文档内容
5.1.2导数的概念及其几何意义 -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练）若 （m为常数），则 等于（
）
A． B．1 C．m D．
【答案】D
【详解】由题意，根据导数的概念可得，
，所以 .
2．（2020·全国高二课时练）已知函数 在 上可导，其部分图象如图所示，设 ，
则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
又 ，所以 .
3．（2020·全国高二课时练）已知直线 经过 ， 两点，且与曲线 切于点
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】 直线 经过 ， 两点， .
直线与曲线 切于点 ，可得曲线在 处的导数为： ，
所以 .
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)
【答案】C
【详解】因为y＝x3，所以y′＝lim ＝lim[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
5．（多选题）（2020·河北正定高二月考）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药
物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，
甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间 变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论正确的是（ ）
A.在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B. 在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
C. 在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D. 在 , 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
【答案】ACD
【详解】A在 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B
甲、乙两人在 时刻的切线的斜率不相等，即两人的 不相同，所以甲、乙两人血管中药物
浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都
是 ，故C正确；D在 时间段，甲的平均变化率是 ，在 时
间段，甲的平均变化率是 ，显然不相等，故D正确.
6．（多选题）（2020·山西师大附中高二月考）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则函数 在 处无切线
B．函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点
C．曲线 在 处的切线方程为 ，则当 时，
D．若函数 的导数 ，且 ，则 的图象在 处的切线方程为
【答案】BD
【详解】若 ，则函数 在 处的切线斜率为0，故选项 错误；
函数 的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数 ，在 处的切
线为 ，与函数的图象还有一个公共点 ，故选项 正确；
因为曲线 在 处的切线方程为 ，所以
又 ，故选项 错误；因为函数 的导数 ，所以 ，又 ，所以切点坐标为
，斜率为 ，所以切线方程为 ，化简得 ，故选项 正确．
二、填空题
7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
【答案】2
【详解】∵f ′(1)＝2，又lim ＝lim ＝lim (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，
∴b＝2.∴＝2.
8．（2020·江西九江高二月考）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
则 _____．
【答案】2
【详解】由图像的信息可知 ．
9．已知曲线y＝f (x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切
线，则曲线f (x)在交点处的切线方程为________．
【答案】(1，1)； x－2y＋1＝0
【详解】 [由得∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由f (x)＝，得f ′(x)＝lim ＝lim ＝，
∴y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
10．（2020·湖南衡阳高二月考）已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任
意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为________．
【答案】2
【详解】由导数的定义，得f ′(0)＝lim ＝lim ＝lim (a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f (x)≥0，
则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2.
三、解答题11．（2020·全国高二课时练）在曲线 上求一点 ，使得曲线在点 处的切线分别满足下
列条件：
（1）平行于直线 ；
（2）垂直于直线 ；
（3）倾斜角为 ．
【详解】设点P的坐标为 ，则
，
∴当 趋于0时， ．
（1）∵切线与直线 平行，∴ ，即 ，
∴ ， ，即 ．
（2）∵切线与直线 垂直，
∴ ，即 ，
∴ ， ，即 ．
（3）∵切线的倾斜角为 ，
∴ ，即 ，
∴即 ， 即 ．
12．（2020·山东菏泽三中高二期中）设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最
小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．【详解】∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax
－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f ′(x)＝lim ＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－.
由题意知f ′(x)的最小值是－12，
∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.
