文档文本内容
1
第07 讲 增长速度的比较
课程标准
学习目标
1.理解函数平均变化率的概念.
2.知道函数平均变化率的几何意义.
3.会求函数在指定区间上的平均变化率.
4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工
具，比较对数函数、一次函数、指数函数
增长速度的差异，理解“对数增长”“直
线上升”“指数爆炸”等术语的现实含
义．
1.通过学习函数平均变化率的概念、几何意义培养数
学抽象素养.
2.通过利用函数的平均变化率比较函数的增长速度培
养数学运算素养和逻辑推理素养．
知识点01 平均变化率的概念
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为＝．
说明： （1）实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx 可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相
应的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．
（2）平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值变化的
快慢．
【即学即练1】函数f(x)＝3x在区间[2，3]上的平均变化率为________．
知识点02 平均变化率的几何意义
函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率＝表示函数y＝f(x)图象上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直
线的斜率．
【即学即练2】 已知函数f(x)＝2x2图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝2，则直线AB 的斜率为( )
A．－6
B．6
2
C．－3
D．3
知识点03 增长速度的比较
1．几类不同增长的函数模型
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓．
(4)幂函数模型
当x＞0，n＞1 时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1 时，n 越大其函数值的增长速度就越快．
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们
的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
随着x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝
logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．
指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调
性
单调递增，且a 越
大，增长越快.
单调递增，且a 越
小，增长越快.
单调递增，且x＞1
时，n 越大增长越
快．
增长速度
越来越快.
越来越慢.
越来越快．
图像的变化
随x 的增大越来越陡.
随x 的增大逐渐变缓.
随着n 值的不同而不
同.
【即学即练3】下列函数增长速度最快的是( )
A．y＝3x
B．y＝log3x
C．y＝x3
D．y＝3x
3
题型01 求函数的平均变化率
【典例1】函数
，当自变量x 由1 变到1.1 时，函数
的平均变化率为（ ）
A．2.1
B．1.1
C．2
D．1
【变式1】函数y = 1
x 在区间[−2,−1]上的平均变化率为___________.
【变式2】函数y =ax +b从1 到2 的平均变化率是___________.
【变式3】函数
是幂函数，则实数
的值为 ．
【变式4】函数
在区间
上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
【变式5】函数
，
在[0，2]上的平均变化率分别记为
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
，
的大小无法确定
题型02 同一函数在不同区间上变化快慢的比较
【典例2】已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较函数在两区间
上变化的快慢．
【变式1】已知函数f(x)＝x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较函数在两区间上
变化的快慢．
【变式2】某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．
比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？
【变式3】若函数
，
，
在
上的平均变化率分别记为
，则下面结论正
确的是
4
A．
B．
C．
D．
【变式4】（22-23 高一上·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，
即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度
随开窗通风换气时间
的关系如图所示，则下列时间段
内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 不同函数在同一区间上变化快慢的比较
【典例3】已知函数f(x)＝3x＋1 和g(x)＝2x2＋1.
(1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率；
(2)比较两函数在区间[－3，－1]上函数值变化的快慢．
【变式1】已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较这两个
函数在该区间上函数值变化的快慢．
【变式2】对于以下四个函数：①
；②
；③
；④
．在区间
上函数的平均变化率
最大的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
题型04 函数变化快慢的应用
【典例4】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.
5
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．
【变式1】若x∈(0,+∞)，则使log2 x <2
x< x
2成立的x的取值范围是________，使log2 x < x
2<2
x成立的x
的取值范围是________．
【变式2】下面对函数f ( x)= log 1
2
x，g( x)=(
1
2)
x
与ℎ( x)= x
−1
2在区间(0,+∞)上的衰减情况的叙述正确
的是（ ）
A．f (x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，ℎ(x)的衰减速度逐渐变慢
B．f (x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，ℎ(x)的衰减速度逐渐变快
C．f (x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，ℎ(x)的衰减速度逐渐变慢
D．f (x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，ℎ(x)的衰减速度逐渐变快
【变式3】下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ）
A．y =e
x
B．y = ln x
C．y =3 x
D．y =e
−x
【变式5】如图显示物体甲、乙在时间0 到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0 到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0 到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
1.函数
从
到
的平均变化率为（ ）
A．1 B．
C．
D．
2．如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于( )
6
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是
，假设
恒成
立，且
，
，则这些数据说明后10 天与前10 天比较（ ）
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小
4．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一·上海·课堂例题）若某工厂去年12 月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值
的月平均增长率为（ ）
A．m
B．
C．
D．
6．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了
，休息了一段时间，又沿原路返回
，再前进
，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一上·全国·课前预习）在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物
含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变
化的图象是（ ）
7
A．
B．
C．
D．
8．（多选）（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知函数
，则下列关于这三个函数的描
述中，正确的是（ ）
A．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
B．随着
的逐渐增大，
增长速度越来越快于
C．当
时，
增长速度一直快于
D．当
时，
增长速度有时快于
9．（多选题）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数
函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长率为1
B．野生水葫芦从
蔓延到
历时超过1.5 个月
C．设野生水葫芦蔓延到
，
，
所需的时间分别为
，
，
，则有
D．野生水葫芦在第1 个月到第3 个月之间蔓延的平均速度等于在第2 个月到第4 个月之间曼延的平均速度
8
10.（多选）（24-25 高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．函数
减小的速度越来越慢
B．在指数函数
中，当x>0时，底数
越大，其增长速度越快
C．不存在一个实数m，使得当
时，
D．当
，
时，在区间
内，对任意的
，总有
成立
11．函数
2
( )
3
f x
x
在[2, 6]内的平均变化率为________．
12.汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段
，
，
上的平均速度分别
为
，
，
，则三者的大小关系为______.
10．已知
，函数
，则下面结论中正确的有__________.（填上所有正确结论的序号）
①函数
在区间
上的平均变化率总是大于；
②函数
在区间
上的平均变化率总是小于；
③函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而增大；
④函数
在区间
上的平均变化率随着
的增大而减小.
13．函数
与
在区间
上增长较快的是________．
