 有两个变号零点，
等同于 ，
即水平直线 与曲线 有两个交点( 不是 的切线)，
令 ， 的定义域为 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递减，则 为 的极大值，也为最大值，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 且为正数，
则 的图像如图所示，则此时 ；
（2）证明：令 ( )，则只需证明当 时 恒成立即可，
则 ，令 ，
则 ，
当 时 ， ， ， ，
则 ，则 在 时单调递增，
又 ，
∴ 时， ，则 在 时单调递增，
∴当 时 ，即当 时， ．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
其中一种重要的技巧就是找到函数 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.
20．已知数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题可知数列 为等比数列，公比 ，进一步求出 的通项公式，所以
，利用累加法求出数列 的通项公式；
（2）利用 对数列进行放缩 ，化简求出答案.
【详解】
（1） ，所以数列 为等比数列，公比 ，所以 ，
所以
（2）证明：
【点睛】
放缩法的注意事项：（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩
失当的现象。
21．设函数
（1）若函数 在 上递增，在 上递减，求实数 的值.
（2））讨论 在 上的单调性；
（3）若方程 有两个不等实数根 ，求实数 的取值范围，并证明 .
【答案】（1） （2）见解析（3） ，见解析
【分析】
（1）根据单调区间判断出 是极值点，由此根据极值点对应的导数值为 求解出 的值，并注
意验证是否满足；
（2）先求解出 ，然后结合所给区间对 进行分类讨论，分别求解出 的单调性；
（3）构造函数 ，分析 的取值情况，由此求解出 的取值范
围；将证明 通过条件转化为证明 ，由此构造新函数
进行分析证明.
【详解】
（1）由于函数函数 在 上递增，在 上递减，
由单调性知 是函数的极大值点，无极小值点，所以 ，∵ ，
故 ，此时 满足 是极大值点，
所以 ；
（2）∵ ，
∴ ，
①当 时， 在 上单调递增.
②当 ，即 或 时， ，
∴ 在 上单调递减.
③当 且 时，
由 得 .
令 得 ；令 得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上递增；
当 或 时， 在 上递减；
当 且 时， 在 上递增，在 上递减.
（3）令 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 在 处取得最小值为
又当 ，由图象知：
不妨设 ，则有 ，
令
在 上单调递增，故
即 ，
【点睛】
本题考查函数与导数的综合运用，涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双
变量构造函数问题，难度较难.（1）已知 是 的极值点，利用 求解参数值后，要
注意将参数值带回验证是否满足；（2）导数中的双变量证明问题，一般的求解思路是：先通过转
化统一变量，然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.22．已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性.
（2）是否存在 ，对任意 ，总存在 ，使得 成立？若存
在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）存在， .
【分析】
（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；
（2）对a进行分类讨论，分为 ， ， 三种情况，利用导数研究函数的最值，从
而进行分析求解即可.
【详解】
（1）由 ，得 ，
当 时，对任意 ， ，所以 单调递减；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）存在满足条件的实数 ，且实数 的值为 ，
理由如下：
①当 ，且 时，由（1）知， 在 上单调递减，
则 时， ，
则 ，
所以此时不满足题意；②当 时，由（1）知，在 上， 单调递增，
在 上， 单调递减，
则当 时， ，
当 时，对任意 ，
，
所以此时不满足题意；
③当 时，令 （ ），
由（1）知 在 上单调递增，进而知 在 上单调递减，
所以 ， ，
若对任意的 ，总存在 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
所以 ，解得 ，
综上，存在满足题意的实数 ，且实数 的值为 .
【点睛】
方法点睛：利用导数研究函数的单调性的一般步骤：①确定函数的定义域；②求导函数；③若求单
调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式 或
（不恒等于0）即可.
