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11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课程标准
学习目标
（1）理解生活中物体占据空间的部分，并能
抽象出一个几何体的概念;
（2）了解斜二测画法的概念，掌握其步骤，
并能运用该方法绘制简单平面图形和见几何体
的直观图；
（3）学会从直观图中推断出原始的图形。
（1）了解空间几何体的概念.
（2）了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画
法的步骤；
（3）会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常
见几何体的直观图；
（4）逆用斜二测画法，找出直观图的原图.（难点)
知识点01 斜二测画法
1、斜二测画法的概念：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；
平行于y '轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，
画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y '轴，两轴相交于O'，
且使∠x
'O
' y
' = 45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与x轴和y轴的线段，
在直观图中分别画出平行与x'轴或y '轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
2
平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
【即学即练1】（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等
D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
【答案】D
【解析】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知
错误，易知
正确.
项，如图，矩形的邻边满足
,
其直观图的邻边是相等的，故
错误.故选：D.
知识点02 直观图与原图多边形面积关系
若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S直= √2
4 S原，S原=2√2S直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为a，高为ℎ，
则其面积为S直= 1
2 aℎ，
在直观图中，a
' =a，ℎ
' = 1
2
sin
ℎ
45° = √2
4 ℎ，
3
在直观图中，S直= 1
2 a
'ℎ
' = 1
2 ∙a∙√2
4 ℎ= √2
4 S原
【即学即练2】（23-24 高一下·广西河池·月考）已知水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形
，已知
，则四边形ABCD 的面积为 .
【答案】
【解析】由题意，
，
由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系
，
可得
.
【题型一：斜二测画法的概念辨析】
例1．（22-23 高三·全国·对口高考）利用斜二测画法画直观图时，下列说法中错误的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平
行四边形；④梯形的直观图是梯形
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【答案】A
【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错误；
两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错误；
根据斜二测画法规则，平行性保持不变，可得③④正确；故选：A.
变式1-1．（22-23 高一下·湖南娄底·期末）（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ）
A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
4
C．一个梯形的直观图仍然是梯形
D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
【答案】ABC
【解析】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A 正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在
中，
，其面积
，
在其直观图（图②）中，
作
，则直观图的面积
，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，
在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的
，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为
，B 正确；
对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C 正确；
对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，
如长方体的长和高，D 错误.故选：ABC.
变式1-2．（22-23 高一下·湖北武汉·月考）用斜二测画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的
是（ ）
A．平行线段在直观图仍是平行线段
B．相等的角在直观图仍是相等的角
C．菱形的直观图是菱形
D．梯形的直观图是梯形
5
【答案】AD
【解析】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A 正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以正方形为例，其直观图直角变为
或
，B 错误；
对于C，根据斜二测画法知，平行于
轴的线段长度不变，
平行于
轴的线段长度变为原来的一半，故菱形的直观图不是菱形，C 错误；
对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，D 正确；故选：AD
变式1-3．（22-23 高一下·河北张家口·月考）（多选）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是
（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形
C．正方形的直观图不是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】ABC
【解析】对于A 项，由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，
即原图形与直观图中对应的相交直线､平行直线的关系不变，
因此三角形的直观图是三角形，
正确，
对于B，设等边三角形的直观图如图所示，
设等边三角形边长为
，则
，
，
在
中，由余弦定理知
,
同理可得
，则
，
所以三角形
为钝角三角形，B 正确；
对于C 项，根据斜二测画法的规则，
可知正方形的直观图为邻边不垂直也不相等的平行四边形，故
正确；
对于D 项，由B 可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，
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根据对角线将菱形分割为等腰三角形，可知直观图的邻边不相等，
所以菱形的直观图不是菱形，故D 错误.故选：
.
【方法技巧与总结】
直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”:（1）坐标轴夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变
“三不变”：（1）平行性不变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不变；（3）相对位置不变。
【题型二：画平面图形的直观图】
例2．（23-24 高一下·全国·专题练习）（多选）如图，已知等腰三角形
，则如图所示的四个图形，可
能是
的直观图的是（ ）
A.
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】当
时，其直观图是C；
当
时，其直观图是D.故选：CD.
变式2-1．（23-24 高一下·江苏·专题练习）如图所示，在
中，
边上的高
，试
用斜二测画法画出其直观图．
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【答案】作图见解析
【解析】（1）在
中建立如图①所示的平面直角坐标系
，
再建立如图②所示的坐标系
，使
.
（2）在坐标系
中，在
轴上截取
；
在
轴上截取
，使
.
（3）连接
，擦去辅助线，得到
，即为
的直观图(如图③所示).
变式2-2．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2 为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐
标系中正五边形
（见图1）的直观图即五边形
，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中
各点的作法可能正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】斜二侧画直观图时，平行或与x 轴重合的线段长度不变，则
长度不变，
平行或与y 轴重合的线段长度减半，
则
减掉一半，线段
对应线段也会缩小，
如图所示：
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所以
的对应点
画对了,
的对应点
画错了.故选：C.
变式2-3．（23-24 高二上·上海·期中）如图有一个直角梯形
，则它的水平放置的直观图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出直角梯形
的直观图如下图所示：
A 选项满足要求.故选：A.
【方法技巧与总结】
画水平放置的平面图形的直观图的关键是确定图形的顶点位置。顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或
在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在于轴平行的线段上，这类顶点一
般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定。
【题型三：画空间图形的直观图】
例3．（23-24 高一下·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方
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体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1
000 的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（ ）
A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm
B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm
C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm
D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm
【答案】D
【解析】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm 和0.8cm，
又因为斜二测画直观图的画法：
已知图形中平行于
轴的线段，在直观图中平行于
，保持长度不变；
已知图形中平行于
轴的线段，在直观图中平行于
轴，长度变为原来的一半；
已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于
轴，保持长度不变.
所以该建筑物按
的比例画出它的直观图，
直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm 和0.8cm．故选：D.
变式3-1．（23-24 高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm 的长方体
的直观图．
【答案】画图见解析
【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画轴，如图，画
轴，
轴，轴，三轴相交于点
，使
，
.
②画底面，在
轴正半轴上取线段
，使
，
在
轴正半轴上取线段
，过点
作
轴的平行线，
过点
作
轴的平行线，设它们的交点为
，则
就是长方体的底面
的直观图.
③分别过点B、C、D 作
，
，
，且
．
④连接
、
、
、
，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，
即得长方体的直观图，如图2 所示．
变式3-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥
（底面
是正
六边形，点
与底面正六边形的中心
的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）．
【答案】答案见解析.
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【解析】（1）画底面：
①在正六边形
中，
的中点为
，
的中点为
，
以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，两轴相交于点
（如图①所示），
画相应的
轴、
轴和
轴，三轴交于点
，使
，
（如图②所示），
②在图②中，以
为中点，在
轴上取
，在
轴上取
，
以
为中点画
平行于
轴，并且等于
；再以
为中点画
平行于
轴，并且等于
，
③连接
，得到底面正六边形
的直观图
，
（2）画顶点：在
轴的正半轴上任意选取一点（不含点
）为
，
（3）成图：连接
，
，
，
，
，
，并擦去
轴，
加以整理（将被遮挡的线改为虚线），
便得到正六棱锥
的直观图
（如图③所示）．
变式3-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．
（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【答案】答案见解析
【解析】（1）画轴．画
轴、
轴、
轴，使
，
．
（2）画底面．根据
轴、
轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F 各点分别作
轴的平行线，
在这些平行线上分别截取
、
、
、
、
、
都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接
，
，
，
，
，
，去掉辅助线，
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将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．
【方法技巧与总结】
画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相
关的点，最后连点成图便可.
【题型四：由直观图还原几何图形】
例4．（22-23 高一下·江西九江·期末）图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于
轴的边与底边垂直，
原图形如图所示：
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此平面图形可能是C.故选：C.
变式4-1．（22-23 高一下·吉林·期中）若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，
则原来图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由斜二测画法知：平行或与x 轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y 轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A
变式4-2．（23-24 高一下·宁夏银川·月考）一个水平放置的平面四边形
采用斜二侧画法得到的直观
图是菱形
，如图所示，则平面四边形
的形状为（ ）
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A．正方形
B．长方形
C．菱形
D．梯形
【答案】B
【解析】将直观图还原得如图：
所以平面四边形
的形状为长方形，故选：B.
变式4-3．（23-24 高一下·重庆·期中）如图所示是水平放置的
的直观图，其中
，
则原
是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】将水平放置的
的直观图还原，
可知
，
由勾股定理有
，注意到
，
所以三角形
是等腰三角形，不是等边三角形，
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由大边对大角可知，三角形
中最大角的余弦
，
即三角形
中最大角是锐角，三角形
是锐角三角形，不是直角三角形，
综上所述，只有C 选项符合题意，故选：C.
【方法技巧与总结】
将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图的规程，解决这类问题要注意画法步骤中有关规则
的逆向转化。
【题型五：直观图与原图的长度问题】
例5．（22-23 高一下·安徽·月考）如图，△
是水平放置
的直观图，其中
，
//
轴，
//
轴，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【解析】在△
，
，
，
由余弦定理可得：
，
即
，而
，解得
；
由斜二测画法可知：△
中，
，
，
，
故
.故选：C.
变式5-1．（23-24 高一下·福建厦门·月考）如图所示，梯形
是平面图形ABCD 用斜二测画法得到
的直观图，
，
，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（ ）
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A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知
，
，
所以
．故选：C．
变式5-2．（23-24 高一下·云南昆明·月考）如图，
的斜二测画法的直观图是腰长为1 的等腰直角三角
形，
轴经过
的中点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，如图，在直观图中，过点
，分别作
轴和
轴的平行线，
与
轴和
轴分别交于点
，
，由于
的直观图是腰长为1 的等腰直角三角形，
则
，
，则
的坐标为
，则
，
，
故原图中，
的坐标为
，A 的坐标为
，
故
，故选：C.
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变式5-3．（23-24 高一下·安徽安庆·月考）如图，已知
，直角梯形
是水平放置的一
个平面四边形
的直观图，且
，
，则四边形
的周长为
.
【答案】
【解析】如图，作
，
则
为等腰直角三角形，则因为
，所以
，即
，
则四边形
为如图所示的直角梯形，
所以
,
，
，
，
故四边形
的周长为
.
【方法技巧与总结】
由于斜二测画法中平行于
轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于
轴的线段在直观图中长度要
减半，同时要倾斜45°（或135°)，因此在解决与直观图有关的计算问题时需注意：直观图中任意一点距
轴的距离都为原图形中对应点距
轴距离的倍
倍.
【题型六：直观图与原图的面积问题】
例6．（22-23 高一下·四川成都·月考）一个菱形的边长为4，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长
的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【解析】如图，菱形
，
,
则
为正三角形，故
,
故菱形面积为
,
根据直观图面积与原图面积的关系式
,
可得此菱形的直观图的面积为
，故选：C
变式6-1．（22-23 高一下·陕西商洛·期中）如图所示，矩形
是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中
，
，则原图形
的面积是（ ）
.
A．12
B．12
C．6
D．
【答案】D
【解析】因为
，由斜二测画法可知
，
则
，故
为等腰直角三角形，故
，
故矩形
的面积为
，
所以原图形
的面积是
，故选：D
变式6-2．（23-24 高一下·云南昆明·月考）如图，
是
的斜二测直观图，其中
，
斜边
，则
的面积是 .
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【答案】
【解析】由题意可知，
，斜边
，
，∴
，
由斜二测画法的规则可知，在
中，
，
，
，
∴
的面积是
，
变式6-3．（23-24 高一下·广东佛山·月考）如图，
表示水平放置的
根据斜二测画法得到的直
观图，
在
轴上，
在
轴上，
与
轴垂直，且
，则
的面积为 ．
【答案】
【解析】由于
在
轴上，
在
轴上，故
在
轴上，
在
轴上，且
，
.
由于
与
轴垂直，而
，结合
知
.
19
所以
，
，这意味着
.
【方法技巧与总结】
斜二测画法中平面图形（圆除外）的直观图与原图的面积比值为
，这个比值与平面图形的形状无关。
一、单选题
1．（22-23 高一下·福建三明·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1 的正
方形，则原图形的形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在直观图中，其一条对角线在y 轴上且长度为
，
所以在原图形中其中一条对角线必在y 轴上，且长度为
，故选：A．
2．（22-23 高一下·湖北·月考）如图所示，矩形
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
，
，则原图形是（ ）
A．面积为
的矩形
B．面积为
的矩形
20
C．面积为
的菱形
D．面积为
的菱形
【答案】C
【解析】
，所以
，
故在原图中，
，
，
，
所以四边形
为菱形(如图所示)，
，
则原图形面积为
.故选：C.
3．（23-24 高一下·湖南长沙·月考）
按斜二测画法得到
，如图所示，其中
，
，那么
的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．腰和底边不相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【解析】原
如图所示：
由斜二测画法的规则可知，
，
，
，
所以
，故
为等边三角形.故选：A．
4．（22-23 高一下·云南曲靖·月考）用斜二测画法画水平放置的
的直观图，得到如图所示的等腰直
角三角形
.已知点
是斜边
的中点，且
，则
的边
边上的高为（ ）
21
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】∵直观图是等腰直角三角形
，
，∴
，
根据直观图中平行于
轴的长度变为原来的一半,
∴△
的边
上的高
.故选D.
5．（23-24 高一下·浙江杭州·期中）如图，一个水平放置的三角形
的斜二测直观图是等腰直角三角形
，若
=
=2， 那么原三角形
的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，由直观图可知，
，
所以还原平面图形中，
，
，
在
中，
,则三角形
的周长为
.故选：D
6．（23-24 高一下·重庆·月考）如图，
是水平放置的
用斜二测画法画出的直观图（图中虚线
分别与
轴和
轴平行），
，
，则
的面积为（ ）
22
A．
B．
C．24
D．48
【答案】D
【解析】由直观图可得如下平面图形：
其中
，
，
，
轴，且
，
所以
.故选：D
7．（23-24 高一下·天津·月考）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的直观图，
，
，则平面图形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，作平面直角坐标系
，
使
与
重合，
在
轴上，且
，
在
轴上，且
，
过
作
∥
，且
，连接
，则直角梯形
为原平面图形，
23
其面积为
．故选：C.
8．（22-23 高一下·四川德阳·月考）如图，
是斜二测画法画出的水平放置的
的直观图，
是
的中点，且
轴，
轴，
，
，那么（ ）
A．
的长度大于
的长度
B．
的面积为2
C．
的面积为4
D．
【答案】C
【解析】依题意
是
的中点，且
轴，
轴，
，
，
三角形
中，
，
三角形
中，
，
，
，
,
，所以A 选项错误.
，C 选项正确.
，B 选项错误.
由于
，
所以三角形
不是等腰直角三角形，所以D 选项错误.故选：C
二、多选题
9．（22-23 高一下·山东济宁·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是
（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【答案】BC
【解析】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x 轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A 错误；
24
平行线段在直观图中仍然平行，B 正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C 正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D 错误.故选：BC
10．（22-23 高一下·湖南益阳·期中）如图所示的是水平放置的三角形直观图，
是
中
边上的
一点，且
，又
轴，那么原
的
、
、
三条线段中（ ）
A．最长的是
B．最长的是
C．最短的是
D．最短的是
【答案】AD
【解析】由题意得到原
的平面图为：
其中，
，
，
∴
，
∴
的
、
、
三条线段中最长的是
，最短的是
，故选：AD.
11．（22-23 高一下·陕西阳泉·期中）如图所示，一个平面图形
的直观图为
，其中
，则下列说法中正确的是（ ）
A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B．该平面图形的面积是8
C．该平面图形绕着直线
旋转半周形成的几何体的体积是
D．以该平面图形为底，高为3 的直棱柱的体对角线长为
【答案】BC
【解析】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，
故该平面图形为正方形.即A 错误；
面积
，即B 正确；
将平面图形绕直线AC 旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，
25
故体积
，即C 正确；
以该平面图形为底，高为3 的直棱柱其实为长方体，体对角线长为
，即D 错误.
故选：BC
三、填空题
12．（22-23 高一下·陕西西安·月考）已知
表示水平放置的
的直观图，且
的面积是
，则
的面积是 .
【答案】6
【解析】在斜二测画法规则中，水平放置的三角形直观图与原三角形的面积之比是
，
所以
的面积
.
13．（23-24 高一下·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形
中，
，则直角梯形
的直观图的面积为 .
【答案】
/
【解析】作出梯形A1B1C1D1如下图所示：
由斜二测画法可知
，
过点
作
交
于点
，
因为
，梯形A1B1C1D1的高为
，
所以，梯形
A1B1C1D1
的面积为
.
14．（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图所示，
表示水平放置的
的直观图，
，点
在
x 轴上，且
，则
的边
.
26
【答案】
【解析】根据题意，如图①，在直观图中，作
，交
轴于点
，
易得
，
，
，则
，
如图②，在原图中，
，
，
，则
.
四、解答题
15．（22-23 高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出图中四边形OBCD 的直观图．
【答案】答案见解析
【解析】分以下三步进行作图：
（1）过点C 作
轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的
轴、
轴，使
，
27
在
轴上取点
，
，使得
，
；
在
轴上取一点
，使得
；
过
作
轴，使
，连接
，
，如图②所示．
（3）擦去
轴与
轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形
就是所求的直观图．
16．（22-23 高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形
的直观图；
（2）求出原图和直观图的面积．
【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积
，直观图的面积
；
【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变；
即可知
、
的对应点为
、
，
而
、
对应点位置不变，即
、
，
则四边形
的直观图如下图示：
（2）原图的面积
，
直观图的面积
.
17．（2024 高一下·全国·专题练习）（1）已知
的直观图
是边长为a 的正三角形.求原三角形
的面积；
（2）如图，
是水平放置的
斜二测画法的直观图，能否判断
的形状；
（3）若（2）中
的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB 边的实际长度是多少？
28
【答案】（1）
（2）能（3）10
【解析】（1）∵直观图的面积S 直＝
S 原，S 直＝
a2，∴S 原＝
a2，
即原三角形ABC 的面积为
a2.
（2）由斜二测画法规则知
，故
为直角三角形.
（3）由已知得在直角
中，
，
故
.
18．（23-24 高一下·全国·专题练习）有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直
观图是直角梯形(如图所示)，
，
，
，若平均每平方米菜地所产生
的经济效益是300 元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(
，结果精确到1 元)
【答案】812 元
【解析】在直观图中，过点
作
，垂足为
，如下图：
则在
中，
，
，所以
，
又四边形
为矩形，
，
所以
，则
，
29
由此可得
，
又
，所以
，
故这块菜地所产生的总经济效益是
(元).
19．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图，
是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
（1）画出它的原图形，
（2）若
的面积是
，求原图形中
边上的高和原图形的面积.
【答案】（1）图形见解析；（2）
边上的高为
，原图形的面积为
.
【解析】（1）画出平面直角坐标系
，在
轴上取
，即
，
在图①中，过
作
轴，交
轴于
，在
轴上取
，
过点
作
轴，并使
,
连接
，
，则
即为
原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，
于点
，则
为原图形中
边上的高，且
，
在直观图中作
于点
，
30
则
的面积
，
在直角三角形
中，
，所以
，
所以
.
故原图形中
边上的高为
，原图形的面积为
.
