文档内容
4．2.1 第二课时 等差数列的性质
[A级 基础巩固]
1．已知等差数列{a }：1,0，－1，－2，…；等差数列{b }：0,20,40,60，…，则数列{a ＋b }是( )
n n n n
A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列
解析：选D (a＋b)－(a＋b)＝(a－a)＋(b－b)＝－1＋20＝19.
2 2 1 1 2 1 2 1
2．在等差数列{a }中，a＝2，a＋a＝10，则a＝( )
n 1 3 5 7
A．5 B．8
C．10 D．14
解析：选B 由等差数列的性质可得a＋a＝a＋a＝10，又因为a＝2，所以a＝8.
1 7 3 5 1 7
3．已知等差数列{a }的公差为d(d≠0)，且a＋a＋a ＋a ＝32，若a ＝8，则m等于( )
n 3 6 10 13 m
A．8 B．4
C．6 D．12
解析：选A 因为a＋a＋a ＋a ＝4a＝32，所以a＝8，即m＝8.
3 6 10 13 8 8
4．已知等差数列{a }满足a＋a＋a＋…＋a ＝0，则有( )
n 1 2 3 101
A．a＋a ＞0 B．a＋a ＜0
1 101 2 101
C．a＋a ＝0 D．a ＝51
3 99 51
解析：选C 根据性质得：a＋a ＝a＋a ＝…＝a ＋a ＝2a ，由于a＋a＋…＋a ＝0，所以a ＝0，
1 101 2 100 50 52 51 1 2 101 51
又因为a＋a ＝2a ＝0，故选C.
3 99 51
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容
积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 D．升
C.升 D．升
解析：选B 设所构成的等差数列{a }的首项为a，公差为d，则有
n 1即解得则a＝a＋4d＝，
5 1
故第5节的容积为升．
6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.
答案：－21
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案：1或2
8．已知数列{a }满足a＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则a ＝________.
n 1 n
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝
n，所以a ＝n2.
n
答案：n2
9．在等差数列{a }中，若a＋a＋…＋a＝30，a＋a＋…＋a ＝80，求a ＋a ＋…＋a .
n 1 2 5 6 7 10 11 12 15
解：法一：由等差数列的性质得
a＋a ＝2a，a＋a ＝2a，…，a＋a ＝2a .
1 11 6 2 12 7 5 15 10
∴(a＋a＋…＋a)＋(a ＋a ＋…＋a )＝2(a＋a＋…＋a )．
1 2 5 11 12 15 6 7 10
∴a ＋a ＋…＋a ＝2(a＋a＋…＋a )－(a＋a＋…＋a)＝2×80－30＝130.
11 12 15 6 7 10 1 2 5
法二：∵数列{a }是等差数列，∴a ＋a ＋…＋a ，a ＋a ＋…＋a ，a ＋a ＋…＋a 也成等差数列，即
n 1 2 5 6 7 10 11 12 15
30,80，a ＋a ＋…＋a 成等差数列．∴30＋(a ＋a ＋…＋a )＝2×80，∴a ＋a ＋…＋a ＝130.
11 12 15 11 12 15 11 12 1510．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：
买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但
每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商
场买花费较少．
解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数
列为{a }．
n
a ＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
n
解不等式a ≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
n
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
当n<10时，600n<(800－20n)n，
当n＝10时，600n＝(800－20n)n，
当1018时，440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲
商场购买花费较少．
[B级 综合运用]
11．(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{a }的四个命题，正确的是( )
n
A．数列{a }是递增数列
n
B．数列{na }是递增数列
n
C．数列是递增数列
D．数列{a ＋3nd}是递增数列
n
解析：选AD a ＝a＋(n－1)d，d＞0，∴a －a ＝d＞0，A正确；
n 1 n n－1na ＝na ＋n(n－1)d，
n 1
∴na －(n－1)a ＝a＋2(n－1)d与0的大小关系和a 的取值情况有关．
n n－1 1 1
故数列{na }不一定递增，B不正确；
n
对于C：＝＋d，
∴－＝，
当d－a＞0，即d＞a 时，数列递增，
1 1
但d＞a 不一定成立，C不正确；
1
对于D：设b ＝a ＋3nd，
n n
则b －b ＝a －a ＋3d＝4d＞0.
n＋1 n n＋1 n
∴数列{a ＋3nd}是递增数列，D正确．
n
12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1 D．
C. D．
解析：选C 设方程的四个根a，a，a，a 依次成等差数列，则a＋a＝a＋a＝2，
1 2 3 4 1 4 2 3
再设此等差数列的公差为d，则2a＋3d＝2，
1
∵a＝，∴d＝，
1
∴a＝＋＝，a＝＋1＝，
2 3
a＝＋＝，
4
∴|m－n|＝|aa－aa|
1 4 2 3
＝＝.
13．已知数列{a }是等差数列，若 a ＋a ＋a ＝17，a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＋a ＝77，则 a ＋a ＝
n 4 7 10 4 5 6 12 13 14 7 9
________，若a＝13，则k＝________.
k
解析：∵a＋a＋a ＝3a，∴a＝.
4 7 10 7 7∵a＋a＋…＋a ＝11a，∴a＝7，
4 5 14 9 9
∴a＋a＝，d＝.∴a－a＝(k－9)d，
7 9 k 9
即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.
答案： 18
14．数列{a }为等差数列，b ＝a ，又已知b＋b＋b＝，bbb＝，求数列{a }的通项公式．
n n n 1 2 3 1 2 3 n
解：∵b＋b＋b＝a＋a＋a＝，bbb＝a＋a＋a＝，∴a＋a＋a＝3.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
∵a，a，a 成等差数列，∴a＝1，故可设a＝1－d，a＝1＋d，
1 2 3 2 1 3
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a＝1－d＝－1，a ＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
1 n
当d＝－2时，a＝1－d＝3，a ＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
1 n
[C级 拓展探究]
15．下表是一个“等差数阵”：
4 7 ( ) ( ) ( ) … a …
1j
7 12 ( ) ( ) ( ) … a …
2j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a …
3j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a …
4j
… … … … … … … …
a a a a a … a …
i1 i2 i3 i4 i5 ij
… … … … … … … …
其中每行、每列都是等差数列，a 表示位于第i行第j列的数．
ij
(1)写出a 的值；
45
(2)写出a 的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．
ij
解：通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a 表示数阵中第4行第5列的数．
45
先看第1行，由题意4,7，…，a ，…成等差数列，
15
公差d＝7－4＝3，则a ＝4＋(5－1)×3＝16.
15
再看第2行，同理可得a ＝27.
25
最后看第5列，由题意a ，a ，…，a 成等差数列，
15 25 45
所以a ＝a ＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.
45 15
(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a ＝4＋3(j－1)；
1j
第2行是首项为7，公差为5的等差数列a ＝7＋5(j－1)；
2j
…
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
∴a ＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
ij
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2 020，
∴j＝.又∵j∈N*，∴当i＝1时，得j＝673.
∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．
