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1
10.3 复数的三角形式及其运算
课程标准
学习目标
（1）了解复数的三角式及其与代数形式之间
的关系；
（2）能够进行复数的代数形式与三角式的相
互转换，并理解辐角的概念；
（3）通过复数的几何意义，了解复数的三角
式，培养逻辑思维和抽象思维能力；
（4）通过复数的代数形式与三角式的互化，
提升数学运算能力。
（1）掌握复数的三角表示式，包括模和辐角的概
念，以及如何从代数形式转换到三角形式，反之亦
然；
（2）理解复数的三角式的几何意义，能够在复平
面上表示复数，并理解复数的几何性质；
（3）学会使用复数的三角式进行乘、除运算，掌
握相应的几何解释和运算规则；
（4）能够解决涉及复数三角式的实际问题，例如
求解复数的乘方、开方等操作。
知识点01 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数
的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
2、辅角主值
（1）辅角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
2
这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg z
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辅角是任意的。
【即学即练1】（23-24 高一下·福建泉州·月考）复数
的辐角主值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
的辐角主值为
.故选：C
知识点02 复数乘法的三角形式及其几何意义
1、复数乘法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
2、复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量⃗O Z1，⃗O Z2，
然后把向量⃗O Z1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），
再把它的模变成原来的r2倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是积z1 z2，这就是复数乘法的几何意义。
3、复数乘法三角表示推广：
z1 z2… zn=r1(cosθ1+isinθ1)∙r2(cosθ2+isinθ2)∙…∙rn(cosθn+isinθn)
=r1r2…rn[cos (θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
特别的，当z1= z2=…= zn=r(cosθ+i sinθ)时，[r(cosθ+i sinθ)]
n=r
n(cosnθ+i sinnθ)
【即学即练2】（22-23 高一下·江苏镇江·期中）已知复数z1＝
，z2＝
，则z1z2的代数形式是（ ）
A．
B．
C．
－
i
D．
＋
i
【答案】D
【解析】
3
故选:D.
知识点03 复数除法的三角表示及其几何意义
1、复数除法的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)
则
z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅
角减去除数的辅角所得的差.
2、复数除法的几何意义：两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量⃗O Z1，⃗O Z2，然后把
向量⃗O Z1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|），再把它
的模变成原来的1
r2
倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是商
z1
z2
，这就是复数除法的几何意义。
【即学即练3】（23-24 高一下·全国·课后作业）计算：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据复数的的三角形式的运算法则，
可得：
.
（2）根据复数的的三角形式的运算法则，
可得：
.
4
【题型一：求复数的幅值主角】
例1．（2024 高一下·全国·专题练习）－6 的辐角的主值为（ ）
A．0
B．
C．π
D．
【答案】C
【解析】
，辐角的主值
.故选：C.
变式1-1．（22-23 高一下·福建厦门·期中）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
.故选：C
变式1-2．（22-23 高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，
，则的辐角主值为 .
【答案】
【解析】因为
，所以的辐角主值为
.
变式1-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）复数的三角形式
的辐角主值为 .
【答案】
【解析】由辐角主值的概念知，
的辐角主值为
.
【方法技巧与总结】
5
在
内的辅角成为辅角主值，除0 外每个复数有且仅有一个辅角主值，一般先用复数
对应的点
确定辅角
的终边所在的象限（或轴线），再由
（或
）确定在
内的角
，
即为
；也可以根据三角形式直接求辅角主值，注意不是三角形式的要求先转化为三角形式。
【题型二：复数的代数式与三角式互化】
例2．（22-23 高一下·江苏盐城·月考）将复数化为三角形式：
．
【答案】
【解析】复数
中，
，设
为复数的辐角主值，
又
，所以
.
变式2-1．（23-24 高一下·安徽淮南·期中）复数
的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，令
，
则
，所以
，
因为
，所以
，
所以
的三角形式是
.故选：D.
变式2-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）复数
的三角形式是（ ）
A．
B．
6
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
变式2-3．（23-24 高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成代数形式．
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
;（2）
【解析】（1）
；
（2）
．
【方法技巧与总结】
1、将复数z =a+bi(a,b∈R)化为三角形式z =r(cosθ+i sinθ)时，要注意以下两点：
（1）r =√a
2+b
2，
（2）cosθ = a
r ，sinθ = b
r ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，当a=0，b>0时，arg z = π
2
2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个
非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
【题型三：三角形式下复数的乘除法运算】
例3．（22-23 高一下·湖北武汉·期末）已知i 为虚数单位，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．i
【答案】D
【解析】
7
故选：D
变式3-1．（23-24 高一下·云南·月考）棣莫弗公式
（其中i 为虚数单
位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
在复平面
内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】
，
在复平面内所对应的点为
，在第二象限.故选：B.
变式3-2 ．（23-24 高一下· 全国· 专题练习）（多选）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，
，
，
所以
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正
确；
，所以
，故D 错误，故选：AC.
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变式3-3．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
；
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
【方法技巧与总结】
三角形式下复数的乘、除运算的关键点：
复数三角形式下的乘法原则：模数相乘，辅角相加；
复数三角形式下的乘方原则：模数乘方，辅角
倍；
复数三角形式下的除法原则：模数相除，辅角相减.
【题型四：复数乘除法运算的几何意义】
例4．（22-23 高一下·上海浦东新·期末）将复数
在复平面上所对应的向量
绕原点按顺时针方向
9
旋转
得到向量
，那么
对应的复数是 .
【答案】
【解析】
复数
的三角形式是
,
向量
对应的复数是
.
变式4-1．（22-23 高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数
对应的向量绕原点O 按顺时针方
向旋转
，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）．
【答案】
【解析】复数
对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转
，则所得向量对应的复数为
.
变式4-2．（23-24 高一下·全国·专题练习）在复平面内，点A 对应的复数为1，点B 对应的复数为3＋i，将
向量
绕点A 按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2 倍，得向量
，则点C 对应的复数为 .
【答案】
【解析】
对应的复数为
，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2 倍，
即可得
对应的复数为
设点C 对应的复数为z，则
，故
.
变式4-3．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）设复数
对应的向量分别为
为坐标原点，且
，若把
绕原点顺时针旋转
，把
绕原点逆时针旋转
，所得两向量的终点重合，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】由已知得
，
所以
绕原点顺时针旋转
得
，
由
绕原点逆时针旋转
，所得两向量的终点重合得
，
所以
.故选：B.
【方法技巧与总结】
首先将复数转换为三角形式，根据复数乘法和除法的几何解释，应用旋转和平移的规则来找到新的复数位
置，在可能情况下尝试简化计算过程。
一、单选题
1．（23-24 高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数
改写成三角形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为复数
在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得
，
所以
，所以
.故选：D.
2．（23-24 高一下·全国·课后作业）设复数
和
的辐角主值分别为
和
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意复数
和
的辐角主值分别为
和
所以
，
，
，
11
所以
因为
，
，所以
所以
故选：C
3．（22-23 高一下·江苏苏州·期中）欧拉公式
是由18 世纪瑞士数学家､自
然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
，即
，
，
.故选：A.
4．（22-23 高一下·吉林四平·月考）已知复数
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知，复数
，
故选：A．
5．（22-23 高一下·甘肃甘南·月考）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
12
故选：D.
6．（22-23 高一下·河南洛阳·月考）若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
所以
，
，
综上，
.故选：A
7．（22-23 高一·全国·课后作业）计算：
（ ）．
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
【答案】D
【解析】设
，
所以
.故选：D
8．（22-23 高三下·浙江杭州·月考）已知复数满足
且有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
（为虚数单位），由棣莫佛公式可知
，
因为
，所以
，
即
，
所以
，即
，因为
，
所以
，
13
即
，所以
，所以
，
所以
.故选：A
二、多选题
9．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列结论中错误的是（ ）．
A．复数Z 的任意两个辐角之间都差
的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0 不能写成三角形式；
D．复数0 的辐角主值是0．
【答案】ACD
【解析】A：复数0 的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为
整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：
其中
，故实数0 能写成三角形式，错误；
D：复数0 的辐角主值不唯一，错误.故选：ACD
10．（23-24 高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．复数
的辐角的主值为
B．复数
的辐角的主值为
C．复数
的代数形式为
D．复数
的三角形式为
【答案】AC
【解析】对于A，因为
，故的辐角的主值为
，故A 正确；
对于B，而
，故的辐角的主值不是
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故
，故D 错误.故选：AC.
11．（2024 高一下·全国·专题练习）已知复数z 对应的向量为
，复数
对应的向量为
，
14
复数
对应的向量为
，则下列说法正确的是（ ）
A．将
的模扩大为原来的2 倍，再逆时针旋转
可得到
B．将
的模扩大为原来的2 倍，再顺时针旋转
可得到
C．将
的模缩小为原来的
，再逆时针旋转
可得到
D．将
的模缩小为原来的
，再顺时针旋转
可得到
【答案】AD
【解析】因为
，
，
所以，将
的模扩大为原来的2 倍，再逆时针旋转
可得到
，
将
的模缩小为原来的
，再顺时针旋转
可得到
.故选：AD.
三、填空题
12．（2024 高一下·全国·专题练习）复数
的三角形式是 .
【答案】
【解析】
，
∵
对应的点在第四象限，且
，
∴
，故复数
的三角形式是
.
13．（23-24 高一下·全国·专题练习）设复数满足
的辐角的主值为
，
的辐角的主值为
，则
（用代数形式表示）．
【答案】
【解析】由题意，设
，
，
15
所以
，可得
，解得
，所以
.
14．（23-24 高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：
．据此公式，复数
的虚部为 ．
【答案】
【解析】
，
故其虚部为
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·全国·课后作业）化下列复数为三角形式．
（1）
； （2）
； （3）2i； （4）-1.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
的模为
，
对应的点
在第二象限，故辐角主值为
，
故
的三角形式为
；
（2）
的模为
，
对应的点
在第四象限，故辐角主值为
，
故
的三角形式为
；
（3）
的模为
，
对应的点
在y 轴正半轴上，故辐角主值为
，
故
的三角形式为
；
（4）
的模为，
16
对应的点
在x 轴负半轴上，故辐角主值为
，
故
的三角形式为
.
16．（23-24 高一下·全国·课后作业）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）
；
（2）
【答案】（1）4，
，
；（2）2，
，
【解析】（1）
的模为4，辐角主值为
，
；
（2）
，
故
的模为2，辐角主值为
，
.
17．（2024 高一下·江苏·专题练习）计算下列各式的值：
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）
.
（2）
.
18．（23-24 高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数
对应的向量绕原点逆时针旋转
后所得向
量对应的复数为
，绕原点顺时针旋转
后所得向量对应的复数为
（1）求复数
；
17
（2）若复数
，求复数.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）复数
逆时针旋转
后得
,
顺时针旋转
后得
.
（2）由（1）得
.
19．（23-24 高一下·重庆·月考）任意一个复数z 的代数形式都可写成复数三角形式，即
，其中i 为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家
棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令
，则能导出复
数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题.
（1）试将
写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：
；
；
（3）计算：
的值.
【答案】（1）
；（2）推导过程见解析；（3）
【解析】（1）由于
，故
，
则
；
（2）设模为1 的复数为
，
则
，
18
由复数乘方公式可得
，
故
；
（3）首先证明：
；
由于
，则
，
则
，
故
，
则可得
，
，
所以
.
