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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(10)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·山东滨州·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先化简集合A，再根据并集的定义可得.
【解析】由不等式
，可得
；又因为
，因此
.
又因为
，所以
.
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）若复数
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】A
【解析】因为
为纯虚数，所以
，故
．
3．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】A
【解题思路】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.
【解析】因为
是等差数列
的前
项和，
所以
成等差数列.
所以
，
即
.
4．（2026·重庆·模拟预测）点
到直线：
的最大距离是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．
【答案】B
【解题思路】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点
到直线的最大距离转化为点
到定
点之间的距离即可求得.
【解析】把直线的方程重新整理得：
，
因为该等式对任意
都成立，所以
，解得
，
即直线恒过定点
.
当直线绕点
旋转时，点
到直线的距离会发生变化，
而当
时，距离达到最大值，即点
到直线的最大距离，就是点
到定点
的距离，
此时
.
5．（2026·福建福州·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
由
，
所以
.
6．（2026·广东·一模）已知数据
的平均数为1，方差为2，则数据
的方差为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】因
的平均数为1，方差为2，则
，
于是数据
的平均数为
，
又
，则
，
于是数据
的方差为：
.
7．（2026·山东德州·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直线与
在第一四象限的交点分别为
､
，与
轴交点为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用线段长度关系可求得点
的坐标，代入双曲线方程化简整理可求得离心率.
【解析】如下图：
易知
，所以
，且
为
的中点，
又
，所以
，因此可得
,
代入双曲线方程可得
，整理并化简可得
，即
，
解得
或
（舍）；
因为双曲线离心率
，所以
.
8．（2026·河北邯郸·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】构造函数
，求出
，构造函数
，利用导数法得到
的单调性，由
结合单调性得到
在
上单调递减，从而得到
，继而
得到
，从而得到
．
【解析】令
，则
．
令
，易知
在
上单调递减，
且
，
所以
在
上恒成立，
则
在
上单调递减，
则
，
即
，所以
，
所以
，即
．
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知直线
与函数
的图象中相邻两支曲线的交点的横
坐标分别为
，且
，则（ ）
A．
B．函数
的定义域为
C．点
是函数
的图象的一个对称中心
D．函数
与函数
的图象在
上的交点个数为4
【答案】BCD
【解题思路】利用函数最小正周期求出
判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法
求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D．
【解析】由题意可知，函数
最小正周期
，
则有
，故
，A 项错误；
因为
，所以
，
所以
，B 项正确；
令
，解得
，
则函数
图象的对称中心为
，
令
，故
是
图象的一个对称中心，故C 项正确；
画出函数
与函数
的图象，
易知两函数图象在
上共有4 个交点，故D 项正确．
10．（2026·四川内江·二模）在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在正方形
内部（不含边界）运动，若
平面
，则（ ）
A．点
的轨迹经过线段
的中点
B．点
的轨迹长度为
C．三棱锥
的体积为定值
D．球面经过
，
，
，
四点的球的半径最小值为
【答案】ACD
【解题思路】取
的中点
，连接
，根据条件可得点
的轨迹为线段
（不含端点），即可判断出
A 和B 的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设
，球心
，半径为
，利用球的性质可得
，即可求解.
【解析】如图，取
的中点
，连接
，
，易知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
是
中点，所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，则
平面
，又点
在正方形
内部（不含边界）运动，且平面
平面
，
所以点
的轨迹为线段
（不含端点），
对于A，连接
，由正方体的性质易知
与
相交，且交点为
的中点，所以A 正确，
对于B，因为
，所以点
的轨迹长度为
，故B 错误，
对于C，因为
平面
，点
是棱
的中点，
则
，所以C 正确，
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为
，
则
，设
，球心
，半径为
，
由
，得到
，解得
，
，
所以
，又
，且
，所以当
时，
取到最小值，最小值为
，故D 正确.
11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若数列
满足：
，则称数列
为有限稳定数列，记
为数列
前
项和，下列结论正确的是（ ）
A．首项为1，公比为
的等比数列是有限稳定数列
B．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）
C．若数列
满足
，则数列
是有限稳定数列
D．若数列
是有限稳定数列，则数列
是有限稳定数列
【答案】AD
【解题思路】对A，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对B，找出该等比数列公比为1 时，也满足有
限稳定数列条件，排除即可；对C，取
，计算该数列是否是有限稳定数列；对D，数列
是有限稳定
数列，则
有界，根据
证明即可.
【解析】对A，设
，
则相邻两项差的绝对值
，
设
，
则
，故该数列是有限稳定数列，A 对；
对B，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列，
因此公比的取值范围应为
，故B 错；
对C，取
，满足
，
但相邻两项差绝对值和
，随n 增大趋向于无穷大，无界，
因此该数列不是有限稳定数列，C 错；
对D， 若数列
是有限稳定数列，
有界，进而
有界，
而
，
所以
有界，即数列
是有限稳定数列，D 对.
故选：AD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2026·陕西·模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
______.
【答案】
/
【解题思路】先根据正弦定理化简题干条件可得
，进而结合余弦定理即可求解.
【解析】在
中，对于
，
由正弦定理得
，
即
，
由余弦定理得
，
又
，所以.
，故
.
13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作直线
l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，若
，则双曲线C 的离
心率e 为______.
【答案】
/
【解题思路】设
，利用算两次思想计算
即可.
【解析】如图，由题意可知
，则
，
，
设
，则
，于是
，
即
，则
，解得离心率
.
14．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）在某次“一带一路”知识竞赛中，主办方为所有参赛者设计了一个抽奖
活动：在抽奖箱中放置3 个黑球和7 个黄球（除颜色外完全相同），采用不放回摸球的方式，每位参赛者摸3 次球，
每次摸1 个球，第
次摸球，若摸到黑球，则得
元奖金，若摸到黄球，则没有奖金．现甲参加了这
次竞赛，记他获得的奖金为X 元，则
___________．
【答案】90
【解题思路】设随机变量
表示甲第
次摸球获得的奖金，求得
的期望，再由期望线性运算即可求解.
【解析】设随机变量
表示甲第
次摸球获得的奖金（
），
则总奖金
，
的取值为：若第
次摸到黑球，
；若摸到黄球，
，
由于不放回摸球时，任意一次摸到黑球的概率都是
，（黑球3 个，总数10 个）
因此
，
由期望线性运算知：
.
