文档文本内容
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1.2.1&1.2.2 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否
定
课程标准
学习目标
1.了解命题的概念，能够判断一个语句是不是
命题，会判断命题的真假；
2.理解全称量词、存在量词的意义，并能正确
判断全称量词命题、存在量词命题的真假；
3.会用自然语言、符号语言表示全称量词命题
和存在量词性命题.
4.理解命题的否定的含义，会写给定
命题的否定并判断命题的真假；
5.正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否
定;
6.明确全称命题的否定是存在命题，存在命题
的否定是全称命题，会判断其真假.
1.命题的概念的形成；
2.经历命题、全称量词命题、存在量词命题概念的形
成过程，体验由特殊到一般、由一般到特殊的思维
方法；
3.初步学会判断命题真假（尤其是全称量词命题和存
在量词命题）的方法；
4.通过实例体会对理解抽象概念的作用；
5.通过实例体验命题，尤其是全称命题和存在性命题
的表述方法.
6.命题的否定概念的形成；
7.经历命题的否定及其全称量词命题与存在量词命题
的否定形成过程，体验由特殊到一般的思维方法；
8.会写全称量词命题与存在量词命题的否定；
9.通过实例体会对理解抽象概念的作用；
10.通过实例体验命题的否定，全称量词命题和存在
量词命题的否定.
知识点01 命题的概念
2
定义：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，
判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，
如p，q，r.
注：一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法
判断是真命题还是假命题。
【即学即练1 】（2024·江苏·高一假期作业）以下语句：①{0}∈N；②x
2+ y
2=0；③x
2> x；④
{x|x
2+1=0}，其中命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x
2−1=0有一个根为0；④高
二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③
B．①④⑤
C．②③⑥
D．①③
【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解.
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D
【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1+2=3
D．今天是星期天
【答案】C
【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可
【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A 错误，
对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B 错误，
对于C，1+2=3是命题，且是真命题，所以C 正确，
对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D 错误，
故选：C
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知识点02 全称量词与全称量词命题
全称量词
量词
所有的、任意一个
符号
∀
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
命题形式
“对M 中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
注：（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（3）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（4）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（5）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
【即学即练4】（2024·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A．∀a,b∈R ,a
2+b
2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0∈R ,√x0
2= x0
D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
【详解】对于A，∀a,b∈R ,a
2+b
2<0为全称量词命题，但是a
2+b
2≥0，故是假命题，故A 错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B 错误，
对于C,是存在量词命题,故C 错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D 正确，
故选：D
知识点03 存在量词与存在量词命题
存在量词
量词
存在一个、至少有一个
符号
∃
命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“存在M 中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”
注：（1）常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
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（2）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（3）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（4）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词
命题
【即学即练5】【多选】（2023·全国·高一假期作业）关于命题“∃a∈N ,a
2+a≤0”，下列判断正确的
是（ ）
A．该命题是全称量词命题
B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题
D．该命题是假命题
【答案】BC
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD.
【详解】∵∃a∈N ,a
2+a≤0是存在量词命题，
∴A 选项错误B 选项正确；
∵a=0时，a
2+a≤0成立，
∴命题为真命题，即C 正确D 错误.
故选：BC
知识点04 含有量词命题的否定
含量词的命题的否定
p
¬p
结论
全称量词命题∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
注：命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能
一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
【即学即练6】（2024 秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）命题“∀x>0，x
2+ x +1>0
”的否定是（ ）
A．∀x ≤0，x
2+ x +1>0
B．∃x>0，x
2+ x +1≤0
C．∃x ≤0，x
2+ x +1>0
D．∀x>0，x
2+ x +1≤0
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“∀x>0，x
2+ x +1>0”的否定是“∃x>0，x
2+ x +1≤0”．
故选：B．
【即学即练7】（2023 春·河南·高一校联考开学考试）命题“∃x∈N ,5
x< x
3+1”的否定是（ ）
A．∀x∈N ,5
x< x
3+1
B．∀x∈N ,5
x> x
3+1
C．∀x∈N ,5
x≥x
3+1
D．∀x∉N ,5
x≥x
3+1
5
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“∃x∈N ,5
x< x
3+1”的否定是“∀x∈N ,5
x≥x
3+1”.
故选：C
易错一 命题的概念理解不清
1．判断下列语句是不是命题．
(1)哥德巴赫猜想；
(2)宇宙中存在外星人．
正解：(1)(2)都是命题，因为能对它们的真假做出判断，尽管现在不能确定它们的真假，但它们的真假性是
客观存在的，并不是无法判断的．
[易错探因] 本题易错的地方是认为两个语句目前无法判断真假，从而判断两个语句都不是命题．
[误区警示] 对于一些科学技术或大自然中的疑问，虽然现在我们还不能做出相应的判断，但随着科学技
术的发展和时间的推移，我们终究会做出相应的判断，所以“判断真假”不是指“现在就进行判断”．
易错二 判断命题真假时忽视特例的作用致错
2．判断下列命题的真假：
(1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0；
(2)∃x∈R，|x|≤0.
正解：(1)∵当x＝－1 时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
(2)∵当x＝0 时，|x|≤0 成立，∴原命题是真命题．
[易错探因] (1)此处易忽略x＝－1，从而漏掉x2＋2x＋1＝0，导致判断错误．
(2)此处易忽略当x＝0 时，|x|＝0，而0≤0 成立．
[误区警示] 判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及
的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理．
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【题型1：命题的概念及真假的判断】
（一）命题的概念
例1.【多选】（2024 秋·高一阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．3 是15 的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4 不小于2 D．你准备考北京大学吗?
【答案】ABC
【解析】对于A，3 能整除15，为真，所以A 是命题；
对于B，
，为真，所以B 是命题；
对于C，
，所以“4 不小于2”为真，所以C 是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D 不是命题.
故选：ABC.
变式1.（2024 春·内蒙古通辽·高二校考期末）下列语句是命题的是（ ）
A．
是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．
是一次函数吗 D．
【答案】B
【解析】对于A，“
是一个大数”无法判断真假，不是命题，A 错误；
对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，
是命题，B 正确；
对于C，“
是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C 错误；
对于D，“
”无法判断真假，不是命题，D 错误.故选：B.
（二）命题真假的判断
例2.（2024·全国·高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点
作直线
于点
D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A 为真命题；
对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.
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如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于
，所以B 为假命题；
对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；
对选项D，
与
的和为锐角，所以D 为假命题．故选：A.
变式1.（2024·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程
的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合
是集合A 的子集，且是
的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全
等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程
的判别式为
，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，
,故正确;
故选：C．
变式2.（2023 秋·高一校考课时练习）判断下列命题的真假：
(1)一个实数不是质数就是合数；
(2)若
或
，则
；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若
，则
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)真命题
【分析】（1）举反例说明即可；
（2）通过方程的根分析即可；
（3）利用正方形的性质说明即可
（4）利用集合间的运算性质说明即可.
【详解】（1）1 既不是质数也不是合数，故该命题为假命题.
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（2）当
或
时，代入
中结果为0，故该命题为真命题；
（3）正方形具有矩形和菱形的所有性质，故它既是矩形又是菱形，
故该命题为真命题；
（4）由
，故集合
为集合
的子集即
，
故改命题为真命题；
变式3.（2024·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①
是一元二次方程；
②函数
的图象与x 轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】对于①，举反例
即可判断；对于②，令
，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可
判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当
时，
是一元一次方程，①错误；
②中，令
，则
，所以函数
的图象与x 轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
变式4.（2023 秋·高一课时练习）下列命题:①相等的角是对顶角；②若
，则
；③若
，则
.其中假命题的个数是 .
【答案】3
【分析】根据对顶角的定义，实数的运算性质，以及集合间的运算与包含关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，相等的角不一定是对顶角，所以①不正确；
对于②中，例如
，满足
，此时
，所以②不正确；
对于③中，由
，可得
，所以③不正确，
所以假命题的个数为3 个.
故答案为：3.
变式5.（2024·江苏·高一假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a＞b 时，有ac2＞bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6 整除的数既能被3 整除也能被2 整除．
【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题
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(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题
(3)若一个数能被6 整除，则它既能被3 整除也能被2 整除，是真命题
【分析】（1）可以举反例证明；
（2）实数的平方必为非负数；
（3）由
，即可判断.
【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当
，则该命题不成立，故为假命题；
（2）若
，则
，该命题为真命题；
（3）若一个数能被6 整除，则它既能被3 整除也能被2 整除，
若一个数能被6 整除，即6 为该数的一个因数，由
，
则
也为该数的因数，故该命题正确.
变式6.（2024·江苏·高一假期作业）把下列命题改写成“若
，则
”的形式，并判断真假．
(1)当
时，
无实根；
(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5 整除也能被2 整除．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果；
【详解】（1）当
时，
无实根，改为：若
，则
无实根．
由于
，
．故该命题为真命题．
（2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5 整除也能被2 整除，改为：若一个整数的个位数是0，则
这个数一定能被5 整除，也能被2 整除，
易知此命题为真命题．
【方法技巧与总结】
1、命题概念的理解
(1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推
移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题．
(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断．
(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题．
(4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举
出一个反例即可．
2、判断命题真假的方法
(1)对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假．
(2)将一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下．
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①若通过逻辑推理可以由p 得到q，则可确定命题“若p，则q”为真；而要确定命题“若p，则q”为
假，则只需举出一个反例．
②从集合的观点，我们建立集合A，B 与p，q 之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|
q(x)}，就是说，A 是能使p 成立的对象x 所构成的集合，B 是能使q 成立的对象x 所构成的集合，此时，命
题“若p，则q”为真(意思就是“使p 成立的对象也能使q 成立”)，即A⊆B.
【题型2：全称量词命题与存在量词命题的判断】
例3.（2024·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于
；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b 能使
；
(5)方程
有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于
，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使
成立．故为存在量词命题．
变式1.（2023·全国·高一专题练习）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形
C．一切三角形的内角和都等于
D．任意两个等边三角形都相似
【答案】A
【解析】A 选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；
BCD 选项，含有全称量词，不含存在量词.故选：A.
变式2.【多选】（2023·全国·高一课时练习）下列语句是全称量词命题的是（ ）
A．对任意实数x，
B．有一个实数a，a 不能取对数
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C．每一个向量都有方向吗 D．等边三角形的三条边相等
【答案】AD
【解析】ABD 是命题，C 不是命题，其中A 中含有全称量词，
所以是全称量词命题，B 是存在量词命题，所以A 正确，BC 错误，
D 中隐藏了全称量词“所有”，也是全称量词命题，所以D 正确，故选：AD
变式3．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）下列语句是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意
是奇数
D．存在
是奇数
【答案】ABD
【分析】根据存在量词和全称量词即可
【详解】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D 均为存在量词命
题，选项C 为全称量词命题．
故选：ABD
变式4.（2024·江苏·高一假期作业）给出下列命题：①正方形的四条边相等；②至少有一个正整数是偶数；
③正数的平方根不等于0；④有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．其中是全称量词命题的是 ，
是存在量词命题的是 （填序号）.
【答案】 ①③④ ②
【分析】根据全称命题与存在性命题的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的定义，可得：
①中，正方形的四条边相等为全称命题；
②中，至少有一个正整数是偶数为存在性命题；
③中，正数的平方根不等于0 为全称命题；
④中，有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形为全称命题，
其中是全称量词命题的是①③④，是存在量词命题的是②.
故答案为：①③④；②.
变式5.（2024·全国·高一专题练习）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
（1）凸多边形的外角和等于
；
（2）矩形的对角线不相等；
（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）有些实数a，b 能使
；
（5）方程
有整数解.
【答案】（1）全称量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题
（4）存在量词命题；（5）存在量词命题
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【解析】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于
，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使
成立．
故为存在量词命题．
变式6．（2024·高一课时练习）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“
”或“
”表
示下列命题．
(1)所有实数
都能使
成立；
(2)对所有实数
，
，方程
恰有一个解；
(3)存在整数
，
，使得
成立；
(4)存在实数
，使得
与
的倒数之和等于1．
【答案】(1)“所有”是全称量词；
，
(2)“所有”是全称量词；
，
，方程
恰有一个解
(3)“存在”是存在量词；
，
，
(4)“存在”是存在量词；
，
【分析】利用全称量词，存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义求解即可
（1）
“所有”是全称量词；
，
；
（2）
“所有”是全称量词；
，
，方程
恰有一个解；
（3）
“存在”是存在量词；
，
，
；
（4）
“存在”是存在量词；
，
．
【方法技巧与总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的区别
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(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全
部”．
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．
2、全称量词命题或存在量词命题的判断
判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量
词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．
注：判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临
界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理．
【题型3：判断全称量词命题与存在量词命题的真假】
例4．（2023 秋·广西贺州·高一校考阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断
其真假.
(1)至少有一个整数，它既能被11 整除，又能被9 整除;
(2)线段的长度都能用正有理数表示;
(3)
，
.
【答案】(1)存在量词命题，真命题
(2)全称量词命题，假命题
(3)存在量词命题，真命题
【分析】含有全称量词的命题为全称题词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题，并举例判断命题的
真假.
【详解】（1）含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99 既能被11 整除，又能被9 整除，故此命题为
真命题.
（2）“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它是假命题，如线段的长度也可以是
.
（3）“
，
.”含有存在量词，故它是存在量词命题，当
时命题成立，故此命题为真命题.
变式1.（2023 秋·山西·高一统考阶段练习）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“
，
”是全称量词命题；
③命题“
，
”是真命题；
④命题“有一个偶数是素数”是真命题.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】①命题是全称量词命题；②命题是全称量词命题；③④，通过举例得到命题是真命题.
【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题；
②命题“
，
”是全称量词命题，所以该命题是真命题；
③命题
，
，如
，所以该命题是真命题；
14
④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题.
故选：D
变式2.（2023 春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．
，使
B．
，
C．
，
D．
，使
【答案】B
【分析】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，
解方程判断.
【详解】对于A，由
，得
，所以不存在自然数使
成立，所以A 错误，
对于B，因为
时，
，所以
，所以B 正确，
对于C，当
时，
，所以C 错误，
对于D，由
，得
，所以D 错误，
故选：B
变式3.【多选】（2023 秋·重庆·高一开学考试）在下列命题中，真命题有（ ）
A．
B．
是有理数
C．
，使
D．
，
【答案】BC
【解析】对于A，
，
，A 是假命题；
对于B，因为有理数的四则运算（除数不为0）结果仍为有理数，
因此
一定是有理数，B 是真命题；
对于C，
时，
成立，C 是真命题；
对于D，当
时，
，D 是假命题．故选：BC
变式4.（2024·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A．
B．菱形的两条对角线相等
C．
D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
15
【详解】对于A，
为全称量词命题，但是
，故是假命题，故A 错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B 错误，
对于C,是存在量词命题,故C 错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D 正确，
故选：D
变式5．【多选】（2023 秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的
是（ ）
A．任何一个实数乘以0 都等于0
B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式
D．一定存在没有最大值的二次函数
【答案】AC
【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题.
【详解】A 选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；
B 选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0 是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；
C 选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；
D 选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．
故选：AC．
变式6.（2023 秋·陕西宝鸡·高一统考期末）用符号“
”与“
”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)对任意实数
，方程
有实根；
(2)存在实数
，使得
；
(3)存在实数
，使得
等于
的10 倍．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题（1）（2）（3），并判断真假.
【详解】（1）
，方程
有实根；
由
，
此时方程
无实根，
故该命题为假命题．
（2）
，使得
；
由
，
，无实数解，
16
故不存在
，使得
，
因此该命题为假命题．
（3）
，使得
等于
的10 倍．
因为
，
即
所以
，使得
等于
的10 倍，
因此该命题为真命题．
【方法技巧与总结】
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全
称量词命题就是假命题．
(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么
这个存在量词命题是假命题．
【题型4：全称量词命题、存在量词命题的求参问题】
例5.（2023 秋·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）“
”是真命题，则m 的
范围是
【答案】
【解析】对于命题：对任意
，不等式
恒成立，
而
，有
，
∴
，∴命题为真时，实数m 的取值范围是
.
故答案为:
变式1.（2024·江苏·高一假期作业）已知命题
为假命题，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据条件，可得方程有实数根，再求出实数a 的取值范围是即可.
【详解】题中的命题为全称量词命题，
因为其是假命题，所以其否定“
”为真命题，
即关于x 的方程
有实数根．
17
所以
或
，即
或
且
，所以
，
所以实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
变式2.（2023 春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）若命题“
”为真命题，则实数a 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可.
【详解】命题“
”为真命题，
则有判别式
，解得
.
故答案为：
.
变式3.（2024·贵州安顺·统考模拟预测）若命题“
，
”是假命题，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出
，求解即可得出答
案.
【详解】命题“
，
”的否定为：“
，
”，
该命题为真命题.
所以，应有
，所以
.
故选：A.
变式4.（2023 秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“
，
”为真
命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解
的最大值即可.
【详解】由已知
，
，则
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：C.
变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
，
，且
.若命
18
题p：“
，
”是真命题，求m 的取值范围；
【答案】
【分析】首先判断出
，对
列不等式计算求解可得
的取值范围.
【详解】由于命题
：“
，
”是真命题，
所以
，
，则
解得
综上
的取值范围是
.
变式6.（2024·江苏·高一假期作业）设全集
，集合
，集合
，
其中
.若命题“
”是真命题，求
的取值范围.
【答案】
【分析】由题意可得
，进而建立不等式组解得答案.
【详解】因为
是真命题，所以
, 即
，解得
故
的取值范围为
.
变式7.（2023 秋·高一课时练习）已知集合
，
，且
.
(1)若命题p：“
，
”是真命题，求m 的取值范围；
(2)若命题q：“
，
”是真命题，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到
，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；
（2）根据命题q 为真命题，得到
，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.
【详解】（1）命题p：“
，
”是真命题，故
，
所以
，解得
，
故m 的取值范围是
.
（2）由于命题q 为真命题，则
，
因为
，所以
，所以
,
当
时，一定有
，
要想满足
，则要满足
，解得
，
19
故
时，
，
故m 的取值范围为
.
变式8.（2023 秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知命题
：∃
，
；命题
：∀
，
.若
、
都为假命题，则实数
的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2]
D．[－1,1]
【答案】A
【详解】p，q 都是假命题．由p：∃
，
为假命题，
得∀
，
，∴
.
由q：∀
，
为假，得∃
，
∴
，得
或
.
∴
.
故选A.
【方法技巧与总结】
全称量词命题、存在量词命题的求参问题
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决有关
“恒成立”的问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解．
(2)存在量词命题的常见题型是用适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述的．
解答这类问题时，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从此肯定的假设出发，结合已知条件进行推
理论证．若推出合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．
【题型5：含有一个量词的命题的否定及其真假判断】
例6.（2023 秋·河北保定·高一校联考阶段练习）若命题
：梯形是四边形，则（ ）
A．
是全称量词命题，且
的否定：有些梯形不是四边形
B．
是全称量词命题，且
的否定：所有的梯形不是四边形
C．
是存在量词命题，且
的否定：有些梯形不是四边形
D．
是存在量词命题，且
的否定：所有的梯形不是四边形
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.
【详解】
是全称量词命题，且
的否定：有些梯形不是四边形.
故选：A.
变式1.（2023 春·广东梅州·高二统考期末）命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是
（ ）
A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直
20
C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定分析判断.
【详解】由题意可知：“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是“任意一个四边形，它的
两条对角线不互相垂直”.
故选：C.
变式2.（2023 春·湖南长沙·高二校联考期中）写出命题“
”的否定： .
【答案】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“
”的否定为
.
故答案为：
.
变式3.（2023 秋·安徽合肥·高一统考期末）已知命题
，总有
，则
为（ ）
A．
，使得
B．
，使得
C．
，总有
D．
，总有
【答案】B
【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．
【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，则
为
，使得
.
故选：B．
变式4.（2023 秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）命题“
，使得
”的否定形式
是（ ）
A．
，使得
B．
都有
C．
，使得
D．
，都有
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.
【详解】“
，使得
”是全称命题，全称命题的否定是特称命题
故否定形式是
，都有
.
故选：D
变式5.（2023 秋·广西河池·高一统考期末）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
21
C．
D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为
．
故选：C．
变式6.（2022 秋·浙江杭州·高一校考阶）命题
，
，则命题
的否定是（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】因为命题
，
是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即
，
，故选：B
变式7.（2023 春·黑龙江·高一大庆实验中学校考）命题：“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】命题：“
，
”为存在量词命题，
该命题的否定为“
，
”.故选：B.
变式8.（2023 春·江苏南京·高二统考期末）命题“
”的否定是 .
【答案】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.
【详解】命题“
”的否定是
.
故答案为：
变式9.（2023 春·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）命题“
”的否定是
【答案】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得结果.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“
”的否定为“
” ，
22
故答案为：
.
变式10.（2023 春·四川成都·高二期末）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解.
【详解】由题意得，“
，
”的否定为
，
,
故选：B
变式11.（2023 春·山东滨州·高二统考期末）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题直接求解.
【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
可得命题“
”的否定是
.
故选:D.
例7.（2023 秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．
，一元二次方程
没有实数根
D．平面四边形
，其内角和等于360°
【答案】C
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由
，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称
命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符
号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命
题．
【详解】对于A，
，
，其否定为：
，
，
由
时，
，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A 不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B 不正确；
对于C，
，一元二次方程
没有实根，
23
其否定为：
，一元二次方程
有实根，
由
，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C 正确；
对于D，平面四边形
，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D 不正确；
故选：C.
变式1.（2024·全国·高三专题练习）命题
，一元二次方程
有实根，则对命题
的真
假判断和
正确的为（ ）
A．真命题，
，一元二次方程
无实根
B．假命题，
，一元二次方程
无实根
C．真命题，
，一元二次方程
有实根
D．假命题，
，一元二次方程
有实根
【答案】A
【分析】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.
【详解】在一元二次方程
中
恒成立，故对任意
，方程都有实根，
故命题
为真命题，
，一元二次方程
无实根.
故选：A
【方法技巧与总结】
1、含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他
们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．
注：（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“
”的否定是存在量词命题：
．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“
”的否定是全称量词命题：
．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
2、常见正面词语的否定：
正面
词语
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
都是
对所有的
成立
对任何的
不成立
否定
不等式
（≠）
不大于
（≤）
不小于
（≥）
不是
不都是
存在
不
成立
存在
成
立
正面
词语
至多有
一个
至少有
一个
任意
所有
至多有n
个
至少有
个
或
且
否定
至少有
两个
一个都
没有
某个
某些
至少有n+1
个
至多有
-1
个
非
且非
非
或非
24
【题型6：根据含有量词命题的否定的真假求参数】
例8.（2024·全国·高一假期作业）已知命题
”的否定为真命题，则实数
的取值范
围是 .
【答案】
【分析】问题等价于
有解，即
或
，解得答案.
【详解】已知问题等价于
有解，即
或
，解得
.
故答案为：
变式1.（2024·高一课时练习）已知命题
，命题
，若命题
p 和
都是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据命题的真假求出
的范围，取交集可得答案.
【详解】当
为真时，
；
当
为真时，
，即
；
因为命题p 和
都是真命题，所以
且
或
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（2024 高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③
的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据命题的概念逐一判断.
【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.
故选：C.
25
2．（23-24 高一上·广东佛山·期中）以下4 个命题：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
其中真命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】（1）结合二次函数分析即可；
（2）取
时验证即可；
（3）取
时验证即可；
（4）解出方程
的根验证即可.
【详解】（1）令
，
由对称轴为
，
则
，
又
，
且该二次函数开口朝上，
故对
，
故正确；
（2）因为
，
所以当
时，
，
故不正确；
（3）因为
，
所以当
时，
，
故不正确；
（4）因为
，
由
均为无理数，故不存在
，使得
，
故不正确；
故选：D.
26
3．（23-24 高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数
B．
，
C．有一个实数
，使
D．有些平行四边形是菱形
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD 不合题意，再判断出命题真假即可得出结论.
【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，
例如2 是素数，但2 是偶数，所以A 错误；
对于B，易知“
，
”是全称量词命题，
且由
可得
，所以是真命题，即B 正确；
对于C，“有一个实数
，使
”是存在量词命题，不合题意；
对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意；
故选：B
4．（23-24 高一上·吉林长春·期中）下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是（ ）
A．有的梯形对角线互相平分
B．三角形都有内切圆
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】判断各选项中命题的类型及其真假，即可得出合适的选项.
【详解】解：对于A，“有的”是存在量词，梯形的对角线不可能互相平分，原命题为假命题，
该命题的否定为真命题，故A 符合题意；
对于B，原命题是省略了全称量词的全称量词命题，原命题为真命题，其否定为假命题，B 不符合题意；
对于C，原命题是存在量词命题，但它是一个真命题，其否定为假命题，C 不符合题意；
对于D，原命题是全称量词命题，取
，则
，原命题为假命题，其否定为真命题，D 不符合题意．
故选：A．
5．（23-24 高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
②命题“
”是全称量词命题；
③命题“
”的否定为“
”；
④命题“
”是真命题；
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断
依据即可求解.
【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确；
27
对②，“
”为任意，即为全称量词，所以命题“
”是全称量词命题，故②正确；
对③，命题“
”的否定为“
”；故③错误；
对④，
，故该命题为真命题，故④正确，
所以正确的有个.
故选：D.
6．（23-24 高一上·山东日照·阶段练习）下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（ ）
（1）
；
（2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数；
（3）
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据命题与命题的否定的关系求解.
【详解】命题
的否定为
，为假命题；
存在整数1，它既不是合数，又不是质数，
所以命题至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数为真命题，
所以它的否定为假命题；
为假命题，所以它的否定为真命题；
故选:B.
7．（23-24 高一上·内蒙古兴安盟·期中）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得出正确选项.
【详解】命题“
，
”的否定，
即把存在变为任意，然后否定结论，即
，
.
故选：D
8．（23-24 高二下·福建福州·期末）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将特称命题否定为全称命题即可.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
28
故选：D
9．（23-24 高二下·重庆·期末）若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解.
【详解】由于“
，
”为假命题，
故其否定为“
，
”为真命题，则
，得
，
故选：D
二、多选题
10．（23-24 高一上·广东江门·期中）若命题“
，
”是假命题，则
的值可
能为（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】BC
【分析】由题设
，使得
为真命题，结合一元二次不等式在实数集上恒成
立列不等式组求参数范围，注意讨论
的情况.
【详解】因为命题“
，
”是假命题，
所以
，使得
为真命题，
当
时，
，当
时，
恒成立，符合题意，
当
时，
不恒成立，不符合题意，
当
即
时，有
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
，结合选项知
的值可能为1,3.
故选：BC
11．（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若
，则
；（2）若四边形为等腰梯
形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（ ）
A．命题（2）是全称量词命题
B．命题（1）的否定为：存在
C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题
【答案】AB
29
【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否
定的真假性的关系即可得解.
【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而
言，它的对角线都相等”，故A 正确；
对于B，命题（1）的否定为：存在
，故B 正确；
对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C 错误；
对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否
定是假命题，故D 错误.
故选：AB.
三、填空题
12．（23-24 高一上·山东·期中）根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题：
，
，
，
……
【答案】
，
.
【分析】观察式子得从开始从小到大连续
个奇数相加的和为
，从而求解.
【详解】观察式子可知：从开始从小到大连续
个奇数相加的和为
，
故可得：
，
；
故答案为：
，
.
13．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）若命题
为真命题，则m 的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用二次函数性质求解可得.
【详解】由题意，不等式
有解，即不等式
有解，
设
，则函数图象开口向上，
要使不等式
有解，则函数
图象与
轴有交点，
则
，化简得
，解得
或
．
故答案为：
30
14．（23-24 高三上·四川南充·阶段练习）设命题
，
，若
是假命题，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题
是真命题，即可根据命题
得出
，
，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出
在
上的最小值，即可得出答案.
【详解】
是假命题，
是真命题，
，
，
，
，
当
时，
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
，可取到
，
，
，
故答案为：
.
四、解答题
15．（2023 高三·全国·专题练习）用数学符号“
”“
”表示下列命题，并判断命题的真假性．
(1)当
时，
；
(2)自然数不都是正整数；
(3)至少存在一个实数
，使得
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）应用数学语言
、
描述已知命题，进而判断其真假.
【详解】（1）命题表示为“
，
”．
因为
，所以该命题为真命题．
（2）命题表示为“
，
”．
31
因为
，
，所以该命题为真命题．
（3）命题表示为“
，
”．
因为
，所以该命题为真命题．
16．（23-24 高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合
，集合
，命题
，命题
，
．
(1)若命题
为假命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和命题
至少有一个为真命题，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）先根据
为真命题分析出
，由此求解出
的范围，然后取对应范围在实数集下的
补集即为结果；
（2）考虑命题
均为假命题时
的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果.
【详解】（1）若
为真命题，则
，
所以
，所以
，
所以命题
为假命题时，
的取值范围为
.
（2）当
为假命题时，即“
”为真命题，
所以
，所以
的取值范围为
，
所以当
均为假命题时
的取值范围为
，
所以当命题
和命题
至少有一个为真命题时
的取值范围为
或
.
17．（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合
，集合
，如
果命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题命题“
，
”为真命题，进而分
和
两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为命题“
，
”为假命题，
所以，命题“
，
”为真命题，
32
因为集合
，集合
所以，当
时，
，此时
成立，
当
时，由“
，
”得
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
故选：A.
18．（23-24 高一上·山西太原·阶段练习）太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同
学甲给社团内同学乙出题如下：若：“
，
”是假命题，求实数
的取值范围.同学乙
略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“
，
”是真命题，求实数
的取值范围，
你认为两位同学出的题中的
的取值范围是否相同，
的取值范围是多少?
【答案】相同，
【分析】由于命题“
，
”的否定是“
，
”，故可将题目转换为
不等式恒成立问题来求参数
的取值范围,对参数
进行分类讨论即可.
【详解】由题意命题：“
，
”的否定是命题：“
，
”，
因此“
，
”是假命题当且仅当“
，
”是真命题，
所以两位同学出的题中的
的取值范围相同，
现在我们来求满足题意的
的取值范围：
若
，
，分以下两种情形来讨论：
情形一：当
时，不等式
变为了
显然成立，故
符合题意；
情形二：当
时，若关于
的一元二次不等式
恒成立，
则当且仅当
，
解不等式组得
；
综上所述：满足题意的
的取值范围为
.
19．（23-24 高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题
，命题
．
(1)当命题
为假命题时，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和
中有且仅有一个是假命题，求实数
的取值范围
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）当命题
为假命题时，
为真，分
、
讨论，可得答案；
33
（2）求出命题
为假命题、真命题
的范围，求出命题
为真命题、为假命题
的范围，分命题
为假命
题、
为真命题，或命题
为假命题、
为真命题两种情况可得答案.
【详解】（1）
，
当命题
为假命题时，
为真命题，
所以当
时，
成立，
当
时，可得
，解得
，
综上所述，
；
（2）由（1）知，
若命题
为假命题，则
，
若命题
为真命题，则
或
，
若命题
为真命题，
则
，解得
或
，
若命题
为假命题，则
，
所以命题
为假命题、
为真命题时，
；
命题
为假命题、
为真命题时，
；
所以若命题
和
中有且仅有一个是假命题，则
或
.
20．（2024·浙江温州·一模）已知命题
：方程
有两个不等的负实根；命题
：方程
无实根.
(1)若命题
为真，求实数
的取值范围；
(2)若命题
，
中有且仅有一个为真一个为假，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二次函数的性质得出命题
为真时，实数
的取值范围，进而由命题
为真求解；
（2）由判别式得出
为真时，实数
的取值范围，再讨论
真
假或
假
真，得出实数
的取值范围.
【详解】（1）若方程
有两个不等的负根，则
，解得
；
34
因为命题
为真，所以实数
的取值范围为
.
（2）若方程
无实根，则
，解得
.
若
真
假时，
，解得
；
若
假
真时，
，解得
.
综上，得
.
