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第04 讲 对数函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1. 了解对数函数的概念.
2. 知道对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)与指
数函数y＝ax(a>0 且a≠1)互为反函数.
3.了解并掌握对数函数的图象与性质．
通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象
及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、
值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程
及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问
题.
知识点01 对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y=
(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是
(0,+
2
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=
；②底数a 满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+
).
(3)特别地,我们称以10 为底的对数函数为常用对数函数,记作
;称以无理数
为底的对数函数
为自然对数函数,记作
.
【即学即练1】
1.（24-25 高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（ ）
A．y = log 2
3
x
2
B．y = log3(x−1)
C．y = log(x +1) x
D．y = logπ x
知识点02 对数函数的图象与性质
图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1 时,y=0
(4)当x>1 时,y>0;当0<x<1 时,y<0
(4)当x>1 时,y<0;当0<x<1 时,y>0
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数
当x 值趋近于正无穷大时,函数值趋近
于正无穷大;
当x 值趋近于0 时,函数值趋近于负无
穷大
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x 值趋近于正无穷大时,函数值趋近于
负无穷大;
当x 值趋近于0 时,函数值趋近于正无穷
大
【即学即练2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
（
且
）恒过定点 ．
题型01 对数函数的概念
【典例1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ．
①
；②
；③
；④
．
【变式1】（23-24 高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点
，则其解析式为 ．
【变式3】（23-24 高一上·全国·课后作业）函数
是对数函数，则实数a＝
.
题型02 对数型函数的定义域
【典例2】（23-24 高二下·天津红桥·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·云南玉溪·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
中，实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一上·四川乐山·阶段练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】若函数
的定义域为R，则实数
的取值范围是 ．
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题型03 对数函数的图象
【典例3】函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知
且
，则函数
与
在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一上·江西南昌·阶段练习）若
，则函数
的图象不经过第
象限.
【变式4】函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 图象过定点问题
【典例04】（23-24 高二下·海南海口·期末）函数
（
，且
）的图象一定经过点
（ ）
A．(1,0)
B．
C．
D．
【变式1】函数
的图象恒过定点 .
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【变式2】（23-24 高一·上海·课堂例题）已知常数
且
，假设无论a 取何值，函数
的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．
题型05 对数型复合函数的单调性
【典例05】函数
的单调递增区间为 .
【变式1】（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，若
在
上单调，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·江西赣州·期末）“
”是“函数
在
单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型06 对数型复合函数的值域
【典题06】（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）求
的定义域和值域.
【变式1】若函数
的定义域为
，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式2】（24-25 高一上·上海·随堂练习）函数
的最小值是 ．
【变式3】设
且
，函数
的图象过点
．
(1)求
的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间
上的最大值．
题型07 已知最值求参数
【典例07】（23-24 高一上·江西抚州·期末）若函数
且
在区间
上的最大值比
最小值多2，则
（ ）
A．4 或
B．4 或
C．2 或
D．2 或
【变式1】（22-23 高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数
在区间
上的最大值比最小值大
1，则
．
【变式2】（23-24 高一上·四川成都·期末）已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
题型08 比较大小
【典例08】（23-24 高一下·安徽芜湖·开学考试）已知
，
，
，则（）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c 满足
，
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·陕西安康·期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高二下·北京通州·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 对数不等式的解法
【典例09】（23-24 高一·上海·课堂例题）设
，若
，求实数
的取
值范围．
【变式1】（23-24 高一上·江苏镇江·阶段练习）不等式
的解集为
【变式2】（23-24 高一上·上海·期末）不等式
的解集是 .
【变式3】（24-25 高一上·全国·课堂例题）解下列关于x 的不等式：
(1)
；
(2)
（
且
）；
(3)
（
且
）．
【变式4】（23-24 高一上·云南·期末）已知函数
且
．
(1)若
，解不等式
；
(2)若
在
上的最大值与最小值的差为1，求
的值．
题型10 对数函数中恒成立（有解）问题
【典例10】（23-24 高一上·天津·期末）已知函数
，函数
．
(1)求不等式
的解集；
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(2)求函数
的值域；
(3)若不等式
对任意实数
恒成立，试求实数
的取值范围．
【变式1】（23-24 高一上·河北保定·期末）已知
且
，当
时，
，则
的取值范
围为 .
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）已知函数
．
(1)求函数的定义域；
(2)若不等式
有解，求实数
的取值范围．
【变式3】（23-24 高一上·青海西宁·期末）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若对于
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式4】（2023 高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数
.
(1)当
时，求该函数f (x)的值域；
(2)若不等式
在
上有解，求
的取值范围.
题型11 对数函数中的新定义问题
【典例11】（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）若定义域为[0，1]的函数
同时满足以下三个条件：
①对任意的
，总有
；
②
；
③若
，
，
，则有
，就称
为“A 函数”.
下列定义在[0，1]上的函数中，是“A 函数”的有（ ）
A．
B．
C．
10
D．
【变式1】对于任意实数
，定义运算“ ”为
，则函数
的值
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式
；三阶行列式
的某一元素
的余子式
指的是在
中划去
所在的行和列后所余下的元素按原来
的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式
，若元素1 的余子式
，则
；记元素2 的余子式
为函数
，则
的单调减区间为 .
【变式3】（23-24 高一下·广东潮州·开学考试）对于定义在区间
上的两个函数f (x)和
，如果对
任意的
，均有不等式
成立，则称函数f (x)与
在
上是“友好”的，否则
称为“不友好”的．
(1)若
，
，则f (x)与
在区间
上是否“友好”；
(2)现在有两个函数
与
，给定区间
．
①若f (x)与
在区间
上都有意义，求
的取值范围；
②讨论函数f (x)与
与在区间
上是否“友好”．
一、单选题
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1．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③
B．③④⑤
C．③④
D．②④⑥
3．（24-25 高一上·全国·单元测试）函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·云南昆明·期末）若
，则
是
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
5．（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于
中的一个是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．已知函数
恒过定点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（23-24 高一下·浙江杭州·期中）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一上·福建泉州·期末）若函数
存在最大值，则实数
的取值范围为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为
B．
时，
C．
的解集为
D．
10．（23-24 高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数
则下列说法正确的有（ ）
A．当
时，函数
的定义域为
B．函数
有最小值
C．当
时，函数
的值域为R
D．若
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
11．（23-24 高一下·陕西安康·期末）已知函数
且
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
三、填空题
12．（23-24 高一下·河北·期末）已知函数
则
．
13．（23-24 高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，
经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是
任何一个正实数
可以表示成
，则
，这样我们可以知
道
的位数为
.已知正整数
，若
是10 位数，则
的值为 .（参考数据：
）
14．（23-24 高一上·上海长宁·期末）若关于
的方程
在区间
上有解，则实数
的取值
范围是 .
四、解答题
15．已知函数
.
(1)求函数的
定义域;
(2)判断函数
的奇偶性,并用定义证明你的结论.
16．（23-24 高一下·陕西咸阳·期末）已知函数
且
．
13
(1)若
，求
的值；
(2)若
在
上的最大值与最小值的差为1，求
的值．
17．（23-24 高二下·浙江·期中）已知函数
为偶函数．
(1)求
的值；
(2)若
，判断
在
的单调性，并用定义法给出证明；
(3)若
在区间
上恒成立，求
的取值范围．
18．（23-24 高一上·江西宜春·期末）已知函数
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
，且
，求实数n 的取值范围.
19．（23-24 高一上·北京延庆·期末）已知函数
(1)当
时，若
，求x 的值:
(2)若
是偶函数，求出m 的值:
(3)
时，讨论方程
根的个数.并说明理由.
