文档文本内容
1
10.1.1 复数的概念
课程标准
学习目标
（1）通过方程的解，认识复数；
（2）理解复数的代数表示及相关概念；
（3）理解两个复数相等的含义；
（1）了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数
系的过程和方法，通过方程的解认识复数；
（2）能描述复数代数表示式的结构特征，正确判
断复数的实部、虚部
（3）知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之
间的关系.
知识点01 复数的概念
1、虚数单位：一般地，为了使得方程
有解，人们规定的平方等于
，即
，并称为虚数
单位.
2、复数的定义：一般地，当
与
都是实数时，称
为复数.
2
3、复数的表示：复数一般用小写字母
表示，即
，其中
称为
的实部，
称为
的
虚部，分别记作
，
.
4、复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C 表示，因此
.
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b 而非bi.
（3）复数z＝a＋bi 只有在a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
【即学即练1】（22-23 高一下·湖北·月考）已知为虚数单位，复数
的虚部与实部互为相反数，
则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】由题，
，则
．故选：B
知识点02 复数的分类
1、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数.特别地，
称虚部不为0 的复数为虚数，称实部为0 的虚数为纯虚数.这样，复数
可以分类如下：
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【即学即练2】（22-23 高一下·江苏盐城·期中）已知复数
为纯虚数，则实数m 的值为
（ ）
A．
B．1
C．1 或
D．
或0
【答案】B
【解析】因为z 是纯虚数，所以
，解得
．故选：B．
3
知识点03 复数相等
1、复数相等的概念：两个复数
与
，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作
2、复数相等的充要条件：如果
都是实数，那么
。特别的，当
都是实数时，
的充要条件是
且
3、两个复数不一定能比大小
（1）根据复数相等的定义，知在
，
两式中，只要有一个不成立，那么
；
（2）若两个复数都全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则她们必须都是实数
（即虚部均为0）；
（3）若两个复数不全是实数，则不能比较大小。
【即学即练3】（23-24 高一下·北京·月考）设
，其中
，
是实数，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】因为
，即
，又
，
是实数，
依据复数相等的条件得
，即
，故
.故选：D.
【题型一：复数的基本概念应用】
例1．（22-23 高一下·山西大同·月考）已知为虚数单位，则复数
的虚部是（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【解析】复数
的虚部为.故选：D
4
变式1-1．（22-23 高一下·山东临沂·期中）设是虚数单位，若复数
的实部与虚部互为
相反数，则实数
（ ）
A．5
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】
复数
的实部与虚部互为相反数，
，解得：
，故选：A.
变式1-2．（22-23 高一下·浙江杭州·期中）若复数
，则z 的实部与虚部的和为（ ）
A．-1
B．1
C．5
D．-5
【答案】B
【解析】由
知实部为3，虚部为
，故实部与虚部的和为.故选：B.
变式1-3．（22-23 高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．实部为零的复数是纯虚数
C．
可能是实数
D．复数
的虚部是
【答案】C
【解析】A.
，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当
时，
是实数，说法正确；
D.复数
的虚部是1，说法不正确.故选：
.
变式1-4．（22-23 高一下·辽宁大连·月考）下列命题中：
①若
，则x＋yi＝1＋i 的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若
，则
.
正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】对于①，因为
，取
，则
，但
不成立，故①错误；
对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故②错误；
5
对于③，因为
，若
，则
不一定相等，
比如
，
，满足
，
此时
不相等，故③错误；故选：A.
【方法技巧与总结】
1、在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义、复数的代数形式，根据题意，解出结
果.
2、判断复数
的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是
的形式；
（2）看属性：看
，
是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
【题型二：复数的分类及应用】
例2．（23-24 高一下·江苏·月考）若复数
是纯虚数，则实数a 的值是（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】因为复数
是纯虚数，
所以
，解得
，所以实数a 的值是1.故选：A.
变式2-1．（23-24 高一下·重庆·月考）若复数
是纯虚数，则（ ）
A．
B．
且
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
，解得
或
，又
，所以
.故选：A
变式2-2．（22-23 高一下·甘肃白银·月考）设复数
为实数，则实数m 的值是
．
6
【答案】3
【解析】依题意有
，解得m＝3.
变式2-3．（22-23 高一下·上海奉贤·月考）若复数
是实数，则实数
.
【答案】
【解析】复数
是实数，则有
，解得
.
变式2-4．（23-24 高一下·山东·月考）复数
，其中
．
（1）若复数为实数，求
的值：
（2）若复数为纯虚数，求
的值．
【答案】（1）5 或
；（2）3
【解析】（1）由复数为实数，得
，解得
或
.
（2）由复数为纯虚数，得
，解得
.
【方法技巧与总结】
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，
否则容易产生增根。特别要注意，复数
为纯虚数的充要条件为
且
.
【题型三：复数相等的充要条件】
例3．（23-24 高一下·福建三明·月考）已知
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
所以
故选：D
变式3-1．（23-24 高一下·河南郑州·月考）已知为虚数单位，
为实数，若
，
7
则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由题意
，
所以
，解得
，所以
.故选：D.
变式3-2．（23-24 高一下·福建宁德·月考）若复数
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则
，解得
.故选：B.
变式3-3．（22-23 高一下·云南丽江·月考）设
，其中a，b 是实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，即
，
则
，即
，故选：B.
变式3-4．（22-23 高一下·陕西西安·月考）（1）若
，则实数
的值为多
少？
（2）若
，且
，则实数
的值分别为多少？
【答案】（1）
；（2）
或
【解析】（1）由已知得
，解得
；
（2）由已知得
，解得
或
.
8
【方法技巧与总结】
求解复数相等问题的步骤：（1）等号两侧都写成复数的代数形式；（2）根据两个复数相等的充要条件列
出方程（组）；（3）解方程(组).
【题型四：复数的综合应用】
例4．（22-23 高一下·山东菏泽·月考）欧拉恒等式
（i 为虚部单位，为自然对数的底数）被称为
数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式
的特例：当自变量
时，
，得
．根据欧拉公式，复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
则虚部为
．故选：C．
变式4-1．（22-23 高一下·河北张家口·月考）已知复数
，
，
若
，则实数
.
【答案】
或
【解析】若
，则
，又
，
则
，解得
或
.
变式4-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
，
为
的一个内角．若
不论
为何值，总存在
使得是实数，求实数
的取值范围．
【答案】
.
9
【解析】∵是实数，
，
，∴
，即
恒成立．
又
，
，
，
∴
，∴
，
∴当
时，不论
为何值，总存在
使得是实数，
故
的取值范围为
.
变式4-3．（22-23 高一下·河南·月考）若复数
，
，且
，求
的取值范围．
【答案】
【解析】由
可得
得
，
因为
，
所以
，
当
时，
；
当
时，
．
综上，
的取值范围为
．
变式4-4．（22-23 高一下·河南平顶山·期末）已知复数
，其中
.
（1）若
且
，求的值；
（2）若
，求
.
10
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
当
时，
，不符合条件，当
时，满足
，综上，
.
（2）若
，则
，
所以
，即
，
所以
，即
，解得
，
又因为
，所以
.
一、单选题
1．（22-23 高一下·北京通州·期中）复数
的虚部为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
的虚部为
．故选：C．
2．（22-23 高一下·江苏淮安·月考）已知复数
（i 为虚数单位）的实部与虚部
互为相反数，则
的取值不可能为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得
，即
，解得
或
计算选项中的三角函数可得，
，
，
，
故选：B.
3．（22-23 高一下·广东清远·期中）已知复数
，其中i 为虚数单位．若复数z 为实数，
则m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
11
【解析】因为复数
，复数z 为实数，则
，解得
.故选：D.
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．1 或6
C．
D．1
【答案】D
【解析】由题意可得：
且
，则
.故选：D.
5．（2023·湖南·三模）复数
是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．
且
B．
C．
且
D．
【答案】C
【解析】因为复数
是纯虚数的充要条件是
且
，
又因为
且
是
且
的充分不必要条件，
所以
且
是复数
为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.
6．（2022·辽宁沈阳·三模）已知复数
和
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，
复数
和
是实数，
成立，
当
时，例如
，推不出
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A
7．（22-23 高一下·浙江台州·期中）若a，
，i 是虚数单位，且
，则
的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】根据复数相等的充要条件可得
，解得
，所以，
.故选：D.
8 ．（22-23 高一下·江苏盐城·期中）已知复数
，
，
，
，并且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
所以
，消去
，得
，
12
则
，
因为
，所以当
时，
取得最小值为
，
当
时，
取得最大值为
，所以
.故选：D.
二、多选题
9．（22-23 高一下·陕西西安·月考）对于复数
，下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
为纯虚数 B．若
，则
C．若
，则
为实数 D．
【答案】AB
【解析】对于A：当
，
，当
时为实数，A 错误；
对于B：若
，则
，B 错误；
对于C：若
，则
为实数，C 正确；
对于D：
，D 正确.故选：AB.
10．（22-23 高一下·黑龙江鸡西·期中）若复数
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为虚数不能比较大小，若复数
，
则说明
与
均为实数，所以
且
.故选：AC
11．（22-23 高一下·福建福州·期中）已知复数
的实部与虚部互为相反数，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由条件知，
，∴
，∴
或
，
∵
，∴
，
或
．故选：ACD
三、填空题
12．（22-23 高二下·上海宝山·开学考试）复数
的虚部是 .
【答案】
【解析】由复数虚部的概念，易知复数
的虚部为
.
13
13．（22-23 高一下·山东泰安·期中）已知复数
是纯虚数，则
．
【答案】
【解析】因为复数
为纯虚数，可得
，解得
.
14．（22-23 高一下·陕西咸阳·期中）已知实数x，y 满足
，则
.
【答案】4
【解析】
，
，
，
，
.
四、解答题
15．（22-23 高一下·新疆省直辖县级单位·期末）实数
取什么数值时，复数
分别
是：
（1）实数？
（2）纯虚数？
【答案】（1）
或
；（2）
【解析】（1）由已知得
,
其中复数的实部为
，虚部为
，
当
时，即
或
时复数为实数.
（2）当
，即
，
即
时，复数为纯虚数.
16．（22-23 高一下·河南濮阳·期中）已知是虚数单位，复数
，
．
（1）当复数为实数时，求
的值；
（2）当复数为纯虚数时，求
的值；
【答案】（1）
或
；（2）
【解析】（1）
为实数，
，解得：
或
.
（2）
为纯虚数，
，解得：
.
17．（22-23 高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数
，
的值：
（1）
；
14
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
或
；（2）
或
或
或
；（3）
【解析】（1）因为
，
为实数，且
，
则
，解得
或
；
（2）因为
且
，
为实数，
所以
，解
得
或
，
解
得
或
，
所以
或
或
或
；
（3）因为
且
，
为实数，
所以
，解得
.
18．（22-23 高一下·安徽·期中）已知复数
，其中是虚数
单位，
.
（1）若
为纯虚数，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
为纯虚数，
所以
，解得
.
（2）由
，得
.
因此
.
15
因为
，所以当
时，
；
当
时，
，.故
的取值范围是
.
19．（22-23 高一下·河北·期末）已知复数
，
，其中是虚数单
位，
．
（1）若
为纯虚数，求
的值；
（2）若
，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由z1为纯虚数，则
，解得m＝－2.
（2）由
，得
∴
∵
，
∴当
时，
，当
时，
，
∴实数
的取值范围是
.
