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4．2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式
[A级 基础巩固]
1．已知等差数列{a }的前n项和为S ，若2a＝a＋6，则S 等于( )
n n 6 8 7
A．49 B．42
C．35 D．28
解析：选B 2a－a＝a＝6，S＝(a＋a)＝7a＝42.
6 8 4 7 1 7 4
2．已知数列{a }是等差数列，a＝15，S＝55，则过点P(3，a)，Q(4，a)的直线斜率为( )
n 4 5 3 4
A．4 D．
C．－4 D．－
解析：选A 由S＝＝＝55，解得a＝11.
5 3
∴P(3,11)，Q(4,15)，
∴k＝＝4.故选A.
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665
C．763 D．663
解析：选B ∵a＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，
1
∴n＜15，∴n＝14，S ＝14×2＋×14×13×7＝665.
14
4．设S 是等差数列{a }的前n项和，若＝，则等于( )
n n
A．1 B．－1
C．2 D．
解析：选A ＝＝＝＝·＝1.
5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数
为( )A．9 B．10
C．19 D．29
解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增
加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S ＝190.当n＝20时，S ＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
19 20
6．已知{a }是等差数列，a＋a＝6，其前5项和S＝10，则其公差为d＝________.
n 4 6 5
解析：a＋a＝a＋3d＋a＋5d＝6， ①
4 6 1 1
S＝5a＋×5×(5－1)d＝10， ②
5 1
由①②联立解得a＝1，d＝.
1
答案：
7．已知数列{a }中，a＝1，a ＝a ＋(n≥2)，则数列{a }的前9项和等于________．
n 1 n n－1 n
解析：由a ＝1，a ＝a ＋(n≥2)，可知数列{a }是首项为1，公差为的等差数列，故S ＝9a ＋×＝9＋18
1 n n－1 n 9 1
＝27.
答案：27
8．已知等差数列{a }的前n项和为S ，且6S－5S＝5，则a＝________.
n n 5 3 4
解析：设等差数列{a }的首项为a，公差为d，由6S－5S＝5，得3(a＋3d)＝1，所以a＝.
n 1 5 3 1 4
答案：
9．等差数列{a }中，a ＝30，a ＝50.
n 10 20
(1)求数列的通项公式；
(2)若S ＝242，求n.
n
解：(1)设数列{a }的首项为a，公差为d.
n 1
则 解得
∴a ＝a＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
n 1(2)由S ＝na ＋d以及a＝12，d＝2，S ＝242，
n 1 1 n
得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n ＝11.
10．已知等差数列{a }的前n项和S ＝n2－2n，求a＋a－a＋a＋a.
n n 2 3 4 5 6
解：∵S ＝n2－2n，
n
∴当n≥2时，a ＝S －S
n n n－1
＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]
＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，
∴a＋a－a＋a＋a
2 3 4 5 6
＝(a＋a)＋(a＋a)－a
2 6 3 5 4
＝2a＋2a－a＝3a
4 4 4 4
＝3×(2×4－3)＝15.
[B级 综合运用]
11．已知命题：“在等差数列{a }中，若4a ＋a ＋a ＝24，则S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括
n 2 10 ( ) 11
号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15 B．24
C．18 D．28
解析：选C 设括号内的数为n，则4a＋a ＋a ＝24，
2 10 (n)
即6a＋(n＋12)d＝24.
1
又因为S ＝11a＋55d＝11(a＋5d)为定值，
11 1 1
所以a＋5d为定值．
1
所以＝5，解得n＝18.
12．(多选)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S＝a，则( )
n n 7 4
A．a＋a＝0 B．a＋a＝0
1 3 3 5C．S＝S D．S＝S
3 4 4 5
解析：选BC 由S＝＝7a＝a，得a＝0，所以a＋a＝2a＝0，S＝S，故选B、C.
7 4 4 4 3 5 4 3 4
13．在等差数列{a }中，前 m(m为奇数)项和为 135，其中偶数项之和为 63，且 a －a ＝14，则 m＝
n m 1
________，a ＝________.
100
解析：∵在前m项中偶数项之和为S ＝63，
偶
∴奇数项之和为S ＝135－63＝72，设等差数列{a }的公差为d，则S －S ＝＝72－63＝9.
奇 n 奇 偶
又∵a ＝a＋d(m－1)，∴＝9，
m 1
∵a －a＝14，∴a＝2，a ＝16.
m 1 1 m
∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，
∴a ＝a＋99d＝101.
100 1
答案：15 101
14．设S 是数列{a }的前n项和且n∈N*，所有项a ＞0，且S ＝a＋a －.
n n n n n
(1)证明：{a }是等差数列；
n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
解：(1)证明：当n＝1时，a＝S＝a＋a－，解得a＝3或a＝－1(舍去)．当n≥2时，
1 1 1 1 1
a ＝S －S ＝(a＋2a －3)－(a＋2a －3)．
n n n－1 n n－1
所以4a ＝a－a＋2a －2a ，
n n n－1
即(a ＋a )(a －a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a ＋a ＞0，所以a －a ＝2(n≥2)．所以数列{a }是以 3为首项，2为公差的等差数列．
n n－1 n n－1 n
(2)由(1)知a ＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
n
[C级 拓展探究]
15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．
解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得(t∈N*且≤t≤67)．
则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且≤t≤67)，各项之和为67×9＋×12＝27 135.
