文档文本内容
5.4 数列的应用
课程标准
学习目标
（1）理解并掌握“等额本金还款法”、“等额本
息还款法”及应用；
（2）理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数列
的其他应用；
（1）掌握等差数列、等比数列的性质，熟记通
项公式与求和公式；
（2）能用数列知识求解分歧还款、政府支的
“乘数”效应以及其他的实际问题；
（3）进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运
算的核心素养。
知识点01 分期还款
1、等额本金还款法：将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每
期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，一次这
种方式中，每期还款金额=
2、等额本息还款法：将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一次还钱数相等，即
，每期还款金额=
，其中
为贷款时的资金，为银行贷款月利率，
为
还款总期数（单位：月）
【即学即练1】（2023·广东深圳·高二深圳市罗湖高级中学校考阶段练习）某企业在2013 年年初贷款M 万
元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10 年间还清，则a 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知条件和分期付款公式，可得
，
∴
．故选：C
知识点02 政府支出的“乘数”效应
1、政府支出的“乘数”效应定义：为落实惠民政策，假设正负增加某项支出为
亿元，每个受惠的居民
会将额外收入以
的比率用于国内消费（最初政府支出也算是国内消费）。如果设第
轮消费的金
额为
亿元，那么
，经过
轮影响之后，最后的国内消费总额是
。最后的国内消费总额将会是
亿元的倍数，也就是说有了“乘数”效
应。
2、有关概念的理解
（1）“乘数”效应
①“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反
应程度；
②财政政策乘数是研究财政收支变化对过国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算
乘数；
（2）政府支出：政府的财政支出（把政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效
能支出，政府在商品和服务商的一项采购，将会引发一系列的再支出。因此任何一届政府在选择经济政策
时，究竟是采取扩张性政策还是收缩性政策，在采取动作前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对
国民经济造成极大的伤害。
【即学即练2】（2023·高二课时练习）若某政府增加环境治理费用a 亿元，每个受惠的居民会将50%的额
外收入用于国内消费，经过10 轮影响之后，最后的国内消费总额为400 亿元，则
（最初政府支
出也算是国内消费，结果精确到1，
）．
【答案】200
【解析】由题意可知，
，解得
．
知识点02 银行存款计息方式
1、单利：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，即利息=本金×利率×存起；
2、复利：把上期末的本金和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额不同。
3、计算公式：以符号
代表本金，
代表存期，
代表利率，
代表本金和利息和（简称本利和）
（1）单利计算：
；
（2）复利计算：
【即学即练3】（2022·高二课时练习）比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算？
（1）将1000 元本金存入银行一年后（年利率为5.67%），再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本
利和多少元？
（2）将1000 元本金存入银行三年期定期整存整取种类（年利率为6.21%），三年后可得本利和多少元？
【答案】（1）约为1179.92 元；（2）
元，利用第二种储蓄方式更简便合算
【解析】（1）1000 元本金参加一年整存整取，
到期可得本利和为
（元）．
转存一次时，本金为1056.70 元，所以到期本利和为
（元）．
再转存一次时，本金为1116.61 元，所以到期本利和为
（元）．
即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1179.92 元．
（2）1000 元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为
，
这里r 表示利率，n 是计息期限，p 是本金，
即
（元）．
所以利用第二种储蓄方式更简便合算．
【题型一：分期付款问题】
例1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40 套住房，总房价
1150 万元.约定：2021 年7 月1 日先付款150 万元，以后每月1 日都交付50 万元，并加付此前欠款利息，
月利率
，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ）
A．1205 万元 B．1255 万元 C．1305 万元 D．1360 万元
【答案】B
【解析】由题意知，还的次数为
次，每次付款本金均为50 万元，
利息依次为
构成了一个等差数列，
则所还欠款利息总额为
万元，
故各次付款的总和为
万元.故选：B.
变式1-1．（2023·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）我们知道，偿还银行贷款时，“等额
本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额
由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金
总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48 万元，张华跟银行约定，按照等额本金
还款法，每个月还一次款，20 年还清，贷款月利率为
，设张华第
个月的还款金额为
元，则
（ ）
A．2192 B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知：每月还本金为2000 元，
设张华第
个月的还款金额为
元，
则
，故选：D
变式1-2．（2023·广西钦州·高二校考阶段练习）（多选）刚考入大学的小明准备向银行贷款
元购买一
台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分
次还清
所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为
元，则
下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为
元 D．
【答案】BCD
【解析】AB 选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A 错误，
B 正确；
C 选项，设小明第一个月还款的现值为
，则
，解得
，故C 正确；
D 选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为
，
第二个月末所欠银行贷款为
，
第三个月末所欠银行贷款为
，
……
第12 个月末所欠银行贷款为
，
由于分
次还清所有的欠款，故
，
解得
，D 正确.故选：BCD
变式1-3．（2023·湖北·高二校联考期中）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100 万元购买住房，按复
利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：
在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在
还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.
（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000 元，最后一个还贷月应还6500 元，
试计算王先生该笔贷款的总利息；
（2）若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为
，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入
的一半，已知王先生家庭月收入为23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数
据
，
，
【答案】（1）290000 元；（2）王先生该笔贷款能够获批
【解析】（1）由题可知，等额本金还货方式中，
每月的还贷额构成一个等差数列
，
表示数列
的前
项和.
则
，故
.
故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000 元.
（2）设王先生每月还货额为
元，
则有
，
即
，
故
.
因为
，故王先生该笔贷款能够获批.
【方法技巧与总结】
等额本金还款法的实质是利用等差数列及求和公式解决实际问题的一种应用。
等额本息还款法的实质是等比数列前
项和公式的一种实际应用。
【题型二：单利复利问题】
例2．（2023·湖北·高二鄂州高中校联考期中）某人从2023 年起，每年1 月1 日到银行新存入2 万元（一
年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033 年1 月1 日将之
前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023 年存的2 万元共存了10 年，本息和为
万元，
2024 年存的2 万元共存了9 年，本息和为
万元，
2032 年存的2 万元共存了1 年，本息和为
万元，
所以到2033 年1 月1 日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为
万元，故选：C.
变式2-1．（2023·江苏淮安·高二统考期末）小张计划连续十年向某公司投放资金，第一年年初投资10 万
元，以后每年投资金额比前一年增加2 万元，该公司承诺按复利计算，且年利率为10%，第十年年底小张
一次性将本金和利息取回，则小张共可以取得 万元．（结果用数字作答）．
参考数据：
，
，
．
【答案】305
【解析】依题意，小张每年向公司投资金额构成以10 为首项，2 为公差的等差数列
，
，
因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为
，
10 次投资到第十年年底本金和利息总和为，
则
，
于是得
，
两式相减得
，
则有
，
所以小张共可以取得305 万元.
变式2-2．（2022·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）某地区2020 年产生的生活垃圾为20 万吨，其中6
万吨垃圾以环保方式处理，剩余14 万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020 年为第一年的未来十
年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加
1.5 万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
（1）求2021 年至2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？(结果精确到0.1 万吨)
（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？
（参考数据：
）
【答案】（1）
;（2）2025 年
【解析】（1）依题意得，从2021 年起该地区每年产生的生活垃圾量(单位：万吨)构成等比数列，记为
，
每年通过环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成等差数列，记为
，
该地区
年通过填埋方式处理的垃圾总量(单位：万吨)记为
，
则
，
故
，
所以
，
当
时，
，
所以2021 年至2023 年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约
万吨.
（2）由（1）得，
，即
，
整理得
，
因为当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以该地区在第年，
即2025 年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.
变式2-3．（2023·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会
超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划
在2021 年元旦从某银行贷款10 万元购置一辆轿车，贷款时间为18 个月．该银行现提供了两种可选择的还
款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率
1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本
金，再计算下一期的利息）
（1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额多少？（结果精确到小数点后三位）
（2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由．
【答案】（1）方案一还款额为
万元，方案二还款额为
万元；（2）选方案一，理由见解析.
【解析】（1）方案一：若每月还款
万元，
则
，
所以
，可得
万元；
方案二：若每季度还款
万元，
则
，
所以
，可得
万元；
（2）由（1）知：方案一每季度还款额为
万元
万元，所以选方案一.
【方法技巧与总结】
对于这类问题的求解，关键是要搞清：
（1）是单利还是复利；
（2）存几年。单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算；复利是把前一期的利息和本金加在一起作
本金，在计算下一期的利息。
【题型三：产值增长问题】
例3．（2023·全国·高二随堂练习）某超市去年的销售额为a 万元，计划在今后10 年内每年比上一年增加
10%．从今年起10 年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设今后10 年每年的销售额为
，
因为超市去年的销售额为a 万元，计划在今后10 年内每年比上一年增加
.
所以今年的销售额为
，今后第
年与第年的关系为
，
所以今后10 年每年的销售
额构成等比数列，
公比为1.1，首项为
.
所以今年起10 年内这家超市的总销售额为
故从今年起10 年内这家超市的总销售额为万元
.故选：D
变式3-1．（2024·福建厦门·高二统考期末）某工厂去年12 月试产了1000 个电子产品，产品合格率为0.85.
从今年1 月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1 月按去年12 月的产量和产品合格率生产，以
后每月的产量都在前一个月的基础上提高
，产品合格率比前一个月增加0.01.
（1）求今年2 月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；
（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据：
，
.
【答案】（1）154，5 月或6 月；（2）19604 个
【解析】（1）记从今年1 月起，第
月的产量为
，第
月的产品合格率为
.
由题可知，数列
为等比数列，首项
，公比
，
数列
为等差数列，首项
，公差
，
所以
，
，
所以今年2 月份生产的不合格产品数为
；
设第
月生产的不合格产品数为
，则
，
所以
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
，
即5 月或6 月生产的不合格产品数最多；
（2）设今年前
个月生产的合格产品总数为
，则
，
由于
，
，
所以
①，
②，
①－②得
所以
，
即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604 个.
变式3-2．（2023·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考阶段练习）某公司2022 年投资4 千万元用于新产品
的研发与生产，计划从2023 年起，在今后的若干年内，每年继续投资1 千万元用于新产品的维护与生产，
2022 年新产品带来的收入为0.5 千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基
础上增长
.记2022 年为第1 年，
为第1 年至此后第
年的累计利润（注：含第
年，累计
利润
累计收入
累计投入，单位：千万元），且当
为正值时，认为新产品赢利.（参考数据
，
，
，
）
（1）试求
的表达式；
（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.
【答案】（1）
；（2）该新产品将从2030 年开始并持续赢利，理由见解析
【解析】（1）由题意知，第1 年至此后第
年的累计投入为
（千万元），
设第
年的收入为
，前
年的累计收入为
，
由题意得
，
，
所以数列
是以
为首项、以
为公比的一个等比数列，则有
（千万元），
（千万元），
所以
，即
（千万元）.
所以
的表达式为
；
（2）因为
，
所以当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
又
，
，
，
所以该新产品将从第9 年开始并持续赢利.
所以该新产品将从2030 年开始并持续赢利.
变式3-3．（2023·福建宁德·高二宁德第一中学校考阶段练习）总书记说：“绿水青山就是金山银山．”某
地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，
年投入
万元，以
后每年投入将比上一年减少
，本年度当地旅游业收入估计为
万元，由于该项建设对旅游业的促进作
用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加
．
（1）设
年内（
年为第一年）总投入为
万元，旅游业总收入为
万元，写出
、
的表达式；
（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入．
参考数据：
，
，
【答案】（1）
，
（2）至少到
年，旅游业的总收入才能超过总投入
【解析】（1）
年投入为
万元，第
年投入为
万元，
所以，
年内的总投入为
.
年旅游业收入为
万元，第
年旅游业收入为
万元，
所以，
年内的旅游业总收入为
.
（2）设至少经过
年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得
，
即
，
令
，代入上式得
，即
，
解得
或
（舍去），即
，
不等式两边取常用对数，
，即
.
所以，
，故至少到
年，旅游业的总收入才能超过总投入.
【方法技巧与总结】
产值增长问题的实质是等比数列的应用
【题型四：浓度匹配问题】
例4．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交
通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过
如果某人喝了少量酒后，血液
中酒精含量将迅速上升到
，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时
的速度减小，问他
至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时)
A．1 小时 B．2 小时 C．4 小时 D．6 小时
【答案】C
【解析】设n 个小时后才可以驾车，
根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为
进而可得方程
得
，即
，
所以至少要经过4 小时后才可以驾驶机动车．故选C．
变式4-1．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，
同时从甲、乙两个容器中取出100ml 溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记
，
，经
次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为
，
．
（1）试用
，
表示
，
．
（2）证明：数列
是等比数列，并求出
，
的通项．
【答案】（1）
，
．
（2）证明见解析，
，
．
【解析】（1）由题意，经
次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为
，
所以
，
．
（2）由（1）知，
，
，
可得
，
所以数列
是等比数列，
因为
％，所以
①，
又因为
②．
联立①②得
，
．
变式4-2．（2022·上海杨浦·统考一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每
人每天定时服用一次，每次服用m 毫克.已知人的肾脏每24 小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n
次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是
毫克，（即
）.
（1）已知
，求
､
；
（2）该药物在人体的含量超过25 毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m 的最大值.
【答案】（1）
，
；（2）20 毫克
【解析】（1）
，
；
（2）依题意，
，
所以
，
，
所以
是等比数列，公比为
，
所以
，
，
，
，
数列
是递增数列，且
，
所以
，即
，
所以m 的最大值是
毫克．
变式4-3．（2023·全国·高二专题练习）某学校实验室有浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液．在使用之
前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液各300 ml 分别装入两个容
积都为500 ml 的锥形瓶A，B 中，先从瓶A 中取出100 ml 溶液放入B 瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出
100 ml 溶液放入A 瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n 次操作后，
A 瓶中溶液浓度为an g/ml，B 瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
（1）请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得A，B 两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
【答案】（1）是，an－bn＝0.9·(
)n-1；（2）8 次.
【解析】（1）由题意，得b1＝
＝0.65 g/ml，
a1＝
＝1.55 g/ml.
当n≥2 时，bn＝
(300bn－1＋100an－1)＝
(3bn－1＋an－1)，
an＝
(200an－1＋100bn)＝
(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝
(an－1－bn－1)，
∴等比数列{an－bn}的公比为
，其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·(
)n-1.
（2）由题意可知，问题转化为解不等式0.9·(
)n-1<10－2，
∴n>1＋
≈7.49，
∴至少要操作8 次才能达到要求.
【方法技巧与总结】
解数列应用题的主要事项：
（1）抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数
量关系用数学式子表达；
（2）将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求练习起来，列出满足题意的数学关系式。
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费
的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药
品生产线，已知该生产线连续生产n 年的累计年产量为
（单位：万件），但如果年
产量超过60 万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这
条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A．7 年 B．8 年 C．9 年 D．10 年
【答案】B
【解析】第一年年产量为
，以后各年年产量为
，
，
当
时也符合上式，∴
．
令
，得
．
设
，对称轴为
，
则当
时，
单调递增，又因为
，
，
则最大生产期限应拟定为8 年，
，故选：B．
2．（2022·高二校考课时练习）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
存期
1 年
2 年
3 年
5 年
年利率(%)
2．25
2．4
2．73
2．88
某人在该段时间存入10 000 元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元．
A．10373 B．10396 C．10422 D．10456
【答案】D
【解析】由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%，
所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456．故选：
.
3．（2022·高二校考课时练习）复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息.某同学有压岁钱
元，存入银行，年利率为
；若放入微信零钱通或者支付宝
的余额宝，年利率可达
.如果将这
元选择合适方式存满年，可以多获利息（ ）元.
（参考数据：
，
，
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将
元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，
则存满年后的本息和为
，
故而共得利息
元.
将
元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满年后的利息为
，
故可以多获利息
.故选：B
4．（2023·全国·高二随堂练习）小蕾2018 年1 月31 日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019 年1
月31 日取款时，银行按国家规定给付利息469 元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理
由．
A．1 万~2 万 B．2 万~3 万 C．3 万~4 万 D．4 万~5 万
【答案】B
【解析】设小蕾存入银行的本金
元，依题意，
，解得
（元），
所以小蕾存入银行的本金介于2 万~3 万元之间.故选：B
5．（2023·全国·高二期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某
医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A 给药3 小时的时候血药浓度达到峰值，
此后每经过2 小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的
，当血药浓度为峰值的
时，给药时间为（ ）
A．11 小时 B．13 小时 C．17 小时 D．19 小时
【答案】B
【解析】检测第n 次时，给药时间为
，则
是以3 为首项，2 为公差的的等差数列，
所以
，
设当给药时间为
小时的时候，患者血药浓度为
，血药浓度峰值为a，
则数列
是首项为a，公比为
的等比数列，所以
，
令
，即
，解得
，
当血药浓度为峰值的
时，给药时间为
，故选：B.
6．（2022·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022 年10 月16 日在北京召开，二
十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固
树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生
态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81 万元，
以后每年投入资金是上一年的
倍；第一年的旅游收入为20 万元，以后每年旅游收入比上一年增加10 万
元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781 万元，60 万元 B．525 万元，200 万元
C．781 万元，200 万元 D．1122 万元，270 万元
【答案】C
【解析】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为
，项数为5 的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是
（万元）．
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5 的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是
（万元）．故选：C．
二、多选题
7．（2023·河北秦皇岛·高二统考期末）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR 模
型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是
，其中
为预测期人口数，
为初期人口数，
为预测期内人口增长率，
为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）
A．若在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内
，则这期间人口数摆动变化
D．若在某一时期内
，则这期间人口数不变
【答案】ABD
【解析】由
，得当
时，
，
因为
，所以，对任意的
，
，
所以，
，则
，
此时，在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势，A 对；
对于B 选项，当
时，
，
因为
，所以，对任意的
，
，
所以，
，则
，
故在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势，B 对；
对于C 选项，由B 选项可知，在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势，C 错；
对于D 选项，当
时，
，
故在某一时期内
，则这期间人口数不变，D 对.故选：ABD.
8．（2023·海南儋州·高二校考阶段练习）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000 万元，已知每年
可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200 万元资金进行科研、技术改造与广告投入，
方能保持原有的利润增长率．设经过n 年之后，该项目的资金为
万元．（取
，
），
则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．数列
的递推关系是
C．数列
为等比数列
D．至少要经过6 年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2 倍）的目标
【答案】ACD
【解析】根据题意：经过1 年之后，该项目的资金为
万元，A 正确；
，B 不正确；
∵
，则
即数列
以首项为1200，公比为1.2 的等比数列，C 正确；
，即
令
，则
至少要经过6 年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2 倍），D 正确；故选：
ACD．
三、填空题
9．（2023·全国·高二专题练习）沈阳京东MALL 于2022 年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热
爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额
分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款
．
【答案】
【解析】由题意得
，
，
.
10．（2023·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）某人实施一项投资计划，从2021 年起，每年
1 月1 日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020 年他的工资是10 万元，预计未来十年每年工资都
会逐年增加1 万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，
若2031 年1 月1 日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有 万元.（参考
数据：
，
，
）
【答案】24
【解析】由题知，2021 年的投入在结算时的收入为
，
2022 年的投入在结算时的收入为
，
，
2030 年的投入在结算时的收入为
，
则结算时的总投资及收益为：
①，
则
②，
由①-②得，
，
则
。
四、解答题
11．（2023·上海闵行·高二七宝中学校考期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000 万元，出售产
品后收入40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元．同
时，当预计投入资金低于20 万元时，就按20 万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
（1）设第
年的投入资金和收入金额分别为
万元，
万元，请求出
、
的通项公式；
（2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
【答案】（1）
，
（2）该公司从第8 年开始盈利，理由见解析.
【解析】（1）由题知：
，
当
，
，解得
，
所以
.
.
（2）当
时，
总利润
.
因为
，
为增函数，
且
，
，
所以当
时，
，当
时，
，
因为
，
，
所以
时，
，即前6 年未盈利.
当
时，
，
令
，解得
，所以该公司从第8 年开始盈利.
12．（2023·河南南阳·高二校联考期中）某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每
天生产的零件数量比前一天增加20%．已知该设备第一天生产某种零件1000 件，且该设备每天最多可以生
产该零件5000 件．记第一天该设备生产的零件数量为
件，第n 天生产的零件数量为
件．
（1）求该设备第二天和第三天的总产量；
（2）求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：取
，
）
【答案】（1）2640 件；（2）10 天
【解析】（1）由题意得
，
，即
，
所以数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
所以
，
，
故该设备第二天和第三天的总产量为
件.
（2）设第k 天可以达到该设备的最大产能，
由题意可得
，
两边取常用对数得
，即
，
则
，
因为
，所以k 的最小值是10，
即至少需要10 天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能．
13．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息
一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000 元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率
的复利计息，12 个月能获得多少利息（精确到1 元）？
（2）若以季度复利计息，存4 个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的
利息（精确到
）？
参考数据：
【答案】（1）
元；（2）当每季度利率至少为
时，按季结算的利息不少于按月结算的利息
【解析】（1）个月后，本息和为
，
个月后，本息和为
，
以此类推，
个月后，本息和为
，
所以
个月能获得利息
元.
（2）设按季结算的利率为
，
个季度后，本息和为
，
个季度后，本息和为
，
以此类推，
个季度后，本息和为
，
所以
个季度能获得利息
，
由
，
得
，即
，
所以
.
所以当每季度利率至少为
时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
14．（2022·浙江绍兴·高二统考期末）某公司从2020 年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000
万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x 万
元，余下资金再投入下一年的生产.设第n 年年底扣除消费资金后的剩余资金为
万元.
（1）用x 表示
，
，并写出
与
的关系式；.
（2）若企业希望经过5 年后，使企业剩余资金达3000 万元，试确定每年年底扣除的消费资金x 的值（精
确到万元）.
【答案】（1）
；（2）x=348
【解析】（1）由题意知，
，
，
；
（2）由（1）可得，
，
则
，
所以
，
即
，
当
时，
，解得
，
当
时，
万元.
故该企业每年年底扣除消费资金为348 万元时，5 年后企业剩余资金为3000 万元.
