文档文本内容
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2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课程标准
学习目标
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.
2、掌握一元二次方程根与系数的关系.
3、会用整体代入法解一元二次方程.
4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.
5. 灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程
问题.
1、学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。
2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解
集，探索其过程。
3、在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模
型，计算结果，检验结果实际性。
4、掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方
法。
5、对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得
出简捷运算方法。
知识点01 一元二次方程的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac.
(1)当Δ＝b2－4ac>0 时，方程的解集为
；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程的解集为；
(3)当Δ＝b2－4ac<0 时，方程的解集为∅.
注：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝−b±√b
2−4 ac
2a
；
(2)当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b
2a；
2
(3)当Δ＜0 时，方程没有实数根．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 一元二次方程的基本特征
一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的
情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若关于x 的一元二次方程
有实数根，则k 的取值范围
是 .
知识点03 一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，
x2＝，则有
【即学即练3】（2024·高一课时练习）若关于x 的方程
的两根分别是
，则
（
）
A．6 B．7 C．8 D．9
难点：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
例题 已知关于x 的方程x2－(k＋1)x＋1
4 k2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.
3
【题型1：求一元二次方程的解集】
例1.（2024·高一课时练习）方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·全国·高三专题练习）集合
________．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）方程
的解集为 ．
变式3．（2024·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程：
(1)
；
(2)
.
变式4.（2024·全国·高三专题练习）方程
的实数根是_______________．
【方法技巧与总结】
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负
常数，则可以直接开平方求解；
（3）公式法：将一元二次方程中的系数
，
，
的值代入式子
中求解；
（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0 即可求解。
【题型2：方程根个数的判断及应用】
例2．（2024·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
变式1.（2024·辽宁）已知关于x 的一元二次方程
没有实数根，则k 的取值范围是_______．
变式2．（2024·辽宁·高二统考学业考试）已知关于
的方程
有两个相等的实数根，下列选项
中
可以取的值是（ ）．
A．4
B．2
C．0
D．
变式3.（2024·江苏）关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·江苏·高一假期作业）求证：方程
有两个同号且不相等实根的充要条件是
.
变式5．（2024·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x 的一元二次方程
.
(1)若上述方程无正数根，求实数k 的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k 的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k 为整数，如果有直接写出实数k 的取值，如果不存在说明理由.
变式6.（2024·高一课时练习）方程
的两根均大于1，则实数
的取值范围是_______
变式7.（2024·高一课时练习）若关于
的方程
的一根大于1，另一根小于1，则实数
的取值
范围为 ．
变式8．【多选】（2024·湖南永州·高一校考期中）已知方程
有且只有一个实数根，则
（ ）
A．
B．
C．若不等式
的解集为
，则
D．若不等式
的解集为
，则
【方法技巧与总结】
一元二次方程根的个数问题
(1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．
(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac.
①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；
5
②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；
③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；
④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．
【题型3：直接应用根与系数的关系进行计算】
例3．（2024·云南·高一校联考阶段练习）已知一元二次方程
的一个根为2，那么另一根为
；
的值为 ．
变式1．（2024·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程
的两个实
根为
，则
变式2.（2024·高一课时练习）若
是方程
的两个根，则
( )
A．
B．2 C．4 D．8
变式3．（2024·上海徐汇·高一统考期末）已知方程
的两个根为
、
，则
．
变式4．（2024·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）设
是方程
的两个实数根，
则
变式5．（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）一元二次方程
的两个实根为
，则
．
变式6．（2024·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）已知
是方程
的两根，则
．
变式7．（2024·高一课时练习）已知
，且
，则
.
变式8．（2024·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知
、
是方程
的两根，则
的值为 .
变式9．（2024·山西吕梁·高一统考期中）若a，b 是方程
的两个实数根，则
（ ）
A．2023
B．2023
C．2019
D．2018
变式10．（2024·高一课时练习）若
是方程
的两个根，试求下列各式的值；
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(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
变式11．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知方程
的两根为
与
，
求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
变式12.（2024·高一课时练习）已知方程
的两根为
，
，分别计算下列各式的值：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
【方法技巧与总结】
1.根与系数的关系
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的
作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根
之积的形式，然后代入求值．
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
(1)x +
1
2 x2
2＝( x1
2 +2 x 1 x 2+ x2
2)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|＝√(x1−x2)
2＝√(x1+ x2)
2−4 x1 x2；
(4) 1
x1
+ 1
x2
＝x1+ x2
x1 x2
；
(5) x2
x1
+ x1
x2
＝x2
2+ x1
2
x1 x 2
＝(x1+ x2)
2−2 x1 x2
x1 x2
.
【题型4：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围】
例4．（2024·上海闵行·高一统考期末）已知一元二次方程
的两个实根分别为
，且
，则实数n 的值为 ．
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变式1．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知关于
的方程
的两实根为
，若
，则实数
的值为 ．
变式2．（2024·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）已知关于
的方程
的两根
为
、
.若
，则实数
的值是 ．
变式3．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知
是关于
的方程
的两个实
数根，若
，则实数
．
变式4.（2024·高一课时练习）若
为实数，关于
的方程
的解集为
，则
______．
变式5．（2024·上海松江·高一校考期中）已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个
实数根.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的值；
(3)求使
的值为整数的实数
的整数值.
变式6．（2024·北京·高一北京十五中校考期中）已知：关于
的方程
的两个实数根
分别为
、
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)当
时，求
的值；
(3)若
，求实数
的值.
变式7．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程x
2+2ax +a+6=0的两根分别是x1和x2，且满
足x1
2 x2+ x1 x2
2≥10，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−5,−1]
B．[1,5]
C．[−5,−2]
D．(3,5]
变式8．（2024·新疆和田·高一统考期中）设函数y =2a x
2+2bx +c (a,b,c∈R)，若a+b+c =0，
(2a+2b+c)c>0
(1)求证：方程2a x
2+2bx +c =0有实根.
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(2)若b
a ∈(-3,-1)，x1、x2为方程2a x
2+2bx +c =0的两实数根，求|x1- x2|的取值范围.
【方法技巧与总结】
应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即
Δ≥0.
一、单选题
1．（2024 高一上·辽宁阜新·阶段练习）关于
的一元二次方程：
有实数根，若其中一个根
为，则另一个根为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）若方程
两根为c，d，则方程
的根是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（2024 高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于
的方程
有实数根的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高一上·湖南株洲·阶段练习）已知
是方程
的两个根，，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若关于x 的一元二次方程
中m 为实数，则
（ ）．
A．没有实根
B．有两相等实根
9
C．有两不相等实根
D．可能有实根
7．（2024 高一上·上海·期中）已知
，则关于
的方程
）
A．一定有不相等的两个实数根
B．一定有两个相等的实数根
C．可能有两个相等的实数根
D．没有实数根
8．（2024 高一上·北京西城·期中）已知方程组
的解集为
，且
，则
（ ）
A．1 或
B．
或
C．
或
D．2 或
二、多选题
9．（2024 高一上·湖北·期中）已知函数
有两个零点
，
，则（ ）
A．
B．
且
C．若
，则
D．函数
有四个零点或两个零点
10．（2024 高一上·全国·课后作业）已知关于x 的方程
，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个互为相反数的实数根，则
B．若方程
没有实数根，则方程
必有两个不相等的实数根
C．若二次三项式
是完全平方式，则
D．若
，则方程必有两个不相等的实数根
11．（2024 高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数
有两个零点
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 高一上·重庆璧山·阶段练习）已知
，
是关于x 的方程
的两个
实根，则（ ）
A．
或
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2024 高一上·上海松江·期末）已知方程
的两个根为
，则
10
14．（24-25 高一上·上海·随堂练习）若
、
是一元二次方程
的两个根，则
的值是
．
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知二次函数
（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为
，则关于x 的一元二次方程
的两实数根是 ．
16．（2024 高二下·辽宁·期末）已知关于x 的方程
的两个实数根同号，则实数m 的取值范
围为 ．
17．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知关于
的一元二次方程
的两个实数根为
，
且
，则实数
的值为 ．
四、解答题
18．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知关于
的一元二次方程
有两个不相等的实
数根
、
．若
，求
的值．
19．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
、
、均为实数，且
，求关于
的
方程
的解集．
20．（2024 高一·上海·课堂例题）已知方程
的两个根为
、
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
21．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024 高一上·江西南昌·阶段练习）设
的两实根为
，
，而以
，
为根的一元二
次方程仍是
，则数对
组成的集合
的真子集的个数是（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
23．（2024 高三下·四川成都·阶段练习）已知实数
满足
，则
的最大值为 .
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（24-25 高一上·上海·随堂练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建
立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为
韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程
，它的两根α、β 有如下关系：
，
．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α 和β 满足如下关系：
，
，那么这两个
数α 和β 是方程
的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关
系构造一元二次方程，例如：
，
，那么m 和n 是方程
的两根．请应用上述
材料解决以下问题：
(1)已知m、n 是两个不相等的实数，且满足
，
，求
的值；
(2)已知实数x、y 满足
，
，求
的值．
