文档内容
酒泉市普通高中 2024~2025 学年度第一学期期末考试
高一数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：湘教版必修一前五章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
【详解】由诱导公式可得， .
故选：B
2. 已知命题 ，则命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题 为全称量词命题，
其否定为存在量词命题，即为 .
故选：C
3. 若函数 在 处取得最小值，则 等于（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C【解析】
【分析】由 ，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为函数 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 等于3，
故选：C
4. 函数 的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.
【详解】由对数函数的性质知 ，解得 或 ，
因为函数 的图象的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，则函数 为减函数，
由复合函数单调性知，函数 的单调递增区间为 .
故选：D
5. 已知函数 ，则在下列区间中使函数 有零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数 在 上的单调性，结合零点存在性定理判断该区间内的零点，再说
明在 内函数 不存在零点.
【详解】函数 为R上增函数，函数 在 内单调递减，函数 在
上单调递增，
又 ，
因此函数 在区间 内有零点，在区间 上不存在零点，当 时， ，则 ，当 时， ，则
，
当 时， ，则 ，因此函数 在 上
都不存在零点.
故选：B
6. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可.
【详解】由指数函数单调性可知， ，
由对数函数单调性可知， ，
所以 ，所以 ，
故选：D.
7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中
和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到 2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗
透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量
（单
位： ），放电时间 （单位： ）与放电电流 （单位： ）之间关系的经验公
式 ，其中 为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间 ，则当放电电流 时，放电时间为（ ）
A. 27h B. 27.5h C. 28h D. 28.5h
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列方程 ，根据指数运算、对数运算性质求解即可.
【详解】由题意， ，
则 ，
故选：C.
8. 对于函数 ，若存在 ，则称 为 的不动点.若函数
对 恒有两个相异的不动点，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 恒有两个不动点，转化为 恒有两个不等实根，利用
判别式求解即可.
【详解】因为函数 恒有两个相异 不动点，即 恒有两个不等
实根，
整理得 ，
所以 ，即 ，对 恒成
立，
则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A，定义域为 ，令 ，因为 ，
所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数 在区间 上单调递减，
所以A正确；
对于B，定义域为 ，令 ，因为 ，
所以此函数为偶函数，因为 在 上单调递减，所以B正确；
对于C，定义域为 ， 为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误；对于D，定义域为 ，令 ，因为
，
所以此函数为偶函数，当 时， ，因为 在 上单调递减，
所以D正确.
故选：ABD
10. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C. 的图象关于直线 对称
D. 将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的图象求出函数解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象，得 ，函数 的最小正周期 ，解得
，A正确；
，由 ，得 ，而 ，
则 ，B错误；
函数 ， ，则 的图象关于直线
对称，C正确；
由函数 的图象向左平移 个单位长度，得 ，D正确
故选：ACD
11. 函数 图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函
数，我们发现可以推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函
数 为奇函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的对称中心是
B. 函数 的对称中心是
C. 类比上面推广结论：函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数
D. 类比上面推广结论：函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】计算 可判断A选项；计算 可判断B选项；推
导出函数 的图象关于直线 对称的充要条件为函数 为偶函数，可判
断CD选项.
【详解】因为函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
则 ，可得 ，
对于A选项，因为 ，
则 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，A对；
对于B选项，因为 ，
则 ，
，
所以， ，所以，函数 的对称中心是 ，B对；
若函数 的图象关于直线 成轴对称图形，
在函数 的图象上任取一点 ，
则该点关于直线 的对称点 在函数 的图象上，
所以， ，
用 替代等式 中的 可得
，
此时，函数 为偶函数，
所以，函数 的图象关于直线 对称的充要条件为函数 为偶函数，
对于C选项，类比上面推广结论：
函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数，
C对；
对于D选项，函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数，D错.
故选：ABC.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化：
①函数 的图象关于点 对称，则 ；
②函数 的图象关于直线 对称，则 .
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 且 的图象恒过定点 ，则定点 的坐标为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的定点分析求解即可.
【详解】令 ，解得 ，则 ，
所以定点 的坐标为 .
故答案为： .
13. 奇函数 的局部图象如图所示，则 与 的大小关系为________.【答案】
【解析】
【分析】先应用函数是奇函数得出 ， ，再结合图象即可解.
【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以 ， ，
由函数图象可知 ，所以 ，即 .
故答案为： .
14. 已知函数 在 上不单调，则 的值可以是______.
（说明：写出满足条件的一个实数 的值）
【答案】3（答案不唯一，只要满足 即可）
【解析】
【分析】由题意可知，对称轴 位于区间 中，即可得到结果.
【详解】函数 图像开口向上，对称轴为 ，
若函数 上不单调，
则 ，所以 的值可以是3，答案不唯一，只要满足 即可.
故答案为：3（答案不唯一，只要满足 即可）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 或
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式，直接求解集合间的运算；
（2）分析可知集合A是集合B 真子集，根据包含关系列不等式，求解参数取值范围.
【小问1详解】当 时， ， 或 ，
且 或 ，
所以 或 或 ；
【小问2详解】
由（1）得 或 ，
又因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 ，可知集合A是集合B的真子集，
所以 或 ，解得 或 ，
综上所述： .
16. （1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，计算 的值；
（3）计算 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂运算法则计算可得结果；
（2）根据齐次式的计算方法可得出结果；
（3）利用对数运算性质计算可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，则
，
又 ，则 ，又 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ；
（3） .
17. 已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；（2）若 ，求 的值域；
（3）若当 时，函数 的图象与直线 有2个交点，求实数
的取值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调性求出 的单调增区间即可；
（2）求出 时 的取值范围，从而得出 的取值范围，进而可得
的值域；
（3）画出函数 与直线 的图象，数形结合即可求解.
【小问1详解】
令 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间 .
【小问2详解】
当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
【小问3详解】
函数 的图象与直线 有2个交点，作图如下：由图可知 ，故数 的取值为 .
18. 已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断 奇偶性，并加以证明；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）偶函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由 且 求解；
（2）利用函数奇偶性的定义求解；
（3）将 转化为 求解.
【小问1详解】
解：由题意得： 且 ，
解得 ，所以函数定义域为 ；
【小问2详解】
因为 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以 为偶函数；
【小问3详解】
，
则 <3，化简得 且 ，
解得 或 .
19. 已知函数 .（1）若 ，求函数 的值域；
（2）若该函数图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交，求函数 的解析式
并写出其单调性（写出即可，不用证明）；
（3）若 ，且 对于任意的 恒
成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） ， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）
【解析】
【分析】（1）结合指数函数的单调性不解；
（2）由函数图象性质求得函数解析式，然后由复合函数单调性得结论．
（3）利用函数式化简不等式，结合 ，可对不等式进行分离参数，转化为求新函数的最大值得
参数范围．
【小问1详解】
若 ， ，则 ，
∵ ， 单调递减，可得 ，
∴ 的值域为 .
【小问2详解】
∵该函数图像过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交.
∴ 且 .所以
∴ ，
是减函数， 在 上递减，在 上递增， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问3详解】
若 ， ， ，∴
当 时，即为 ，即 .
∵ ，
∴ 对于 恒成立．
∵ ，∴ ，
故m的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：对于恒（能）成立问题，常常采用参变分离的方法，再结合最值分析求解.
