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9.2 正弦定理与余弦定理的应用
课程标准
学习目标
（1）结合实例，理解测量不便到达的两点之间
的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度
方面的应用；
（2）掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理
在测量距离与角度等方面的应用。
（1）会在各种应用问题中，抽象或构造出三角
形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方
法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题
及基本图形和基本等量关系；
（2）能够用正、余弦定理求解与距离、高度、
角度有关的实际应用问题。
知识点01 实际测量中的有关名词、术语
1、基线
（1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，
基线越长，测量的精确度高越高。
2、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
2
3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小
于90°）
4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
5、坡角与坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。
【即学即练1】（23-24 高一·全国·练习）在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是
，
且到A 的距离为2，C 点的俯角为
，且到A 的距离为3，则B、C 间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离与高度问题的常见类型
（1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B 不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有
关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB 的长度不可直接测量时，AB 的距离的求
法分为以下三类.
两点间不可达又不可视
两点间可视但不可达
两点间都不可达
（2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角
（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示．
3
2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、
余弦定理求解。
3、解三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三
角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
【即学即练2】（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B 间的距离，
某同学首先选定了与A，B 不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（
的角A，B，C 所对的边分
别记为a，b，c），则一定能确定A，B 间距离的方案可以是（ ）
A．测量A，B，b
B．测量a，b，C
C．测量A，B，a
D．测量A，B，C
【题型一：测量距离问题】
例1．（23-24 高一下·山东泰安·月考）如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于
，
灯塔A 在观察站C 的北偏东
的方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东
的方向，则灯塔A 与灯塔B 间的
距离为（ ）
4
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（22-23 高一下·广东东莞·月考）如图，设
两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量
者在
的同侧，在所在的河岸边选定一点
，测出
的距离为
，
，则
两点间的距
离为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（23-24 高一下·湖南衡阳·月考）某次军事演习中，炮台
向北偏东
方向发射炮弹，炮台
向
北偏西
方向发射炮弹，两炮台均命中
外的同一目标，则
两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（23-24 高一上·江苏无锡·月考）如图，位于我国南海海域的某直径为
海里的圆形海域上有
四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距为5 海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得
到数据：
．小岛C 与小岛D 之间的距离为 海里．
5
变式1-4．（23-24 高一下·云南红河·月考）为绘制海底地貌图，测量海底两点
，
间的距离，海底探测
仪沿水平方向在
，
两点进行测量，
，
，
，
在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得
，
，
，
，同时测得
海里.
（1）求
的长度；
（2）求
，
之间的距离.
【方法技巧与总结】
三角形中与距离有关的问题的求解策略：
（1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求
的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解；
（2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，
还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.
【题型二：测量高度问题】
例2．（23-24 高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银
､
塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底
的同一水平面上的
两点处进行测量，如图2.已知在
处测得塔顶
的仰角为60°，在
处测得塔顶
的仰角为45°，
米，
，则该塔的高度
（ ）
A．
米
B．
米
C．50 米
D．
米
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变式2-1．（23-24 高一下·浙江·月考）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，
其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石
独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎
湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 得仰角为
，沿倾斜角为
的斜
坡向上走了90 米到达B 点（A，B，P，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 得仰角为
，则鼎湖峰
的山高PQ 为（ ）米
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（23-24 高一下·重庆·月考）济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济
南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端D 的仰角为
，他又沿
着泉标底部方向前进34.2 米，到达B 点，又测得泉标顶端D 的仰角为
，则小明同学求出泉标的高度约
为 米.
（参考数据：
，
，
）
变式2-3．（23-24 高一下·陕西西安·月考）瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞
云塔的高度
，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物
，高为
，在地面上点C 处（B，C，N 三
点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得瑞云塔顶部M 的仰角为
15°，瑞云塔的高度为 .
7
变式2-4．（23-24 高一下·山西大同·月考）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔
的
塔高，无人机的航线与塔
在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为
，在
处测得塔底
（即
小山的最高处）的俯角为
，塔顶
的俯角为
，向山顶方向沿水平线
飞行
到达
处时，测得
塔底
的俯角为
，则该座小山的海拔为
；古塔
的塔高为
．
【方法技巧与总结】
1、测量高度问题的解题策略：
（1）“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平
面，将空间问题转化为平面问题；
（3）“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路。
2、测量高度问题需要注意3 个问题
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上
所成的角)是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，
一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
【题型三：测量角度问题】
例3．（22-23 高一下·湖南邵阳·月考）前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，
其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔
的塔身长
，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为
，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的
角）为（ ）
8
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（22-23 高一下·福建宁德·期末）位于某海域A 处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile 的B 处
有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西
，且与甲船相
距10nmile 的C 处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（22-23 高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛
的正南A 处，
海里，甲船以每小时4
海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛
出发以每小时6 海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行
一小时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向
B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向
D．南偏西15°方向
变式3-3．（22-23 高一下·安徽·月考）一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东
，距离
海里，
灯塔C 在A 的北偏西
，距离为
海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南
偏东
方向，则
．
变式3-4．（22-23 高一下·广东佛山·月考）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，
地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球
看作是一个球（球心为
，半径为
），地球上一点
的纬度是指
与赤道平面所成角的度数，点
处的水平面是指过点
且与
垂直的平面，在点
处放置一个仰角为
的地面接收天线（仰角是天线对
准卫星时，天线与水平面的夹角），若点
的纬度为北纬
，则
．
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【方法技巧与总结】
1、测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念。解决此类问题的关键是根据题意、
图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.
2、测量角度问题需要注意3 个问题
（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的
问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。
【题型四：综合应用问题】
例4．（22-23 高二上·广西·月考）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧
建造一个观景台
，已知射线
，
为两边夹角为
的公路(长度均超过3 千米)，在两条公路
，
上分别设立游客上下点
，
，从观景台
到
，
建造两条观光线路
，
，测得
千米，
千米.
（1）求线段
的长度；
（2）若
，求两条观光线路
与
之和的最大值.
变式4-1．（23-24 高一下·宁夏石嘴山·月考）某景区有一人工湖，湖面有
两点，湖边架有直线型栈道
，长为
，如图所示．现要测是
两点之间的距离，工作人员分别在
两点进行测量，在
点
测得
，
；在
点测得
．（
在同一平面内）
（1）求
两点之间的距离；
10
（2）判断直线
与直线
是否垂直，并说明理由．
变式4-2．（23-24 高一下·广东广州·月考）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．
一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C，现有甲、乙
两位游客从A 处下山，甲沿
匀速步行，速度为
，在甲出发
后，乙从A 乘缆车到B，在B
处停留
后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为
，山路
长为
，经
测量得
，
．
（1）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（2）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过
，乙步行的速度应控制在什么范围内？
变式4-3．（23-24 高一下·重庆渝中·月考）为改进城市旅游景观面貌提高市民的生活幸福指数，城建部拟
､
在以水源
为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园．如图：四边形
内接于圆
（注：圆的
内接四边形的对角互补），
为动物园区，
为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水
源
必须在植物园区
的内部或边界上）．又根据规划已知
千米，
千米．
（1）若
，且
，求边
的长为多少千米？
（2）若线段
千米，求动植物园的面积（即四边形
的面积）的取值范围（单位：平方千
米）.
变式4-4．（23-24 高一下·上海闵行·月考）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD 所
示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD 区域中，将三角形ABD 区域设立成花卉观赏区，三
角形BCD 区域设立成烧烤区，边AB､BC､CD､DA 修建观赏步道，边BD 修建隔离防护栏，其中
米，
11
米，
.
（1）若
米，求烧烤区的面积？
（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600 平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（精确
到0.1 米）
（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD 区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得
花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
一、单选题
1．（22-23 高一下·贵州遵义·期末）如图所示，为测量河对岸一点
与岸边一点
之间的距离，已经测得
岸边的
，
两点间的距离为
，
，
，则
，
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高一下·湖北武汉·月考）如图，要计算汤逊湖岸边两建筑物B 与C 的距离，由于地形的限制，
需要在岸上选取A 和D 两点，现测得
，
，则两建
筑物B 与C 的距离为（ ）
A．
km
B．
km
C．
km
D．
km
12
3．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）金山寺位于江苏省镇江市润州区，始建于东晋时期，是中国佛教禅宗
名寺，民间传说《白蛇传》中的金山寺即指此，与普陀寺､文殊寺､大明寺并列为中国的四大名寺，其中慈
寿塔为金山标志，砖木结构，七级八面，矗立于数重楼台殿宇之上，如图：记慈寿塔塔高OT，某测量小
组选取与塔底O 在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得
.
，
，在
B 点处测得塔顶T 的仰角为30°，则塔高OT 为（ ）
A．36m
B．
C．45m
D．
4．（23-24 高一下·河北沧州·月考）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他
选取与红豆树根部
在同一水平面的
，
两点，在
点测得红豆树根部
在北偏西
的方向上，沿正
西方向步行40 米到
处，测得树根部
在北偏西
的方向上，树梢
的仰角为
，则红豆树的高度为
（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
5．（22-23 高一下·福建龙岩·期中）如图所示，为了测量
处岛屿的距离，小明在D 处观测，
分别
在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20 海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A
在C 处的北偏西60°方向，则A，B 两处岛屿间的距离为（ ）
A．
海里
B．
海里
C．
海里
D．
海里
6．（23-24 高一下·吉林通化·月考）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡
逻舰从海岛
出发，沿南偏东
的方向航行40 海里后到达海岛
，然后再从海岛
出发，沿北偏东
的方向航行了
海里到达海岛
.若巡逻舰从海岛
出发沿直线到达海岛
，则航行的方向和路程（单
位：海里）分别为（ ）
A．北偏东
，
B．北偏东
，
C．北偏东
，
D．北偏东
，
7．（22-23 高一下·江苏南京·月考）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A 处和他所在教学楼四楼
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C 处为测量观测点（其中A 处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A 点测得M 点的仰角
，C 点的仰角
以及
，从C 点测得
．已知C 处距地面
10m，则旗杆高
（ ）
A．12m
B．15m
C．16m
D．18m
8．（23-24 高一下·江苏江阴·月考）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学
习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B 分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得
H，G，B 三点在同一直线上，在G，H 两点用测角仪测得A 的仰角分别是
和
，
，测角仪器的
高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若
，则此建筑物的高度是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·广东广州·月考）装货轮在A 处看灯搭B 在货轮北偏东
，距离为
海里；在A 处
看灯塔C 在货轮的北偏西
，距离为
海里.货轮自A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东
，则下列说法正确的是（ ）
A．A 处与D 处之间的距离是24 海里
B．灯塔C 与D 处之间的距离是
海里
C．灯塔C 在D 处的西偏南
D．D 在灯塔B 的北偏西
10．（23-24 高一下·山东栖霞·月考）如图，在海面上有两个观测点
在
的正北方向，距离为
，
在某天10：00 观察到某航船在
处，此时测得
分钟后该船行驶至
处，此时测得
，则（ ）
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A．观测点
位于
处的北偏东
方向
B．当天10：00 时，该船到观测点
的距离为
C．当船行驶至
处时，该船到观测点
的距离为
D．该船在由
行驶至
的这
内行驶了
11．（22-23 高一下·河北石家庄·月考）石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如
图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为电视塔的最顶
端，B 为基座（即B 在A 的正下方），在世纪公园上（B 在同一水平面内）选取
两点，测得
的长
为100m．小组成员利用测角仪已测得
，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高
度
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（22-23 高一下·江苏·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱
柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物
，高
约为
，在它们之间的地面上的点
（
，
，
三点共线）处测得建筑物顶
、教堂顶
的仰角分
别是
和
，在建筑物顶
处测得教堂顶
的仰角为
，则可估算圣·索菲亚教堂的高度
约为
.
15
13．（22-23 高一下·广东东莞·月考）在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处
海里的B 处有一艘
走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2 海里的C 处的缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船，
此时走私船正以10 海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时
间约是 分钟．（注：
）
14．（23-24 高一下·江苏无锡·月考）某货轮在
处看灯塔
在货轮北偏东
方向上，距离为
n
mile；在
处看灯塔
在货轮的北偏西
方向上，距离
．货轮由
处向正北航行到
处时，再
看灯塔
在南偏东
方向上，
处与
处之间的距离是 n mile，灯塔
与
处之间的距离是
n mile．
四、解答题
15．（2016·福建厦门·一模）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射
型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B
地进行弹射实验，
两地相距
，
，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚
秒，在C
地测得该仪器至最高点A 处的仰角为
．（已知声音的传播速度为
），求：
（1）B，C 两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．
16．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，
C，D 四个点，使得
，测得
，
，
．
16
（1）若B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且
，
，求A，C 两点
间距离；
（2）求
的值．
17．（22-23 高一下·黑龙江七台河·月考）如图，某兴趣小组为测量河对岸直塔高
，选取与塔底
在同
一水平面内的两个测量基点
与
，
，
，可测的量有
，
，
，
，
，
，
．
（1）若
，
，
，
，求塔高
；
（2）用
表示塔高
；
18．（22-23 高一下·广西柳州·月考）一艘海轮从
出发，沿北偏东70°的方向航行
后到达
海岛
，然后从
出发，沿北偏东10°的方向航行
到达海岛
.
（1）求
的长;
17
（2）如果下次航行直接从
出发到达
，应沿什么方向航行多少
？
19．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）南京市人民中学创建于1887 年，是南京市办学历史最长的中学之一，
位于南京市的珠江路南侧，中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字
路口约330 米，长江路和中山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山
路十字路口200 米，300 米，并分别按如图所示的方向散步，速度均为60 米/分钟
（1）起初两人直线距离多少米？（参考数据：
）；
（2）t 分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；
（3）什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽､等侯红绿灯时间）
