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7.2.1 三角函数的定义
课程标准
学习目标
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应
用；
（2）会判断三角函数在各象限的符号。
（1）理解并掌握任意角的三角函数定义，
会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽
象、数学运算核心素养；
（2）借助任意角的三角函数定义，掌握三
角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑
推理等核心素养。
知识点01 任意角的正弦、余弦、正切的定义
1、定义：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x , y)，则：
叫做
的正弦函数，记作
.即
；
叫做
的余弦函数，记作
.即
；
叫做
的正切函数，记作
.即
。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义
设点
（不与原点重合）为角α 终边上任意一点，
点P 与原点的距离为：
，则：
，
，
.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关
【即学即练1】已知角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由
，得
，
，
，
代入原式得
．故选：A
【即学即练2】已知点
是角
终边上一点，
，则
__________．
【答案】
【解析】因为
是角
终边上一点，
，
所以
，解得
（舍去），或
，
知识点02 正弦、余弦与正切在各象限的符号
1、正弦、余弦、正切在各象限的符号
（1）当且仅当
的终边在第一、二象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第三、四象限，或
轴负半轴上时，
；
（2）当且仅当
的终边在第一、四象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第二、三象限，或
轴负半轴上时，
；
（3）当且仅当
的终边在第一、三象限，
；
当且仅当
的终边在第二、四象限，
。
上述结果可用下图直观表示：
2、对三角函数值符号的理解：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，
从原点到角的终边上任意一点的距离
的值总是正值，根据三角函数定义值：
正弦值的符号取决于纵坐标
的符号；
余弦值的符号取决于横坐标
的符号；
正切值的符号是由
、
的符号共同决定的，即
、
同号为正，异号为负。
3、记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第
二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
【即学即练3】若
，则
是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】B
【解析】因为
，则
在第一，二象限或
轴非负半轴；
又因为
，则
在第二，三象限或
轴非正半轴，
所以
在第二象限.故选:B.
【题型一：利用定义求三角函数值】
例1．（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）若角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则点
到原点的距离为
，则
.故选：D.
变式1-1．（2022·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知角
的终边与单位圆的交点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为角
的终边与单位圆的交点
，
令
，
所以
，
所以
，故选：A.
变式1-2．（2023·全国·高一专题练习）已知角
的终边落在直线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设直线
上任意一点P 的坐标为
（
），
则
（O 为坐标原点），
根据正弦函数的定义得：
，
时，
；
时，
，
所以选项D 正确，选项A，B，C 错误，故选：D.
变式1-3．（2023·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角
的终边上有一点
的坐标是
，其中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为角
的终边上有一点
的坐标是
，
所以
.故选：D.
【方法技巧与总结】
求一个三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离。
当已知坐标含参数时一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需要分类讨论。
【题型二：利用三角函数值求参数】
例2．（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
又
，显然
，
，
，故选：A
变式2-1．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知
是角
的终边上一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由三角函数的定义知:
，所以
.故选：A.
变式2-2．（2023·山东烟台·高一校考阶段练习）已知角
的顶点为坐标原点，始边为
轴的正半轴，若角
终边有一点
，且
，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题意得
，解得
，故选：B.
变式2-3．（2023·全国·高一课时练习）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】角
的终边经过点
，由
，
可得
，所以
，
所以
，
，
所以
.故选：A．
【方法技巧与总结】
利用三角函数的定义及三角函数值列方程，解方程后需结合三角函数值的符号对结果进行检验取舍。
【题型三：求特殊角的三角函数值】
例3．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据特殊角的三角函数值可得
.故选：B
变式3-1．（2023·全国·高一专题练习）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】已知
，
，则
，所以
.故选：C
变式3-2．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）（多选）已知角
的终边经过点
,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题知
,即
,
因为角
的终边经过点
，
所以
,
.故选:ACD
变式3-3．（2023·上海静安·高一校考期中）
是
成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【解析】当
时，
，此时
，即
推不出
成立；
当
时，
，此时
，即
推不出
成立；
故
是
成立的既非充分也非必要条件，故选：D
【方法技巧与总结】
求特殊角的三角函数值需要注意符号的正负。
【题型四：确定三角函数的符号】
例4．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）下列函数值符号为正的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
是第二象限角，所以
，故A 正确；
因为
是第三象限角，所以
，故B 正确；
因为
是第二象限角，所以
，故C 正确；
因为
是第三象限角，所以
，故D 正确；故选：AD
变式4-1．（2023·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知角
的终边位于第二象限，则点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由于
的终边位于第二象限，所以
，所以
位于第二象限.故选：B
变式4-2．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）已知角
的终边经过点
，则下列各式一定为
正的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角
终边经过点
，所以
在第四象限，
所以
，
，
，
，故C 正确．故选：C．
变式4-3．（2023·江西九江·高一统考期末）（多选）若
为第四象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由于
为第四象限角，所以
,
所以
，
，
则
，
所以
终边落在第三、四象限以及
轴负半轴上，
终边落在第二或第四象限的角，
故BC 正确，AD 错误，故选：BC
【方法技巧与总结】
判断三角函数值在各象限符号的攻略
（1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
（2）关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
（3）注意：用弧度制给出角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误。
【题型五：由三角函数符号确定角的范围】
例5．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知点
是第二象限的点，则
的终边位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为点
在第二象限，所以
，
，所以
为第二象限角.故选：B
变式5-1．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知
，且
，则
为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为
，所以
的终边可能在第二、三象限；
因为
，所以
的终边可能在第二、四象限.
要同时满足
,
，则
为第二象限角.故选：B.
变式5-2．（2023·四川眉山·高一校考期中）（多选）已知
，则
可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BC
【解析】因为
，所以
可能是第二、三象限角.故选：BC.
变式5-3．（2023·全国·高一专题练习）（多选）若
，则
可能在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BCD
【解析】当
是第一象限角时，
，故
一定不是第一象限角；
当
是第二象限角时，
，即
可以是第二象限角；
当
是第三象限角时，
，即
可以是第三象限角；
当
是第四象限角时，
，即
可以是第四象限角．故选：
BCD.
【方法技巧与总结】
准确结合正弦、余弦、正切在各个象限的符号关系进行判断。
【题型六：圆上的动点与旋转点问题】
例5．（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）点
从
出发，沿着单位圆的边界顺时针运动
弧长到达点
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，以
轴的非负半轴为始边，
以
所在的射线
为终边的最小正角为
，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为
，即
，故选：D.
变式5-1．（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考期末）单位圆上一点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，则
点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】点
从
出发，顺时针方向运动
弧长到达
点，
所以
，
所以
点的横坐标是
，纵坐标是
，即
.故选：D
变式5-2．（2023·山东青岛·高一青岛二中校考阶段练习）已知O 为坐标原点，点P 的初始位置坐标为
，线段
绕点O 顺时针转动
后，点P 所在位置的坐标为 .
【答案】
【解析】
在第一象限，又
，故点P 在单位圆上，
设点P 的初始位置所在角为
，则
，故
，
顺时针转动
后，点P 在第四象限，
设转动后的角为
，则
，
因为
，
所以点P 所在位置的坐标为
.
变式5-3．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）（多选）如图，A，B 是在单位圆上运动的两个
质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且
.质点A 以
的角速度按顺
时针方向运动，质点B 同时以
的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1 后，扇形AOB 的面积为
B．经过2 后，劣弧
的长为
C．经过6 后，质点B 的坐标为
D．经过
后，质点A，B 在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于
，由题意可知：经过1 后，
，
所以此时扇形AOB 的面积为
，故选项
错误；
对于
，经过2 后，
，
所以此时劣弧
的长为
，故选项
正确；
对于
，经过6 后，质点
转过的角度为
，
结合题意，此时质点
为角
的终边与单位圆的交点，
所以质点B 的坐标为
，故选项
错误；
对于
，经过
后，质点
转过的角度为
，质点
转过的角度为
，
因为
，
所以经过
后，质点
，
在单位圆上第一次相遇，故选项
正确，故选：
.
【方法技巧与总结】
解题的关键在于确定动点运动后的坐标位置。
一、单选题
1．（2023·北京·高一清华附中校考期末）若点
在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
点为坐标原点，
.
根据三角函数的概念可得，
.故选：C.
2．（2023·四川眉山·高一校考期末）已知角
的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】角
的终边与单位圆的交点为
，则
.故选：A
3．（2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角
的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x 轴非负半
轴重合，若角
的终边所在直线的方程为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3 D．5
【答案】C
【解析】因为角
的终边所在直线的方程为
，
在角
的终边取一点
，则
，
所以
，则
，故选：C.
4．（2022·浙江绍兴·高一统考期末）若点
在角
的终边上，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．
D．
【答案】B
【解析】因为
,所以
所以由三角函数定义可知
故选:
.
5．（2022·广东茂名·高一统考期末）已知角
的终边经过点
，且
，则
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
.故选：C.
6．（2023·河北保定·高一校联考期中）已知角
终边上有一点
，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】
角
是第四象限角，
是第一象限角，
是第三象限角.故选：C.
7．（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）在下列各选项中，角
为第二象限角的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A：
时，
为第三象限或
轴负半轴或第四象限角，
，
为第一象限或
轴正半轴或第四象限角，故
为第四象限角，故A 错误；
对于B：
时，
为第一象限或
轴正半轴或第二象限角，
，
为第一象限或第三象限角，故
为第一象限角，故B 错误；
对于C：
时，
为第二象限或
轴负半轴或第三象限角，
，
为第一象限或第三象限角，故
为第三象限角，故C 错误；
对于D：
时，
为第一象限或
轴正半轴或第二象限角，
时，
为第二象限或
轴负半轴或第三象限角，故
为第二象限角，故D 正确；故选：
D.
8．（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上一点P 从点
（0，1）出发，逆时针方向运动
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ）
A．
B．（
） C．（
，
） D．（－
，
）
【答案】A
【解析】设
与
轴正半轴的夹角为
，
则点P 逆时针方向运动
弧长到达Q 点后
与
轴正半轴的夹角为
，
此时
，则
，
，
故此时点Q 的坐标为
.故选：A
二、多选题
9．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）若角
的终边经过点
，且
，则
（
）
A．0 B．1 C．
D．2
【答案】ABC
【解析】由三角函数定义得
，故
，
若
，满足要求，
若
，则
，解得
，
综上，
.故选：ABC
10．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）下列选项中，结果为正数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，可得
，所以
，所以A 正确
由
，可得
且
，所以
，
，所以B 正确，C 错误；
由
，可得
，所以
，所以D 错误.故选：AB.
11．（2023·江苏南京·高一期末）已知
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C． D．
【答案】BD
【解析】当
为第一象限角时，
；
当
为第二象限角时，
，
同理，当
为第三、四象限角时，
，
综上，
或，故选：BD.
12．（2023·广东深圳·高一校考期末）若角
的终边经过点
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是钝角 B．
是第二象限角 C．
D．点
在第四象限
【答案】BC
【解析】由点
在第二象限，可得
是第二象限角，但不一定是钝角，B 正确，A 错误；
，C 正确；
由
，
，则点
在第二象限，D 错误，故选：BC.
三、填空题
13．（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）已知角
的终边经过点
，其中
，则角
的
余弦值为 .
【答案】
【解析】由题意知
，
14．（2023·上海静安·高一校考期中）角
的顶点在直角坐标系的原点，始边与x 轴的正半轴重合，点
是角
终边上一点，若
，则
．
【答案】
【解析】由题意得点
到原点O 的距离为
，
故由
得
，解得
.
15．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）如图所示，角
的终边与单位圆（圆心在原点，半径
1）交于第二象限的点
，则
．
【答案】
【解析】由三角函数定义可知
．
16．（2023·高一课时练习）若
为第一象限角，则在
中，能确定为正
值的有 .
【答案】
【解析】因为
为第一象限角，所以
.
所以
，
，
故
有可能取负值（如
，则
）.
当
时，
.
所以
为第一象限角，所以
.
当
时，
.
所以
为第三象限角，所以
.
故能确定为正值的有
.
四、解答题
17．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列各式的符号：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
是第三象限角，所以
，所以
.
（2）因为
是第二象限角，是第二象限角，
是第三象限角，
所以
，所以
.
18．（2023·全国·高一随堂练习）已知角
的终边在函数
的图象上，求
，
和
．
【答案】答案见解析
【解析】因为角
的终边在函数
的图象上，
所以取终边上任一点
，则
，
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
.
19．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知角
的终边经过点
，求
的值；
（2）已知角
终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）答案不唯一，具体见解析 ．
【解析】（1）∵角
的终边经过点
，∴
，
∴
，
，∴
；
（2）∵角
终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为
，∴
，
当角
终边在第一象限时，
，
，
；
当角
终边在第二象限时，
，
，
；
当角
终边在第三象限时，
，
，
；
当角
终边在第四象限时，
，
，
．
20．（2023·高一单元测试）已知角
的顶点为原点O，始边与x 轴的非负半轴重合．若角
的终边过点
，且
，
（1）判断角
的终边所在的象限；
（2）求
和
的值．
【答案】（1）角
的终边在第二或第三象限；（2）答案见解析
【解析】（1）由题意知，点P 到原点O 的距离
，
∴
．
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴角
的终边在第二或第三象限.
（2）当角
的终边在第二象限时，
；
当角
的终边在第三象限时，
.
21．（2022·甘肃天水·高一统考期中）已知
，且
有意义．
（1）试判断角
所在的象限；
（2）若角
的终边与单位圆相交于点
，求
的值及
的值．
【答案】（1）第四象限；（2）
，
【解析】（1）∵
，∴
，①
由
有意义，∴
，②，
由①②得，角
在第四象限；
（2）∵点
在单位圆上，∴
，解得
，
又
是第四象限角，即
，∴
，
由三角函数定义知
．
22．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系
中，单位圆
与x 轴的
正半轴及负半轴分别交于点A，B，角
的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P．
（1）如图，若
，求点P 的坐标；
（2）若点P 的横坐标为
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）过
点作
于
点，
若
，则
，
又
，则
，
由题意点
在第四象限，所以
的坐标为
.
（2）由题意设
，
∵点
在单位圆
上，且在x 轴下方，
∴
，且
，解得
，
∴
.
