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5.2.1 等差数列
课程标准
学习目标
（1）通过生活中的实例，理解等差数列的概
念；
（2）掌握等差数列通项公式的意义；
（3）掌握等差数列的判定方法
（4）理解并掌握等差中项的概念及其应用；
（5）理解并掌握等差数列的项与序号之间的规
律及其应用；
（6）能在具体问题情境中，发现数列的等差关
系，并解决相应问题。
（1）通过对等差数列概念、通项公式的学习，
达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素
养；
（2）通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑
推理、数学运算的素养；
（3）通过等差数列解决实际问题，达成数学建
模的核心素养。
知识点01 等差数列的概念
1、文字语言：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
表示．
2、递推公式：
（
为常数，
）
3、等差数列定义的理解
（1）“从第2 项起”是指第1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：
①作差的顺序；②这两项必须相邻．
（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差
数列．
【即学即练1】（2022·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（ ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a D．
，
，
，
知识点02 等差数列的通项公式与等差中项
1、等差数列的通项公式及推广
已知等差数列
的首项为a1，公差为d，则通项公式为：
该式可推广为
2、等差数列通项公式的推导过程
如果等差数列
的首项是
，公差是
，根据等差数列的定义得到：
，
，
，…
所以
，
，
，……
由此归纳出等差数列的通项公式为
．
3、等差中项：如果三个数a，A，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且
.
在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。
【即学即练2】（2023·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）若不全相等的非零实数
成等差数列且
公差为
，那么
（ ）
A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列
C．一定是等差数列，且公差为
D．一定是等差数列，且公差为
知识点03 等差数列与函数的关系
1、等差数列与一次函数的异同点：
等差数列
一次函数
不同点
解析式
公差、斜率
公差
斜率
定义域
图像
位于同一直线上的一系列孤立的点
一条直线
相同点
等差数列的通项公式
与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式
2、等差数列的单调性
等差数列
中，若公差
，则数列
为递增数列；若公差
，则数列
为递减数列；若公
差
，则数列
为常数列，不增也不减。
【即学即练3】（2022·宁夏银川·高二校考期中）已知等差数列
的公差为
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点04 等差数列的性质
1、角标和对称性
（1）若
是公差为d 的等差数列，正整数m，n，p，q 满足m＋n＝p＋q，则
.
特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，
.
（2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即
2、子数列的性质：从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。
3、由等差数列衍生的新数列
若
，
分别是公差为
，
的等差数列，则有
数列
结论
公差为
的等差数列（c 为任一常数）
公差为
的等差数列（c 为任一常数）
公差为
的等差数列（k 为常数，k∈N*）
公差为
的等差数列(p，q 是常数)
【即学即练4】（2023·高二课时练习）已知数列
是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（
）
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型一：数列数列的通项与基本量】
例1．（2023·江苏淮安·高二统考期末）在等差数列
中，若
，
，则
的公差为（
）
A．
B．
C．1 D．2
变式1-1．（2024·北京顺义·高二统考期末）已知等差数列
的首项为
，且
，则
.
变式1-2．（2024·安徽芜湖·高二统考期末）已知数列
是公差相等的等差数列，且
，
若
为正整数，设
，则数列
的通项公式为
．
变式1-3．（2024·云南玉溪·高二统考期末）已知数列
满足
.
（1）求
；
（2）求数列
的通项公式
．
【方法技巧与总结】
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即
可；
（2）等差数列
的通项公式
中共含有四个参数，即
，
，
，
，如果知道了其
中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求
一”；
（3）通项公格可变形为
。
【题型二：等差数列的判断与证明】
例2．（2024·天津·高二天津第一百中学校联考期末）在数列
中，
，且
，则
.
变式2-1．（2023·重庆·高二育才中学校联考阶段练习）已知
是等差数列
，若
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）证明
是等差数列．
变式2-2．（2023·湖北·高二校考期中）已知
满足
，且
.
（1）求
；
（2）证明数列
是等差数列，并求
的通项公式.
变式2-3．（2023·广东汕头·高二潮阳实验学校校考阶段练习）已知数列{an}满足
，
，令
.
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）求数列
的通项公式．
【方法技巧与总结】
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：
（常数）
是等差数列；
2、中项法：
是等差数列；
3、通项公式法：
（
，
为常数）
是等差数列。
【题型三：等差中项及其应用】
例3．（2022·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知
，
，则
、
的等差中项为（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2023·福建三明·高二校考阶段练习）在等差数列
中，
，则
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
变式3-2．（2023·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在等差数列
中，若
，则
（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
变式3-3．（2023·全国·高二专题练习）在等差数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
三个数
称等差数列的条件是
（或
），可用来解决等差数列的判定或有关等差中
项的计算问题。如若证
为等差数列，可证
（
）
【题型四：利用等差数列的性质计算】
例4．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）在等差数列
中，已知
，
，则
等于（
）
A．42 B．43 C．44 D．45
变式4-1．（2024·全国·高二期末）已知数列
满足
，
则
等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式4-2．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知
为递增等差数列，
，
，则
的公差
（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．（2023·高二课时练习）在等差数列
中，
，则
.
【方法技巧与总结】
1、在等差数列{an}中，当m≠n 时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【题型五：等差数列的单调性及最值】
例5．（2023·上海·高二洋泾中学校考阶段练习）设
，则当数列{an}的前n 项和取得最小值时，n
的值为（ ）
A．4 B．5 C．4 或5 D．5 或6
变式5-1．（2022·陕西渭南·高二瑞泉中学校考阶段练习）（多选）在等差数列
中，
记
，则数列
（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
变式5-2．（2023·高二课时练习）（多选）已知等差数列
的公差
，则下列四个命题中真命题为（
）
A．数列
是递增数列 B．数列
是递增数列
C．数列
是递增数列 D．数列
是递增数列
变式5-3．（2023·高二课时练习）已知
，
是等差数列
的图象上的两点．
（1）求数列
的通项公式；
（2）画出数列
的图象；
（3）判断数列
的单调性．
【方法技巧与总结】
利用等差数列与函数的关系，将等差数列转化为一次函数的形式可知：
等差数列
中，若公差
，则数列
为递增数列；若公差
，则数列
为递减数列；若公
差
，则数列
为常数列，不增也不减。
【题型六：设元法巧解等差数列】
例6．（2022·江苏连云港·高二期末）已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之
积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（ ）
A．14 B．13 C．
或14 D．
或13
变式6-1．（2023·江苏·高二专题练习）已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数
之和的
是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（ ）
A．
B．20 C．
D．
变式6-2．（2023·高二课时练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个
数.
变式6-3．（2023·江苏·高二专题练习）已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数
之积为40，求这个等差数列．
【方法技巧与总结】
设元法巧解等差数列中常见的设元技巧
1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：
，
，公差为
；
2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：
，
，
，公差为
；
3、四个数成等差数列且知其和，常设成
，
，
，
，公差为
。
【题型七：由等差数列构造新数列】
例7．（2024·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）数列
和数列
的公共项从小到大构成一个新
数列
，数列
满足：
，则数列
的最大项等于 .
变式7-1．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知等差数列
中，
，
，若在数列
每相邻
两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第
项为 ．
变式7-2．（2022·高二课时练习）已知
为等差数列，且以
，
，若在每相邻两项之间插入三
个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
（1）原数列的第12 项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29 项是原数列的第几项？
变式7-3．（2023·全国·高二课时练习）已知等差数列
中，
，
.
（1）证明:数列
是公差为
的等差数列；
（2）若在数列
每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41 项.
【方法技巧与总结】
（1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列。
（2）在数列中插入几个数构成新的等差数列，根据等差数列的定义确定新数列的项数以及公差。
【题型八：等差数列的实际应用】
例8．（2023·全国·高二随堂练习）夏季高山上气温从山脚起每升高100m 降低0.6℃，已知山顶的气温是
15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（ ）．
A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m
变式8-1．（2023·广东佛山·高三佛山一中开学考试）哈雷彗星大约每76 年环绕太阳一周，因英国天文学
家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682 年观测到这颗彗星，则人们最有
可能观测到这颗彗星的时间为（ ）
A．2041 年～2042 年 B．2061 年～2062 年
C．2081 年～2082 年 D．2101 年～2102 年
变式8-2．（2024·北京顺义·高二统考期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、
大寒、立春、雨水惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长
依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5 尺，春分日影长为7.5 尺，则这十二个节气中后
六个（春分至芒种）日影长之和为（ ）
A．8.5 尺 B．30 尺 C．66 尺 D．96 尺
变式8-3．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）潮涌杭州，亚运来了！2023 年9 月23 日，第19 届亚运会在
杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际
体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活
动，派发规则如下：①对于会员编号能被3 整除余1 且被5 整除余1 的可以获得精品吉祥物一套；②对于
不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023 人（编号为1 号到2023 号，中间
没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 .
【方法技巧与总结】
等差数列的实际应用
1、解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．
若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列。
2、合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问
题
一、单选题
1．（2024·广东河源·高二统考期末）若等差数列
中
，
，则
（ ）
A．12 B．14 C．
D．
2．（2023·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）在等差数列
中，若
，
是方程
的
两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东·高二校联考期末）在等差数列
中，若
，则
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．3
4．（2022·高二课时练习）已知点
，
是等差数列
图象上的两点，则数列
为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
5．（2023·高二课时练习）在数列
、
、
、
、
的每相邻两项中插入个数，使它们与原数构成一
个新数列，则新数列的第
项（ ）
A．不是原数列的项 B．是原数列的第
项
C．是原数列的第
项 D．是原数列的第
项
6．（2023·广西钦州·高二校考阶段练习）在
和
两数之间插入
个数，使它们与
，
组成等差数列，则
该数列的公差为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·山东泰安·高二泰安第二中学校考阶段练习）首项为
的等差数列，从第
项起开始为正数，
则公差
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）已知数列
中，
且
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2022·福建漳州·高二华安县第一中学校考阶段练习）设等差数列
中，
，公差
，依次取
出项的序号被4 除余3 的项组成新数列
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·甘肃白银·高二靖远县第一中学校联考期中）若正项数列
是等差数列，且
，则（
）
A．当
时，
B．
的取值范围是
C．当
为整数时，
的最大值为29 D．公差
的取值范围是
11．（2024·全国·高二专题练习）若数列
是等差数列，公差
，则下列对数列
的判断正确的是
（ ）
A．若
，则数列
是递减数列
B．若
，则数列
是递增数列
C．若
，则数列
是公差为d 的等差数列
D．若
，则数列
是公差为
的等差数列
12．（2023·山东烟台·高二校考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五
人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、
乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少
钱？”.关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多
钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的3 倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多
钱
三、填空题
13．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到
这
个自然数中被除余
且被除余
的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为 ．
14．（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知正项数列
是等差数列，若
，
，则
的值为 .
15．（2024·重庆·高二统考期末）已知数列
，则通过该数列图象上所有点的直线的斜
率为 ．
16．（2024·四川宜宾·高二统考期末）已知数列
、
是等差数列，其中
且
，那么
．
四、解答题
17．（2023·新疆喀什·高二校考阶段练习）在等差数列
中，
（1）已知
，公差
，求
；
（2）已知公差
，
，求
；
18．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知等差数列
，现在其每相邻两项之间插入
一个数，使之成为一个新的等差数列
．
（1）求新数列
的通项公式；
（2）16 是新数列
中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．
19．（2022·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝
16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}中，依次取出第2 项、第4 项、第6 项……第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列
{bn}，试求出{bn}的通项公式．
20．（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知数列
的前
项和
满足
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求证：数列
等差数列.
21．（2023·浙江绍兴·高二校考期中）已知数列
满足
，
（
），令
.
（1）求
的值；
（2）求证：数列
是等差数列，并求出数列
的通项公式.
22．（2022·福建宁德·高二宁德第一中学校考阶段练习）已知首项为4 的数列
满足
．
（1）证明：数列
是等差数列．
（2）求数列
的通项公式，并求数列
的最小项．
