文档文本内容
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10.1.2 复数的几何意义
课程标准
学习目标
（1）理解复数的几何意义；
（2）掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量
的模来表示复数的模的方法；
（3）理解共轭复数的含义及性质.
（1）理解可以用复平面内的点或以原点为起点
的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；
（2）掌握实轴、虚轴、模等概念；
（3）掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
知识点01 复数的几何意义
1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面。
2、实轴与虚轴：在复平面内，
轴上的点对应的都是实数，因此
轴称为实轴；
轴上的点除了原点外，
对应的都是纯虚数，为了方便起见，
称轴为虚轴。
3、复数的几何意义——与点对应：每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的
每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C 中一一对应的数与复平面内的点是一一对应
2
的，即复数
，这是复数的一种几何意义。
4、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来
表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数，原点对应的有序实数对为
，它所确定的复数是
，表示的是实数．
【即学即练1】（22-23 高一下·广东东莞·期中）已知i 为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】复数
在复平面内对应的点
在第二象限.故选：B
知识点02 共轭复数
1、共轭复数的定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭
复数；
2、共轭复数的代数表示：复数
的共轭复数用
表示，因此，当
时，有
.
3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个
复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上。
【即学即练2】（22-23 高一下·河北石家庄·期中）若
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于
，所以
.故选：C
知识点03 复数的模
1、模的定义与表示：一般地，向量
的长度称为复数
的模（或绝对值）.复数
的模
用
表示，因此
。当
时，
.
3
2、复数的模的几何意义
（1）复数
的模
就是复数
在复平面内对应的点
到坐标原点的距
离，这是复数的模的几何意义.
（2）复数
在复平面内对应的点为
，
表示一个大于0 的常数，则满足条件
的点
组成的集合
是以原点为圆心，
为半径的圆，
表示圆的内部，
表示圆的外部.
【即学即练3】（23-24 高二上·安徽·月考）已知是虚数单位，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，解得
，则
.故选：D.
【题型一：复数与复平面的点一一对应】
例1．（23-24 高一下·福建宁德·月考）复数
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】由复数
在复平面内所对应的点的坐标为
，位于第二象限.故选：B.
变式1-1．（23-24 高一下·湖南·月考）已知
是虚数单位，当
时，复数
在复
平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
，
4
又
，
，
所对应的点在第一象限.故选：A.
变式1-2．（22-23 高二上·福建永宁·月考）若
（i 是虚数单位，
）对应的点在复平
面内位于第四象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】复数
对应的点为
在复平面内位于第四象限
则
，解得
.故选：C.
变式1-3．（22-23 高一下·湖北黄冈·期中）在复平面内，若复数
所对应的点在第二
象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
复数
所对应的点在第二象限，
，解得
.故选：C.
变式1-4．（22-23 高一下·宁夏银川·期末）已知复数：
，
.
（1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求
的值.
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求
的范围.
【答案】（1）
或
;（2）
或
【解析】（1）
，
且复数在复平面上对应的点在虚轴上
解得
或
（2）
，
且复数在复平面上对应的点在第一象限
5
即
，则
，解得：
或
【方法技巧与总结】
利用复数与点的对应关系解题的步骤：
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数
可以用复平面内的点
来表示，
是解决此类问题的根据.
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求
解.
【题型二：复数与平面向量一一对应】
例2．（22-23 高一下·新疆喀什·月考）如图，若向量
对应的复数为z，则z 表示的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知，
，
所以z 在复平面内所对应的点为
，则
.故选：C.
变式2-1．（22-23 高一下·贵州黔西·月考）在复平面内，复数
与
所对应的向量分别为
和
，
其中
为坐标原点，则
对应的复数为 ．
【答案】
【解析】因为复数
与
所对应的向量分别为
和
，
所以
，
，
所以
，即
对应的复数为
.
6
变式2-2．（22-23 高一下·河北张家口·月考）已知复数
（为虚数单位）在复平面内对
应的点分别为
，将向量
绕着点
（
为复平面内的原点）逆时针旋转
得到向量
，则
对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可得
，
，
，
由图知，向量
与向量
关于
轴对称，
，
，
所以
对应的复数为
.故选：
.
变式2-3．（22-23 高一下·浙江·期中）复数
与复数
在复平面上对应点分别是A，B，则
．
【答案】1
【解析】根据复数
与
对应的点的坐标为
，如下图所示：
易知
；
则
.
7
变式2-4．（2023·山东青岛·二模）已知
为坐标原点，复数
，
，
分别表
示向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
，所以
又
，所以
，所以
则
.故选：C.
【方法技巧与总结】
根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应
的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段表示的向量，即为复数对应的平面
向量.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复
平面内的点、平面向量之间的转化.
【题型三：共轭复数的概念与计算】
例3．（2024 高一下·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数和其共轭复数都是成对出现的
B．实数不存在共轭复数
C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D．复数和其共轭复数的模相等
【答案】AD
【解析】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确；
对于B：实数的共轭复数是他本身，错误；
对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误；
对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确.故选：AD.
变式3-1．（22-23 高一下·吉林辽源·月考）复数满足
，则
的虚部是为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
【答案】D
【解析】因为
，则
所以
的虚部为
.故选：D.
变式3-2．（22-23 高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为
，则复数的共
轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，所以复数的共轭复数
.故选：B
变式3-3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知
，是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
与
互为共轭复数，∴
.故选：D.
变式3-4．（2024 高一下·全国·专题练习）已知
，复数
( 为虚数单位)，若
，则
．
【答案】
【解析】由
，可得
，
因为
且
，所以
，解得
，所以
.
【方法技巧与总结】
准确把握共轭复数的概念，基础题可直接得出共轭复数，综合题目可设复数
，根据题
目条件列出关于
，
的方程组(不等式组），化简求解
，
的即可确定复数z，从而确定其共轭复数。
【题型四：复数的模的计算】
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例4．（2024·河南·一模）若
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
．故选：D.
变式4-1．（22-23 高一下·河南·月考）（多选）下列各复数中，模长为1 的有（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以B 错误；
对于C 中，由
，所以C 错误；
对于D 中，由
，所以D 正确．故选：AD．
变式4-2．（22-23 高一下·广东湛江·期中）已知
，
，则实数
的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．1
【答案】D
【解析】因为
，所以其共轭复数
，
由复数模的计算公式结合已知可得
，
，解得
.故选：D.
变式4-3．（21-22 高一下·全国·课时练习）若复数
，满足
，求实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】由题意得
，解得
，故选：C
变式4-4．（22-23 高一下·安徽滁州·月考）已知复数在复平面内对应的点在射线
上，且
10
，则复数
的虚部为 ．
【答案】
【解析】设复数在复平面内对应的点为
，
，
所以
，得
，
所以
,那么
，所以
的虚部是
.
【方法技巧与总结】
计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大
小，但它们的模可以比较大小
【题型五：复数的模的几何意义】
例5．（22-23 高一下·广东汕头·期中）复数满足
，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z
的轨迹是（ ）.
A．点
B．圆
C．线段
D．圆环
【答案】B
【解析】由于
，故对应点
到原点的距离为，
所以复平面内点Z 的轨迹是单位圆.故选：B
变式5-1．（22-23 高一下·福建宁德·月考）已知
，在复平面内对应的点为
，则满足
的点
的
集合对应的图形为 .
【答案】以
为圆心，1 为半径的圆（含内部）
【解析】令
，由
，
即点
的集合对应的图形是以
为圆心，1 为半径的圆（含内部）.
变式5-2．（23-24·四川资阳·月考）已知为虚数单位，复数满足
，则复数对应的复平面上的点
的集合所表示的图形是（ ）
A．正方形面
B．一条直线
C．圆面
D．圆环面
【答案】D
【解析】设
，
11
则由
可得
，即
，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.故选：D.
变式5-3．（22-23 高一下·湖北·月考）已知复数z 的实部和虚部均为自然数，在复平面内z 对应的点为Z，
那么满足
的点Z 的个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】设
，
，
，即
，
当
时，
或
；
当
时，
；
当
时，
，
或
；
当
时，
.
综上所述：共有个点满足条件.故选：C
变式5-4．（22-23 高一下·湖北襄阳·期中）已知复数满足
，则在复平面中对应的点所构成
的图形的面积为 .
【答案】
【解析】根据题意可知复数满足
，
则由复数模的几何意义知对应的点所构成的图形为半径为2 和
的两个同心圆所围成的圆环，
则其面积为
.
【方法技巧与总结】
求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等
式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状.
【题型六：复数与集合、三角函数综合】
例6．（22-23 高一下·浙江湖州·月考）（多选）若
，则复数
在复平面内对应的点可
能在（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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【答案】CD
【解析】当
时，
，
故复数
在复平面内对应的点在第三象限，
当
时，
，
故复数
在复平面内对应的点在第四象限.故选：CD
变式6-1．（2024 高一下·全国·专题练习）设集合
，
，则
．
【答案】
【解析】∵
，∴
．
∵
，∴
，∴
，∴
．∴
．
变式6-2．（22-23 高一下·山东泰安·期中）已知复数
，其中
.
（1）当
时，表示实数；当
时，表示纯虚数.求
的值.
（2）复数的长度记作
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）3
【解析】（1）因为当
时，表示实数，所以
，所以
.
又因为当
时表示纯虚数，所以
，且
所以
.
从而
.
（2）因为
.
当
时，
，则
取得最大值，
此时
的最大值为.
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变式6-3．（22-23 高二上·上海宝山·月考）已知复数
，
，
（1）若
，求角
；
（2）复数
对应的向量分别是
，其中
为坐标原点，求
的取值范围；
（3）复数
对应的向量分别是
、
，存在
使等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）角
；（2）
；（3）
【解析】（1）
，
，由
，得
，
，
又
，
（2）由复数的坐标表示得，
，
，
则
，又
，
，当
时，
取最大值为4，
当
时，
取最小值为
，
所以
的取值范围为
（3）由题意得
，
，
，
，
又
，
，
化简得
，
，
由小问2 的结论可得
，
，
当
，得
恒成立，
当
，得
，
或
，
综合所述，
的取值范围为
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【方法技巧与总结】
不管复数是与三角函数综合，还是与集合综合，都是根据复数、三角函数与集合的相关性质转化为三角函
数与集合的问题.
一、单选题
1．（22-23 高一下·山西太原·期中）复数
的共轭复数为（ ）
A．0、
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据共轭复数的概念，可知复数
的共轭复数为
.故选：C.
2．（22-23 高一下·浙江嘉兴·月考）若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】
.故选：C.
3．（22-23 高一下·安徽安庆·月考）复数
（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】∵
的实部是2，虚部是-1，
∴复数
在复平面内对应的点为
，在第四象限.故选：D.
4．（22-23 高一下·重庆·月考）复数
与复平面内的点
一一对应，则复平面内的点
对应的复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】复平面内的点
对应的复数为
.故选：A
5．（22-23 高一下·浙江嘉兴·月考）在复平面内，复数
的共轭复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
，
，
对应的点为
，位于第一象限.故选：A.
6．（22-23 高一下·浙江·月考）已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C 对应的复数分别是
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1＋2i，－2＋i，0，那么点D 对应的复数为（ ）
A．1－3i
B．3－i
C．3＋i
D．－1＋3i
【答案】C
【解析】根据复数的几何意义可知
,
设
，则由
，
所以
,因此对应的复数为：3＋i 故选：C
7．（23-24 高二下·辽宁·开学考试）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由复数
，可得两个复数不能比较大小，故AB 错误，
，所以
，故C 错误，D 正确.故选：D.
8．（22-23 高一下·广东阳江·期末）设
，是虚数单位，若复数
与
互为共轭复数，则复
数
的模等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
与
互为共轭复数，
，
，
.故选：C.
二、多选题
9．（22-23 高一下·山东青岛·期末）已知复平面内表示复数：
的点为
，则下列
结论中正确的为（ ）
A．若
，则
B．若
在直线
上，则
C．若为纯虚数，则
D．若
在第四象限，则
【答案】CD
【解析】对于A，若
，则
，得
，故A 错误；
对于B，因为
在直线
上，所以
，则
，故B 错误；
对于C，若为纯虚数，则
，即
，此时虚部不为0，故C 正确；
对于D，若
在第四象限，则
，解得
，故D 正确.故选：CD
10．（23-24 高一下·湖南岳阳·月考）已知复数
（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z
16
满足
，下列结论正确的是（ ）
A．P0点的坐标为（2，1）
B．复数
的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z 对应的点P 在一条直线上
D．P0与复数z 对应的点P 间的距离的最小值为
【答案】AD
【解析】A，复数
（为虚数单位，）在复平面内对应的点为
，因此A 正确；
B，复数
的共轭复数
对应的点
与点
关于虚轴不对称，因此B 错误；
C，由复数满足
，结合复数的几何意义，
可知复数对应的点在以原点为圆心，以3 为半径的圆上，因此C 错误；
D，点
到原点的距离为
，
所以P0与复数z 对应的点P 间的距离的最小值为
，因此D 正确.故选：AD.
11．（22-23 高一下·陕西·期中）已知复数
在复平面内对应的点分别为
，且
为复平面内的原点，则（ ）
A．
在第一象限
B．
与
关于
对称
C．
为钝角
D．
【答案】ABD
【解析】依题意可得
，
对于A，
在第一象限，故A 正确；
对于B，
与
关于
对称，故B 正确；
对于C，因为
，
，
所以
不是钝角，故C 错误；
对于D，因为
，
，
所以
，故D 正确.故选：ABD.
三、填空题
12．（22-23 高一下·新疆阿克苏·期末）在复平面内,点
对应的复数分别为
,
,则
.
17
【答案】5
【解析】在复平面内，点
对应的坐标为
，点
对应的坐标为
，
所以
，所以
.
13．（22-23 高一下·福建三明·月考）已知复数
，满足
条件的点z 的集合，所构成的图
形的面积为
【答案】
【解析】由题意复数
，满足
，
即
，即
，
即满足
条件的点z 的集合，所构成的图形为半径为1 和
的两个圆之间的圆环，
则图形的面积为
.
14．（23-24 高三上·上海虹口·期中）设复数
（i 为虚数单位）且
，若
，则
．
【答案】
【解析】由题设
，则
，
所以
，又
，则
，
，
所以
，则
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·福建长汀·月考）已知复数
，i 为虚数单位．
（1）当z 是纯虚数时，求m 的值；
（2）当
时，求z 的模．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）由z 是纯虚数，有
，解得
；
（2）当
时，
，所以
.
16．（22-23 高一下·河南南阳·期末）已知复数
在复平面内所对应的点
为A.
18
（1）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
（2）求
的最小值及此时实数m 的值.
【答案】（1）
或
；（2）
的最小值为
，
【解析】（1）由
，解得
或
.
（2）
，
令
，∵
，∴
，
则
，
所以当
，即
时，有最小值
.
17．（22-23 高一下·安徽滁州·月考）已知复数
是虚数单位.
（1）若复数在复平面内对应的点在直线
上，求
的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题设，复数的对应点为
，
所以
，整理得
，解得
.
（2）由题意
，解得
.
18．（22-23 高一下·陕西·期中）已知在复平面内，复数
，
对应的点分别为
，
向量
与实轴平行．
（1）求b 的值；
（2）若复数
在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意知
，
，所以
，
因为
与x 轴平行，所以
，解得
．
（2）由（1）知
，
19
所以
，
因为z 在复平面内对应的点在第三象限，
所以
解得
，
故实数m 的取值范围是
．
19．（22-23 高一下·安徽·期中）已知在复平面内表示复数
的点为
.
（1）若点
在函数
的图象上，求实数
的值；
（2）若
为坐标原点，点A 在
轴的正半轴上，且向量
与
的夹角为钝角，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
或
；（2）
【解析】（1）由题可知，复数在复平面内对应的点的坐标为
.
又该点位于函数
的图象上，
所以
，即
，解得
或
.
（2）由题可知，点
在第二象限或第三象限，
所以
且
，
即
且
且
，
所以
的取值范围为
.
