文档文本内容
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2.1.1 等式的性质与方程的解
课程标准
学习目标
1.掌握等式的性质并会应用；
2.掌握几个重要的恒等式
3.会用十字相乘法进行因式分解；
4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.
1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；
2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规
则，探索出解方程的核心方法；
知识点01 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知
，则下列比例式成立的是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
知识点02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两
边恒等．
注：常见的代数恒等式
（1）
，
（2）
（3）
，
（4）
，
【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 十字相乘法
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a 分解成a1·a2，常数项c 分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如
图：
，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c 的一次项系数
b，那么ax2＋bx＋c 就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次
三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．
(2)对于x2＋Cx＋D 的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系
数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数
的符号相同．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：
（1）
； （2）
；
知识点04 方程的有关概念
方程
含有未知数的等式叫方程．
方程的解(或根)
能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
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方程的解集
把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
解方程
求方程的解的过程叫解方程．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于
的方程
的解集为
，则实数
的值（ ）
A．0 B．1 C．
D．
知识点05 一元一次方程
一元一次方程
方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样
的方程叫一元一次方程．
满足的条件
①必须是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数都是1.
表示形式
ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0).
【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于x的方程ax =b的解集，其中a,b是常数.
难点：因式分解法解一元二次方程
求方程x2－5x＋6＝0 的解集．
【题型1：等式的性质与应用】
例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
4
C．如果
，那么
D．如果
，那么
变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设
，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式
，则下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果
，则
B．如果
，则
C．如果
，则
D．如果
，则
变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果
，则
B．如果
，则
C．如果
，则
D．如果
，则
变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，
二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3 人，两车空出来；每车坐2 人，多出
9 人无车坐. 问人数和车数各多少？设车
辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6 束，
减损其中之“实”十八升，与下禾10 束之“实”相当；下禾15 束，减损其中之“实”五升，与上禾5 束
之“实”相当.问上下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为
､
升和
升，则可列方程组为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【方法技巧与总结】
等式的性质
(1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1 时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或
“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边．
(2)恒等式成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．
【题型2：恒等式的化简】
例2.（2024·高一课时练习）下列各式运算正确的是
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·高一课时练习）若等式
恒成立，则常数
；
．
变式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式
恒成立，则常数
变式3．（2024·全国·高三专题练习）若等式
恒成立，则常数a 与b 的和为 .
变式4．（2024·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若
恒成立，则
的值 ．
变式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知等式
恒
成立，其中
为常数，则
．
变式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）对于任意实数
，等式
恒成立，则
【方法技巧与总结】
利用恒等式化简的步骤
（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。
【题型3：因式分解】
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例3．（2024·高一课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·高一课时练习）分解因式：
；
．
变式2．（2024·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
.
变式3.（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
（1）
； （2）
； （3）
变式4．（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
变式6.（2024·全国·高一专题练习）把下列各式因式分解
（1）6m2－5mn－6n2；
（2）20x2＋7xy－6y2；
（3）2x4＋x2y2－3y4；
（4）
.
【方法技巧与总结】
用“十字相乘法”分解因式的步骤
(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
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(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；
(4)写出最终结果．
【题型4：一元一次方程的解集】
例4．（2024·高一课时练习）设a、
，求关于x 的方程
的解集．
变式1．（2024·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知
，方程
的解集为 .
【方法技巧与总结】
解一元一次方程的策略
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或
分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．
(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
【题型5：因式分解法解一元二次方程】
例5.（2024·高一课时练习）求下列方程的解集：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
变式1.（2024·高一课时练习）一元二次方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·高一课时练习）已知关于x 的方程
的解集为非空集合，则
的取
值范围是 .
变式3．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股
为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾股代表两条直角边，则股为
､
尺，若今有弦t 尺，勾
尺，股
尺，则弦为 尺.
变式4．（2024·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）若关于
的方程
的解集为
，则实数
的值为 ．
变式5．（2024·高一课时练习）若关于x 的方程
的实数解集为
，则实数a 的取值范围是
．
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【方法技巧与总结】
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约
去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方
程，应灵活根据方程的特点分解因式．
一、单选题
1．（24-25 高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．在等式
两边同除以
，可得
B．在等式
两边同除以2，可得
C．在等式
两边同除以
，可得
D．在等式
两边同除以
，可得
2．（2024 高一·全国·课后作业）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（
）（如图甲），
将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
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3．（2024·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能
最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．
我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三
分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损
一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（ ）
A．
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
6．（2024 高三下·安徽·阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西
方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知
则该方程的整数解有（ ）组．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
7．（2024 高一上·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y2＝0，则
的值可以为（ ）
A．－
B．－
C．
D．
8．（2024 高一上·辽宁·阶段练习）方程
解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2024 高一·上海·专题练习）方程
的解集是
10．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号）
①解方程
时，可以在方程两边同时除以
，得
，故
；
②解方程
时，对比方程两边知
，
，故
；
③解方程
时，只要将两边开平方，方程就变形为
，从而解得
；
10
④若一元二次方程的常数项为0，则0 必为它的一个根．
11．（24-25 高一上·上海·课后作业）若多项式
与
互为相反数，则
．
12．（2024 高三上·上海静安·阶段练习）已知方程
的两个根为
，则
=
.
四、解答题
13．（2024 高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
14．（2024 高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d 是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若
，则
；
(2)若
，则
；
(3)若
，则
或
；
(4)若
，且
，则
.
15．（2024 高一·全国·课后作业）已知等式
对任意实数m 恒成立，求所有满足条
件的实数对
的集合.
16．（2024 高一·全国·课后作业）已知等式
．
（1）若
，请写出一组满足等式
的值；
（2）若对任意的实数
，等式恒成立，求所有实数对
的集合．
17．（2024 高一上·上海·期中）设
，则方程
的解集为 .
18．（2024 高一上·江苏·专题练习）若
，
，
b，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024 高一上·上海浦东新·阶段练习）已知
，
是一元二次方程
的两个实
11
数根.
(1)求
的值；（用
表示）
(2)是否存在实数
，使
成立？若存在，求出
的值，若不存在，请你说明理由；
(3)求使
的值为整数的实数
的整数值.
