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7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课程标准
学习目标
（1）理解并掌握同角三角函数基本关系式的
推导及应用；
（2）会利用同角三角函数的基本关系式进行
化简、求值与恒等式证明。
（1）通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推
理等核心素养；
（2）通过同角三角函数基本关系的应用，提升数
学运算等核心素养。
知识点01 同角三角函数基本关系式
1、平方关系
（1）公式：
（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系
（1）公式：
（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
3、对公式的理解
（1） “同角”有两层含义：一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式
都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1 成立，但是sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
（2）sin2α 是(sin α)2的简写，读作“sin α 的平方”，不能将sin2α 写成sin α2，前者是α 的正弦的平方，后
者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cos2α＝1 对一切α∈R 恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）解下列各题：
（1）已知
，且
为第一象限角，求
和
的值．
（2）已知
，且
为第三象限角，求
和
的值．
（3）已知
，且
为第二象限角，求
和
的值．
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
，
【解析】（1）因为
，且
为第一象限角，则
，
且
，
.
（2）因为
，且
为第三象限角，则
，
且
，
.
（3）因为
，且
为第二象限角，则
，
，
由同角三角函数的基本关系可得
，解得
，
.
知识点02 对同角公式的变形
1、公式的基础变形
（1）
的变形公式有：
；
（2）
的变形公式有：
；
2、
与
之间的的转化
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【即学即练2】（2023·全国·高一期末）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
.故选：D.
【题型一：sina、cosa、tana 知一求二】
例1．（2023·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习）已知
，且
为第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
,所以
，
因为
为第二象限角，所以
.故选：C.
变式1-1．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知A 是三角形内角，且
，则
．
【答案】
【解析】因为
，且A 为三角形内角，所以A 为钝角，则
，
又
，解得
（正值舍去）.
变式1-2．（2023·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）（1）若
，求
和
的
值；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
，
；（2）2
【解析】（1）由已知
，
可得
，所以
.
（2）
，
.
变式1-3．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，可能成立的是（ ）
A．
，且
； B．
，且
；
C．
，且
； D．
，且
．
【答案】B
【解析】选项A，因为
，且
，所以
，所以A 不正确；
当
时，
，
，所以B 正确；
因为
，
，所以
或
，故C 不正
确；
因为
，
所以
或
，故D 不正确；故选：B.
【方法技巧与总结】
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）若已知
，可以先应用公式
，求得
，再由公式
，
求得
的值；
（2）若已知
，可以先应用公式
，求得
，再由公式
，
求得
的值；
（3）若已知
，可以先应用公式
及
，
求得
，
。
【题型二：正、余弦齐次式的应用】
例2．（2023·福建泉州·高一泉州市泉港区第一中学校联考阶段练习）已知
，则
等于（ ）
A．
B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
.故选：D.
变式2-1．（2023·山东烟台·高一校考期末）已知
．
（1）求
的值；
（2）
的值．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）
；
（2）因为
，可得
，
所以
，则
，
因为
，
所以
.
变式2-2．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知点
为角
终边上一
点.
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由点
，根据三角函数的定义，可得
.
（2）由（1）知
，则
.
（3）由（1）知
，
则
.
变式2-3．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知
，
（1）求
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
，等式左边的分子，分母同除以
得，
，即
，解得
；
（2）
【方法技巧与总结】
化切求值的方法技巧：
（1）对分式齐次式，因为
，一般可在分子和分母中同时除以
，使所求代数式化为关于
的代数式，从而得解；
（2）对整式（一般是指关于
）齐次式，把分母看为“1”，用
替换“1”，从
而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以
，即可得到关于
的代数式，从而得解。
【题型三：sina±cosa、sina·cosa 关系应用】
例3．（2023·全国·高一随堂练习）已知
，求
的值．
【答案】
或
【解析】由
，
平方可得
，可得
，
又由
，可得
，
因为
当
时，可得
；
当
时，可得
.
变式3-1．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知
，
，则
的值为 .
【答案】
【解析】
，则
，即
，
，故
，故
，
.
变式3-2．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知关于
的方程
的两个根分别为
和
，且
．
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求方程的两根及
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）两根为
，
；
或
.
【解析】（1）因为
和
是方程的两个根，
所以
，
原式
.
（2）因为
，所以
，
所以
，解得
.
（3）由（2）可知，
，所以方程
的两根为
，
，
所以
或
，
又因为
，所以
或
.
变式3-3．（2023·天津·高一校考阶段练习）已知
，其中
是
的一个内角．
（1）求
的值，并判断
是锐角三角形还是钝角三角形；
（2）求
的值．
【答案】（1）
，钝角三角形；（2）
.
【解析】（1）由
，两边平方得
，
即
，所以
；
由
是
的一个内角，得
，则
，
而
，则
，有
，所以
是钝角三角形.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
【方法技巧与总结】
，
，
三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求
二”，它们之间的关系是：
。求解过程中需注意三角函数值的符号。
【题型四：三角函数化简求值问题】
例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简．
（1）
;
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由同角的平方关系可得，
.
（2）原式
变式4-1．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）1；（2）1
【解析】（1）
.
（2）
.
变式4-2．（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）1；（2）25
【解析】（1）
；
（2）
.
变式4-3．（2023·全国·高一课堂例题）化简：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）原式
．
（2）因为
，所以
．
原式
．
【方法技巧与总结】
三角函数式的化简技巧：
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α ＋co s2α ＝1，以降低函数次数，
达到化简的目的．
【题型五：三角恒等式的证明问题】
例5．（2023·全国·高一随堂练习）求证：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析
【解析】（1）左边=
=右边，故得证，
（2）左边=
=右边，故得
证，
（3）左边=
=右边，故得证，
（4）左边=
=右边，故得证
变式5-1．（2023·全国·高一随堂练习）求证：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）
.
故
成立.
（2）
故
成立.
（3）
.
故
成立.
变式5-2．（2023·全国·高一随堂练习）求证：
（1）
＝
；
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）左边=
=右边.
（2）左边=
=右边.
变式5-3．（2023·上海·高一进才中学校考开学考试）证明：
．
【答案】证明见解析
【解析】证明：
，即
.
【方法技巧与总结】
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0 或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·高一伍佑中学校联考阶段练习）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，所以
.故选：C.
2．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
；
因为
，所以
，解得
；
因为
，所以
，所以
.故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知
若
为第二象限角，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】D
【解析】由
可得
或
，
由于
为第二象限角，所以
，
故当
时，
不符合要求，则
符合要求，故选：D
4．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）已知
，则
（ ）
A．3 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，所以
.故选：B
5．（2023·四川成都·高一校考期末）若
，且
是方程
的两实根，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
是方程
的两实根，所以
，
又
，所以
，
故
，
由于
，
，所以
，故
，
因此
，所以
，故选：D
6．（2023·全国·高一专题练习）已知
是三角形的一个内角，用
，那么这个三角形的形状
为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】
两边平方得
，即
，
因为
是三角形的一个内角，所以
，
，
故
，所以
，故这个三角形的形状为钝角三角形.故选：B
7．（2023·重庆铜梁·高一校联考期末）计算
的值为（ ）
A．-1 B．1 C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
.故选：B.
8．（2023·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若
，则
的化简结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
由于
，所以
，
故
，故选：D
二、多选题
9．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
为第四象限角
【答案】ACD
【解析】
，
，
，
，故A 正确；
，故C 正确；
，故B 错误；
因为
，且
，所以
为第四象限角，故D 正确.故选:ACD.
10．（2023·江苏·高一期末）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
，则
．
对于
选项，
，可得
，
正确；
对于
选项，由
选项可知，
，则
，
所以，
，则
，
错误；
对于
选项，
，可得
，则
，
错误；
对于
选项，
，
正确．故选：
．
11．（2023·江西上饶·高一校考期末）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，所以
，
所以
，所以
，所以A 正确，
对于B，因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
，
所以
，
，所以
，所以B 错误，
对于C，因为
，
，
所以
，所以C 正确，
对于D，因为
，
所以
，所以D 正确，故选：ACD
12．（2023·江苏盐城·高一校考阶段练习）下列计算或化简，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 正确；
对于C，若
，则
，故C 错误；
对于D，若
，则
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·全国·高一专题练习）已知
，
，且
为第二象限角，则
.
【答案】
【解析】
为第二象限角，
，解得：
或
；
，即
，
，解得：
（舍）或
，
，
，
.
14．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）已知
，则
.
【答案】
【解析】由
，则
.
15．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知
，则
．
【答案】
【解析】因为
，则
，
原式
.
16．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知
是关于x 的方程
的
两个根
，则
．
【答案】
【解析】由题意得：
，
是
的两个根，即：
，解得：
或
，
由根与系数的关系得：
，所以：
，
即：
，解得：
，
（舍去），
.
四、解答题
17．（2023·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考阶段练习）（1）已知
，且为第二象限角，求
的值；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
，
；（2）答案见解析
【解析】（1）因为
且
是第二象限角，
所以
，
；
（2）因为
，所以
是第二或第三象限角，
当
为第二象限角时，
，
所以
，
；
当
是第三象限角时，
所以
，
18．（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）已知角
的终边上有一点
的坐标是
，其中
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
.
（2）原式
.
19．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知点
在角
的终边上，且
．
（1）求和
的值；
（2）求
的值．
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）由三角函数的定义知：
，则
，
于是解得
，得
.
（2）已知终边过点
得
，
于是有
.
20．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程
的两根为
和
，其中
.
（1）求
的值；
（2）求实数m 的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）关于x 的方程
的两根为
和
，则
，
所以
.
（2）依题意，
，
，
由
两边平方得：
，解得
，
于是
，解得
，由
，知
，
，
，符合题意，
所以
.
21．（2023·全国·高一专题练习）求证:
.
【答案】证明见解析
【解析】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边=
=
=
=
=
=右边.
22．（2023·江苏·高一专题练习）化简：
（1）
－
；
（2）
；
（3）
．
【答案】（1）
；（2）1；（3）
．
【解析】（1）原式＝
.
（2）原式＝
（3）原式＝
