文档文本内容
7.2.2 单位圆与三角函数线
课程标准
学习目标
会用单位圆中的三角函数线表示任意角的正
弦、余弦、正切。
（1）了解三角函数线的意义，能用三角函数线
表示一个角的正弦、余弦、正切；
（2）能利用三角函数线解决一些简单的三角函
数问题。
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足
的点做成的集合，角
的终边与单位
圆相交于点
，如图，
则
，
，
，则角
的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角
的终边与单位圆的交点
作
轴的垂线，垂足为
；
（2）角
的终边（或其反向延长线）与直线
交于点
。
3、正弦线的定义：
为角
的正弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
4、余弦线的定义：
为角
的余弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
【即学即练1】（2023·高一课时练习）已知角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则
的终边在
（ ）
A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上
【答案】C
【解析】因为角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，
所以角
终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，
所以
的终边在第二、第四象限的角平分线上.故选：C.
知识点02 正切线
1、正切线的定义：
为角
的正切线
当角
的终边在第二、三象限或
轴的负半轴上，终边与直线
没有交点，但终边的反向延长线
与
有交点，而且交点的纵坐标也正好是角
的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
轴上的垂足；正切线由切
点指向切线与
的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点
）在前，终点（比如点
）在后，写为
【即学即练2】（2023·江苏·高一专题练习）如图，在单位圆中，角α 的正弦线、正切线完全正确的是（
）
A．正弦线为
，正切线为
B．正弦线为
，正切线为
C．正弦线为
，正切线为
D．正弦线为
，正切线为
【答案】C
【解析】角
在第三象限，故正弦线为
，正切线为
.故选：C
【题型一：三角函数线的作法】
例1．（2023·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【解析】（1）作出单位圆，交角
的终边于P，过P 作
轴于点M，
过点
作
轴，交角
的终边于T，如下图所示，
则角
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（2）作出单位圆，交角
的终边于P，过P 作
轴于点M，
过点
作
轴，交角
的终边反向延长线于T，如下图所示，
则角
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（3）作出单位圆，交角
的终边于P，过P 作
轴于点M，
过点
作
轴，交角
的终边于点T，如下图所示，
则角
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（4）因为
，所以角
与角
的终边相同，
作出单位圆，交角
的终边于P，过P 作
轴于点M，
过点
作
轴，交角
的终边的反向延长线于T，如下图所示，
则角
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
变式1-1．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【解析】（1）作出单位圆，交角
的终边于
，
过
作
轴，交
轴于
，
过点
作
轴平行线，交角
的终边于
，如图：
则角
的正弦线为
、余弦线为
、正切线为
；
（2）作出单位圆，交角
的终边于
，
过
作
轴，交
轴于
，
过点
作
轴平行线，交角
的终边于
，如下图：
则角
的正弦线为
、余弦线为
、正切线为
；
（3）作出单位圆，交角
的终边于
，
过
作
轴，交
轴于
，
过点
作
轴平行线，交角
的终边的反向延长线于
，如下图：
则角
的正弦线为
、余弦线为
、正切线为
；
（4）作出单位圆，交角
的终边于
，
过
作
轴，交
轴于
，
过点
作
轴平行线，交角
的终边的反向延长线于
，如下图：
则角
的正弦线为
、余弦线为
、正切线为
．
变式1-2．（2022·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【解析】（1）如图所示，正弦线为有向线段
，余弦线为有向线段
，正切线为有向线段
；
（2）如图所示，正弦线为有向线段
，余弦线为有向线段
，正切线为有向线段
；
（3）如图所示，正弦线为有向线段
，余弦线为有向线段
，正切线为有向线段
；
（4）如图所示，正弦线为有向线段
，余弦线为有向线段
，正切线为有向线段
.
变式1-3．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析
【解析】（1）
的终边与单位圆交于点
，与过
且平行于
轴的直线交于点
，
过
作
轴，交
轴于
，如下图：
则
是正弦线，
是余弦线，
是正切线．
（2）
的终边与单位圆交于点
，
的终边的反向延长线与过
且平行于
轴的直线交于点
，
过
作
轴，交
轴于
，如下图：
则
是正弦线，
是余弦线，
是正切线．
（3）
的终边与单位圆交于点
，
的终边与过
且平行于
轴的直线交于点
，
过
作
轴，交
轴于
，如下图：
则
是正弦线，
是余弦线，
是正切线．
（4）
的终边与单位圆交于点
，与过
且平行于
轴的直线交于点
，
过
作
轴，交
轴于
，如下图：
则
是正弦线，
是余弦线，
是正切线．
【方法技巧与总结】
三角函数线的画法
（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
轴的垂线，得到垂足，
从而得正弦线和余弦线；
（2）作正切弦时，过点
引
轴的垂线，交
的终边（
为第一或第四象限角）或
终边的反向延
长线（
为第二或第三象限角）于点
，即可得到正切线
【题型二：利用三角函数线比较大小】
例2．（2023·高一课时练习）如果
、
分别是角
的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出
的正弦线
和余弦线
，如下图所示：
由于
，由图可知，
．故选：D.
变式2-1．（2022·高一课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，在单位圆中作出角
的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT，
角
的正弦线
、余弦线
、正切线
，
由于
，因此
和
的终边关于y 轴对称，
由图可得
，
，
，
∴
，∴A，C，D 均错误，B 正确．故选：B
变式2-2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】画出
的三角函数线，如下：
则
，
，
，
设扇形
的面积为
，
则
，
，
又
，故
，
所以
，
，
因为
，所以
，所以
.故选：A
变式2-3．（2022 上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）（多选）已知
，那么下列命题正确的是
（ ）
A．若角
、
是第一象限角，则
B．若角
、
是第二象限角，则
C．若角
、
是第三象限角，则
D．若角
、
是第四象限角，则
【答案】BCD
【解析】设角
、
的终边分别为射线
、
．
对于A，如图1，
，
此时
，
，
，所以
，故A 错误；
对于B，如图2，
，
此时
，
，且
，所以
，故B 正确；
对于C，如图3，
，
此时
，
，且
，所以
，故C 正确；
对于D，如图4，
，
，即
，故D 正确．故选：BCD.
【方法技巧与总结】
画出三角函数线，通过比较三角函数线的大小从而确定三角函数值的大小
【题型三：利用三角函数线解三角不等式】
例3．（2023·湖北·高一校考阶段练习）若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
【答案】D
【解析】角α 的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：
即
∪
，故选：
.
变式3-1．（2023·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
（1）
且
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：
由图（1）知当
且
时，
角
满足的集合
.
（2）由图（2）知：当
时，
角
满足的集合
，
即
；
所以
的解集为
.
变式3-2．（2020·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】画出单位圆以及
，
，
，
∵
，且
，
从图中可知
的取值范围是
，故选：D.
变式3-3．（2023·高一课时练习）求函数
的定义域．
【答案】
【解析】要使原函数有意义，有
，即
．
如图，在单位圆中由
可知角x 的终边落在由OA，OB 及劣弧AB 围成的区域内（不含边
界）．
由
可知角x 的终边落在由OC，OD 及优弧CD 围成的区域内（含边界），
所以
，
所以原函数的定义域为
．
【方法技巧与总结】
利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤
（1）用边界值定出角的终边位置；
（2）根据不等式（组）定出角的范围；
（3）求交集，找单位圆中公共的部分；
（4）写出角的表达式。
【题型四：利用三角函数线求三角值的范围】
例4．（2023·高一课时练习）已知
是
的一个内角，且
，则
的取值范围是 （
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，则
，
又
，由
，得
．
作出
的正切线
，如图所示．
由图可得，当
时
，此时
，
故
的取值范围是
．故选：A．
变式4-1．（2021·高一课时练习）若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由下图可知
，
，
，即
．
变式4-2．（2023·高一课时练习）已知
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有
，
，
，
在
中，
，∴
,
又
，
∴
即
，
当且仅当
取等号，
∴
.
【方法技巧与总结】
通过三角函数的定义域确定三角函数线的范围，从而确定三角函数值的取值范围。
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）有三个命题：①
和
的正弦线长度相等；②
和
的正切线长度相同；③
和
的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】如下图，
和
的正弦线
关于y 轴对称，长度相等；
如下图，
和
两角的正切线分别为
长度相同；
如下图，
和
的余弦线
长度相等.
故①②③都正确.故选：C.
2．（2023·广西北海·高一校考期中）在
上，使不等式
成立的x 的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，则
，
又
，所以所求集合为
．故选：A．
3．（2023·全国·高一专题练习）使
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当x 的终边落在如图所示的阴影部分时，满足
．故选：A
4．（2023·高一课时练习）利用正弦线比较
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
在单位圆中，观察正弦线
可知，
在区间
，
的长度随着
增大而增大，
所以
故选：D
5．（2023·北京·高一北京四中校考期中）若
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三角函数线定义作出如图：
是角
的终边，圆
是单位圆，
则
，
，
，
，
，即
.故选：D
6．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】画出
的三角函数线，如下：
则
，
，
，
设扇形
的面积为
，
则
，
，
又
，故
，
所以
，
，
因为
，所以
.
所以
，故选：A
7．（2023·高一课时练习）在
上，利用单位圆，得到
成立的
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
在单位圆中，设
，则
，
，
，
由图形可得在第一象限
均大于0，
在第一象限恒成立，
即
在第一象限恒成立，以
为分界线，
当
时，
即
，
当
时，
即
；
综上
在第一象限无解；
由图形可得在第二象限
大于0，
均小于0，
所以
在第二象限无解；
由图形可得在第三象限
小于0，
大于0，
所以
在第三象限无解；
有图形可得在第四象限
大于0，
小于0，且
恒成立，
即
在
恒成立，所以
在第四象限的解为
，
综上
在
的解集为
，故选：C
8．（2023·全国·高一专题练习）若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，
在单位圆中，作出
内的一个角
及其正弦线
、余弦线
、正切线
.
由图知，
，又
分别与
轴、
轴的正方向相反，
而
与
轴的正方向相同，所以
.故选：D
二、多选题
9．（2023·辽宁葫芦岛·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
【答案】AD
【解析】对于A，单位圆中，
一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A 正确．
对于B，
与
有相同的正弦线，但
，所以B 错
对于C，
和
的余弦线相反，所以C 错，
对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，
即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D 正确．故选：AD
10．（2023·北京·高一北师大二附中校考期中）已知
，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若
、
是第一象限角，则
B．若
、
是第二象限角，则
C．若
、
是第二象限角，则
D．若
、
是第四象限角，则
【答案】CD
【解析】如图（1），α、β 的终边分别为OP、OQ，
，
此时
，故A 错；
如图（2），OP、OQ 分别为角α、β 的终边，
，
∴
，故B 错；
如图（2），角α，β 的终边分别为OP、OQ，
，
∴
，故C 正确；
如图（4），角α，β 的终边分别为OP、OQ，
∴
，故D 正确.
故选：CD.
11．（2022·高一课时练习）[多选题]给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
【答案】AD
【解析】由正弦线定义可知当
一定时，单位圆中的正弦线一定，故A 正确；
与
有相同正弦线，但
，故B 错误；
由正切线的定义可知，当
时，
和
的正切线均不存在，故C 错误；
具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D 正确．故选：AD．
12．（2023·江西九江·高一校考期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交
于点
．已知点
在圆O 上，点T 的坐标是
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，则
D．若
，则
【答案】AD
【解析】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有
，所以A 正确．
由于B 是∠AOB 的一边与单位圆的交点，
是对应∠AOB 的正弦值，即
，
所以
是对应∠AOB 的余弦值，即
，所以B 错误．
当
时，
，
，所以C 错误．
反过来，当
，即
时，
一定成立，所以D 正确．故选：AD．
三、填空题
13．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知角
，则
的大
小关系为 ．
【答案】
/
【解析】如下图示，在单位圆中
，
轴，
轴，且
，
所以
，
，
，
△
的面积
，
扇形
的面积
，
△
的面积
，
由图知：
，故
.
14．（2023·江苏·高一专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断：
①
；②
；③
；④
．
其中判断正确的有 （填序号）．
【答案】②④
【解析】①中，如图所示，根据三角函数线，可得
的函数值为正，
函数值为负，
可得
，所以①不正确；
②中，如图所示，依据三角函数线，可得
和
的三角函数线长度相等，
可得
，所以②正确；
③中，如图所示，因为
，依据三角函数线，可得
，
且
的正切线大于
的正切线的长度，可得
，所以③不正确；
④中，如图所示，依据三角函数线，可得
，且
的正弦线大于
的正弦线，
所以
，所以④正确.故选：②④.
15．（2020·高一课时练习）设
，
，
，则a､b､c 的大小顺序为 (按
从小到大的顺序排列).
【答案】
【解析】如图，在单位圆
中分别作出角
的正弦线
，角
的余弦线
､正切线
.
由
知
，
又
，易知
，
∴
，故
.
16．（2023·全国·高一专题练习）在
内，使
成立的
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图所示，找出在
内，使
成立的
值，由图可知，
，
．根据三角函数线的变化规律得出满足题中条件的角
．
四、解答题
17．（2022·高一课时练习）已知
,利用正弦线和余弦线比较
和
的大小.
【答案】
【解析】如图所示,正弦线为
,余弦线为
,因为
,所以
,即
.
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知点
在第一象限，在
内，求
的取值范围．
【答案】
【解析】由题意知
，即
，
由
，可得
或
，
又
，如图，由三角函数线可知，
，
综上，
或
，即
的取值范围为
.
19．（2023·高一课时练习）利用三角函数线说明
（1）当
时，求证：
；
（2）若
，则
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在直角坐标系中作出单位圆，
的终边与单位圆交于P，
的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，
则
，
．
因为
，
，
，
又
所以
，即
．
（2）如图所示，设单位圆与角
的终边分别交于
，
作
轴于
，作
轴于
，作
于C，
连接
，则
，
所以
，
即
．
20．（2023·全国·高一随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）如图1，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
又当
的终边落在射线
或
上时，有
，
所以，满足条件的
的集合为
.
（2）如图2，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
根据图2 可知，当
，且
时，有
.
所以，当
时，由
可得，
.
21．（2023·全国·高一专题练习）根据条件利用单位圆写出
的取值范围：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
（2）
或
．
【解析】（1）根据题意，画出单位圆，如图所示，
在单位圆中
，其中
为有向线段，
当
与
轴正方向方向相同时结果为正，反向时结果为负，
故
在
的角是
，
∴
的取值范围是
；
（2）根据题意，画出单位圆，如图所示，
在单位圆中，
，
为有向线段，与
轴正方向相同时，
为正，
与
轴正方向相反时，
为负，
因为
，
所以在
上满足条件的角是
，或
，
∴
的取值范围是
或
．
22．（2023·全国·高一课时练习）利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.
（1）求满足不等式
的x 的集合；
（2）求函数
的定义域.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由
得
在直角坐标系单位圆中，把角x 顶点为原点，其始边在x 轴的正半轴上；
在
范围内余弦线为
的角度有：
，
所以满足条件的角x 的范围是：
（2）函数
的定义域满足
，即
在直角坐标系单位圆中，把角x 顶点为原点，其始边在x 轴的正半轴上；
在
范围内正弦线为
的角度有：
，
所以满足条件的角x 的范围是：
