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4.2.2等差数列的前n项和公式（2） -B提高练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练）某城市 年有人口 万，该年医疗费用投入 亿元，此后 年
该城市每年新增人口 万，医疗费用投入每年新增 亿元，已知 年该城市医疗费用人均投入
元，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从 年起该城市的人口组成一个首项为 ，公差为 的等差数列，
到 年，该城市的人口为 万，
故 年的医疗费用投入为 (元)，即 亿元，
由于从 年到 年医疗费用投入组成一个首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，解得 ，故选A．
2．（2020·吉林市第二中学高二期中）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：
“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十
岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄（都
为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为（ ）
A．71 B．72 C．89 D．90
【答案】C
【详解】设这些老人的年龄形成数列 ，设最年长者的年龄为 ，
则由题可知数列 是公差为-1的等差数列，且 ，
则 ，解得 .故选：C.3．（2021·上海松江区高二期末）记 为数列 的前项和，已知点 在直线 上，
若有且只有两个正整数n满足 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由已知可得 ，由 ，所以数列 为等差数列，首项为
8，公差为-2，所以 ，当n=4或5时， 取得最大值为20，
因为有且只有两个正整数n满足 ，所以满足条件的 和 ，
因为 ，所以实数k的取值范围是 ．故选：C．
4．（2021·榆树市第一高级中学校高二期末）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、
亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正
射影．其正六边形的边长计算方法如下： ， ，
，…， ，其中
．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估
计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，
若 ， ．则这五层正六边形的周长总和为（ ）A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【详解】由已知得： ， ，
因此数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，设数
列 前5项和为 ，因此有
，
所以这五层正六边形的周长总和为 .故选：C.
5．（多选题）（2020·扬州大学附属中学高二期中）等差数列 的前 项和为 ，
，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．当 或 时， 取得最大值D．
【答案】ABD
【详解】∵等差数列 的前 项和为 ， ，∴ ，
解得 ，故 ，故A正确；∵ ，
，故有 ，故B正确；该数列的前 项和，它的最值，还跟 的值有关，故C错误；由于
， ，故 ，故D正确，故选：
ABD.
6. （多选题）（2021·随州一中高二期末）在数列 中，
，数列 的前n项和为 ，则下列结论正确的是（
）
A．数列 为等差数列 B．
C． D．
【答案】BD
【详解】依题意得，当n是奇数时， ，即数列 中的偶数项构成以 为首项，
1为公差的等差数列，所以 ，当n是偶数时， ，所以
，两式相减，得 ，即数列 中的奇数项从 开始，每隔一项的两项相
等，即数列 的奇数项呈周期变化，所以 ，在 中，令 ，得
，因为 ，所以 ，对于数列 的前31项，奇数项满足
，偶数项构成以 为首项，1为公差的等
差数列，所以 ，故选：BD
二、填空题
7．（2021·安徽六安市高二期末）设等差数列 的前n项和为 ，公差 且 ，则取得最小值时，n的值为_________．
【答案】3或4
【详解】由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．因为 ，所以 是递增数列，所以
，显然前3项和或前4项和最小．
8．（2021·河南信阳市高二期末）设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知
， ，若对任意 都有 成立，则 的值为__________．
【答案】
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，解得 ，
.
所以，当 时， 取得最大值，
对任意 都有 成立，则 为数列 的最大值，因此， .
9．（2021·河南驻马店市高二期末）数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，
5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…， 的有 个，则该数列第
2020项是__________．
【答案】
【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列 ，
因为 ，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最
后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替
规则，其为 .10．（2020·山东菏泽高二期末）植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相
邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第 （ ）个树坑旁边，则将树苗集中
放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.
【答案】 .
【详解】设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为 ，
则 ，
所以
，所以当 时， 取得最小值.
三、解答题
11．（2021·云南省保山第九中学高二期末）已知正项数列 的前 项和为 ，且
.
（1）求 ；
（2）求证：数列 是等差数列.
（3）令 ，问数列 的前多少项的和最小？最小值是多少？
【详解】解：（1）由已知得， ， ， ；
， ，化简得， ，又由已知得， ，
（2）由题意得， ，①
令 ，得 ，②
得， ，
化简得， ，进而得到，
，又由 为正项数列得， ，故有，
，所以， ，故数列 是等差数列，由（1）得， ，所以，
（3）由（2）得， ，明显地， 为等差数列，设 的前 项和为 ，故有，
，根据二次函数的性质， 的对称轴为 ，
因为 为正整数，明显地，取 或 时， 有最小值，故最小值为，
，所以，数列 的前9或前10项的和最小，最小值为 .
12．（2021·上海浦东新区华师大二附中高二期末）某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，
感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病
毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增
加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第 天起，每天的新感染
者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止.
（1）设11月 日当天新感染人数为 ，求 的通项公式（用 表示）；
（2）若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此
病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.【详解】(1)由题意得, 当 时是以公差为50,首项为20的等差数列,
此时 ,( ).
当 时是以公差是 ,首项为 的等差数列,
此时
故 , , .
(2)由(1)可知,前 日患者共有 人.
又第 日有 人,
第30日有 人.故 日至30日共 天的时间里共有
人
故1到30日共有 人
故 即 ,又
故 .当天新增患病人数为 人.
故11月12日,该市感染此病毒的新患者人数最多,这一天的新患者人数为570人
